Ondícula dual

En matemáticas , una wavelet dual es el dual de una wavelet . En general, la serie wavelet generada por una función integrable al cuadrado tendrá una serie dual, en el sentido del teorema de representación de Riesz . Sin embargo, la serie dual no es en sí misma representable en general por una función integrable al cuadrado.

Definición

Dada una función integrable al cuadrado , defina la serie por ${\displaystyle \psi \in L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \{\psi _{jk}\}}$

${\displaystyle \psi _{jk}(x)=2^{j/2}\psi (2^{j}x-k)}$

para números enteros . ${\displaystyle j,k\in \mathbb {Z} }$

Una función de este tipo se denomina función R si el espacio lineal de es denso en , y si existen constantes positivas A , B con tales que ${\displaystyle \{\psi _{jk}\}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 0<A\leq B<\infty }$

${\displaystyle A\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\leq {\bigg \Vert }\sum _{jk=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}{\bigg \Vert }_{L^{2}}^{2}\leq B\Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}\,}$

para todas las series cuadradas sumables bi-infinitas . Aquí, denota la norma de suma cuadrada: ${\displaystyle \{c_{jk}\}}$ ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{l^{2}}}$

${\displaystyle \Vert c_{jk}\Vert _{l^{2}}^{2}=\sum _{jk=-\infty }^{\infty }\vert c_{jk}\vert ^{2}}$

y denota la norma usual en : ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{L^{2}}}$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \Vert f\Vert _{L^{2}}^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\vert f(x)\vert ^{2}dx}$

Por el teorema de representación de Riesz , existe una base dual única tal que ${\displaystyle \psi ^{jk}}$

${\displaystyle \langle \psi ^{jk}\vert \psi _{lm}\rangle =\delta _{jl}\delta _{km}}$

donde es la delta de Kronecker y es el producto interno habitual en . De hecho, existe una representación en serie única para una función integrable al cuadrado f expresada en esta base: ${\displaystyle \delta _{jk}}$ ${\displaystyle \langle f\vert g\rangle }$ ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{jk}\langle \psi ^{jk}\vert f\rangle \psi _{jk}(x)}$

Si existe una función tal que ${\displaystyle {\tilde {\psi }}\in L^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\tilde {\psi }}_{jk}=\psi ^{jk}}$

Entonces se denomina wavelet dual o wavelet dual a ψ . En general, para alguna función R dada ψ, el dual no existirá. En el caso especial de , se dice que el wavelet es un wavelet ortogonal . ${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$ ${\displaystyle \psi ={\tilde {\psi }}}$

Es fácil construir un ejemplo de una función R sin dual. Sea una wavelet ortogonal. Luego definamos para algún número complejo z . Es sencillo demostrar que este ψ no tiene dual wavelet. ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi (x)=\phi (x)+z\phi (2x)}$

Véase también

• Análisis multiresolución

Referencias

• Charles K. Chui, Introducción a Wavelets (Análisis de Wavelets y sus aplicaciones) , (1992), Academic Press, San Diego, ISBN  0-12-174584-8