Ecuación de Hicks

En dinámica de fluidos , la ecuación de Hicks , a veces también denominada ecuación de Bragg-Hawthorne o ecuación de Squire-Long , es una ecuación diferencial parcial que describe la distribución de la función de corriente para un fluido no viscoso axisimétrico, llamada así por William Mitchinson Hicks , quien la derivó por primera vez en 1898. ^{[1] [2] [3]} La ecuación también fue derivada nuevamente por Stephen Bragg y William Hawthorne en 1950 y por Robert R. Long en 1953 y por Herbert Squire en 1956. ^{[4] [5] [6]} La ecuación de Hicks sin remolino fue introducida por primera vez por George Gabriel Stokes en 1842. ^{[7] [8]} La ecuación de Grad-Shafranov que aparece en la física del plasma también toma la misma forma que la ecuación de Hicks.

Representada como coordenadas en el sentido del sistema de coordenadas cilíndricas con los componentes de velocidad de flujo correspondientes denotados por , la función de corriente que define el movimiento meridional se puede definir como ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$ ${\displaystyle (v_{r},v_{\theta },v_{z})}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle rv_{r}=-{\frac {\partial \psi }{\partial z}},\quad rv_{z}={\frac {\partial \psi }{\partial r}}}$

que satisface automáticamente la ecuación de continuidad para flujos axisimétricos. La ecuación de Hicks se obtiene entonces mediante ^[9]

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}}$

dónde

${\displaystyle H(\psi )={\frac {p}{\rho }}+{\frac {1}{2}}(v_{r}^{2}+v_{\theta }^{2}+v_{z}^{2}),\quad \Gamma (\psi )=rv_{\theta }}$

donde es la altura total, cf Principio de Bernoulli . y es la circulación , ambas se conservan a lo largo de las líneas de corriente. Aquí, es la presión y es la densidad del fluido. Las funciones y son funciones conocidas, generalmente prescritas en uno de los límites; vea el ejemplo siguiente. Si hay líneas de corriente cerradas en el interior del dominio del fluido, digamos, una región de recirculación, entonces las funciones y son típicamente desconocidas y, por lo tanto, en esas regiones, la ecuación de Hicks no es útil; el teorema de Prandtl-Batchelor proporciona detalles sobre las regiones de líneas de corriente cerradas. ${\displaystyle H(\psi )}$ ${\displaystyle 2\pi \Gamma }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle H(\psi )}$ ${\displaystyle \Gamma (\psi )}$ ${\displaystyle H(\psi )}$ ${\displaystyle \Gamma (\psi )}$

Derivación

Consideremos el flujo axisimétrico en un sistema de coordenadas cilíndricas con componentes de velocidad y componentes de vorticidad . Dado que en los flujos axisimétricos, los componentes de vorticidad son ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$ ${\displaystyle (v_{r},v_{\theta },v_{z})}$ ${\displaystyle (\omega _{r},\omega _{\theta },\omega _{z})}$ ${\displaystyle \partial /\partial \theta =0}$

${\displaystyle \omega _{r}=-{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial z}},\quad \omega _{\theta }={\frac {\partial v_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial r}},\quad \omega _{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rv_{\theta })}{\partial r}}}$.

La ecuación de continuidad permite definir una función de corriente tal que ${\displaystyle \psi (r,z)}$

${\displaystyle v_{r}=-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}},\quad v_{z}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}}$

(Tenga en cuenta que los componentes de vorticidad y están relacionados con exactamente de la misma manera que y están relacionados con ). Por lo tanto, el componente azimutal de la vorticidad se convierte en ${\displaystyle \omega _{r}}$ ${\displaystyle \omega _{z}}$ ${\displaystyle rv_{\theta }}$ ${\displaystyle v_{r}}$ ${\displaystyle v_{z}}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \omega _{\theta }=-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right).}$

Las ecuaciones de momento no viscoso , donde es la constante de Bernoulli, es la presión del fluido y es la densidad del fluido, cuando se escriben para el campo de flujo axisimétrico, se convierten en ${\displaystyle \partial {\boldsymbol {v}}/\partial t-{\boldsymbol {v}}\times {\boldsymbol {\omega }}=-\nabla H}$ ${\displaystyle H={\frac {1}{2}}(v_{r}^{2}+v_{\theta }^{2}+v_{z}^{2})+{\frac {p}{\rho }}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\theta }\omega _{z}-v_{z}\omega _{\theta }-{\frac {\partial v_{r}}{\partial t}}&={\frac {\partial H}{\partial r}},\\v_{z}\omega _{r}-v_{r}\omega _{z}-{\frac {\partial v_{\theta }}{\partial t}}&=0,\\v_{r}\omega _{\theta }-v_{\theta }\omega _{r}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial t}}&={\frac {\partial H}{\partial z}}\end{aligned}}}$

en la que la segunda ecuación también puede escribirse como , donde es la derivada material . Esto implica que la circulación alrededor de una curva material en forma de círculo centrado en el eje es constante. ${\displaystyle D(rv_{\theta })/Dt=0}$ ${\displaystyle D/Dt}$ ${\displaystyle 2\pi rv_{\theta }}$ ${\displaystyle z}$

Si el movimiento del fluido es constante, la partícula del fluido se mueve a lo largo de una línea de corriente, en otras palabras, se mueve sobre la superficie dada por constante. Se deduce entonces que y , donde . Por lo tanto, los componentes radial y azimutal de la vorticidad son ${\displaystyle \psi =}$ ${\displaystyle H=H(\psi )}$ ${\displaystyle \Gamma =\Gamma (\psi )}$ ${\displaystyle \Gamma =rv_{\theta }}$

${\displaystyle \omega _{r}=v_{r}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }},\quad \omega _{z}=v_{z}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}}$.

