Dualidad local de Tate

Dualidad para módulos de Galois para el grupo absoluto de Galois de un campo local no arquimediano

En la cohomología de Galois , la dualidad local de Tate (o simplemente dualidad local ) es una dualidad para módulos de Galois para el grupo absoluto de Galois de un campo local no arquimediano . Lleva el nombre de John Tate, quien fue el primero en probarlo. Muestra que el dual de dicho módulo de Galois es el giro Tate del dual lineal habitual. Este nuevo dual se llama Tate dual ( local ) .

La dualidad local combinada con la fórmula característica local de Euler de Tate proporciona un conjunto versátil de herramientas para calcular la cohomología de Galois de campos locales.

Declaración

Sea K un campo local no de Arquímedes, sea K ^s un cierre separable de K y sea G _K  = Gal( K ^s / K ) el grupo de Galois absoluto de K .

Caso de módulos finitos

Denotemos por μ el módulo de Galois de todas las raíces de la unidad en K ^s . Dado un G _K finito -módulo A de orden primo a la característica de K , el dual Tate de A se define como

${\displaystyle A^{\prime }=\mathrm {Hom} (A,\mu )}$

(es decir, es el giro Tate del dual A ^∗ habitual ). Sea H ⁱ ( K ,  A ) la cohomología de grupo de G _K con coeficientes en A . El teorema establece que el emparejamiento

${\displaystyle H^{i}(K,A)\times H^{2-i}(K,A^{\prime })\rightarrow H^{2}(K,\mu )=\mathbf {Q} /\mathbf {Z} }$

dado por el producto de taza establece una dualidad entre H ⁱ ( K , A ) y H ^{2− i} ( K ,  A ^′ ) para i  = 0, 1, 2. ^[1] Dado que G _K tiene una dimensión cohomológica igual a dos, los grupos de cohomología superiores desaparecen. ^[2]

Caso de representaciones p -ádicas

Sea p un número primo . Sea Q _p (1) el carácter ciclotómico p -ádico de G _K (es decir, el módulo Tate de μ). Una representación p -ádica de G _K es una representación continua

${\displaystyle \rho :G_{K}\rightarrow \mathrm {GL} (V)}$

donde V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre los números p-ádicos Q _p y GL( V ) denota el grupo de aplicaciones lineales invertibles de V a sí mismo. ^[3] El dual Tate de V se define como

${\displaystyle V^{\prime }=\mathrm {Hom} (V,\mathbf {Q} _{p}(1))}$

(es decir, es el giro de Tate del dual habitual V ^∗  = Hom( V , Q _p )). En este caso, H ⁱ ( K , V ) denota la cohomología de grupo continuo de G _K con coeficientes en V . La dualidad local de Tate aplicada a V dice que el producto en taza induce un emparejamiento

${\displaystyle H^{i}(K,V)\times H^{2-i}(K,V^{\prime })\rightarrow H^{2}(K,\mathbf {Q} _{p}(1))=\mathbf {Q} _{p}}$

que es una dualidad entre H ⁱ ( K ,  V ) y H ^{2− i} ( K ,  V  ′) para i  = 0, 1, 2. ^[4] Nuevamente, los grupos de cohomología superiores desaparecen.

Ver también

• Tate duality , una versión global (es decir, para campos globales )

Notas

1. Serre 2002, Teorema II.5.2
2. Serre 2002, §II.4.3
3. Algunos autores utilizan el término p -representación ádica para referirse a módulos de Galois más generales.
4. Rubin 2000, Teorema 1.4.1

Referencias

• Rubin, Karl (2000), Sistemas de Euler , Conferencias Hermann Weyl, Anales de estudios de matemáticas, vol. 147, Prensa de la Universidad de Princeton , ISBN 978-0-691-05076-8, señor  1749177
• Serre, Jean-Pierre (2002), Cohomología de Galois , Springer Monographs in Mathematics, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42192-4, señor  1867431, traducción de Cohomologie Galoisienne , Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).