Los componentes de y son localmente paralelos. Las expresiones anteriores se pueden sustituir en las ecuaciones de momento radial o axial (después de eliminar el término de la derivada temporal) para resolver . Por ejemplo, sustituir la expresión anterior por en la ecuación de momento axial conduce a ^[9] ${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \omega _{\theta }}$ ${\displaystyle \omega _{r}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\omega _{\theta }}{r}}&={\frac {v_{\theta }\omega _{r}}{rv_{r}}}+{\frac {1}{rv_{r}}}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\\&={\frac {\Gamma }{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}-{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}.\end{aligned}}}$

Pero se puede expresar en términos de como se muestra al principio de esta derivación. Cuando se expresa en términos de , obtenemos ${\displaystyle \omega _{\theta }}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \omega _{\theta }}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi }}-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi }}.}$

Esto completa la derivación requerida.

Ejemplo: Fluido con velocidad axial uniforme y rotación de cuerpo rígido en una posición muy aguas arriba

Considere el problema en el que el fluido en la corriente lejana exhibe una velocidad axial uniforme y gira con una velocidad angular . Este movimiento aguas arriba corresponde a ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \psi ={\frac {1}{2}}Ur^{2},\quad \Gamma =\Omega r^{2},\quad H={\frac {1}{2}}U^{2}+\Omega ^{2}r^{2}.}$

De estos, obtenemos

${\displaystyle H(\psi )={\frac {1}{2}}U^{2}+{\frac {2\Omega ^{2}}{U}}\psi ,\qquad \Gamma (\psi )={\frac {2\Omega }{U}}\psi }$

indicando que en este caso, y son funciones lineales simples de . La ecuación de Hicks en sí misma se convierte en ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}={\frac {2\Omega ^{2}}{U}}r^{2}-{\frac {4\Omega ^{2}}{U^{2}}}\psi }$

que al introducirse se convierte en ${\displaystyle \psi (r,z)=Ur^{2}/2+rf(r,z)}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}+\left(k^{2}-{\frac {1}{r^{2}}}\right)f=0}$

dónde . ${\displaystyle k=2\Omega /U}$

Ecuación de Yih

Para un flujo incompresible , pero con densidad variable, Chia-Shun Yih derivó la ecuación necesaria. El campo de velocidad se transforma primero utilizando la transformación de Yih ${\displaystyle D\rho /Dt=0}$

${\displaystyle (v_{r}',v_{\theta }',v_{z}')={\sqrt {\frac {\rho }{\rho _{0}}}}(v_{r},v_{\theta },v_{z})}$

donde es una densidad de referencia, con la función de corriente de Stokes correspondiente definida de tal manera que ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle \psi '}$

${\displaystyle rv_{r}'=-{\frac {\partial \psi '}{\partial z}},\quad rv_{z}'={\frac {\partial \psi '}{\partial r}}.}$

Incluyamos la fuerza gravitacional que actúa en la dirección negativa. La ecuación de Yih queda entonces dada por ^{[10] [11]} ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi '}{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi '}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi '}{\partial z^{2}}}=r^{2}{\frac {\mathrm {d} H}{\mathrm {d} \psi '}}-r^{2}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} \psi '}}{\frac {g}{\rho _{0}}}z-\Gamma {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} \psi '}}}$

dónde

${\displaystyle H(\psi ')={\frac {p}{\rho _{0}}}+{\frac {\rho }{2\rho _{0}}}(v_{r}'^{2}+v_{\theta }'^{2}+v_{z}'^{2})+{\frac {\rho }{\rho _{0}}}gz,\quad \Gamma (\psi ')=rv_{\theta }'}$

Referencias

1. Hicks, WM (1898). Investigaciones sobre el movimiento de vórtices. Parte III. Sobre agregados de vórtices espirales o girostáticos. Actas de la Royal Society de Londres, 62(379–387), 332–338. https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rspl.1897.0119
2. Hicks, WM (1899). II. Investigaciones sobre el movimiento de vórtices. Parte III. Sobre agregados de vórtices espirales o girostáticos. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático o físico, (192), 33–99. https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rsta.1899.0002
3. Smith, SGL y Hattori, Y. (2012). Vórtices magnéticos axisimétricos con remolino. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 17(5), 2101–2107.
4. Bragg, SL y Hawthorne, WR (1950). Algunas soluciones exactas del flujo a través de discos actuadores en cascada anulares. Journal of the Aeronautical Sciences, 17(4), 243–249
5. Long, RR (1953). Movimiento constante alrededor de un obstáculo simétrico que se mueve a lo largo del eje de un líquido giratorio. Journal of Meteorology, 10(3), 197–203.
6. Squire, HB (1956). Fluidos rotatorios. Encuestas en mecánica. Una colección de encuestas sobre la situación actual de la investigación en algunas ramas de la mecánica, escritas en conmemoración del 70.º cumpleaños de Geoffrey Ingram Taylor, Eds. GK Batchelor y RM Davies. 139–169
7. Stokes, G. (1842). Sobre el movimiento constante de fluidos incompresibles Trans. Camb. Phil. Soc. VII, 349.
8. Lamb, H. (1993). Hidrodinámica. Prensa de la Universidad de Cambridge.
9. Batchelor, GK (1967). Introducción a la dinámica de fluidos. Sección 7.5. Cambridge University Press. Sección 7.5, pág. 543-545.
10. Yih, CS (2012). Flujos estratificados. Elsevier.
11. Yih, CS (1991). Sobre flujos estratificados en un campo gravitacional. En Documentos seleccionados de Chia-Shun Yih: (en dos volúmenes) (pp. 13-21).