Distribución log-logística desplazada

La distribución log-logística desplazada es una distribución de probabilidad también conocida como distribución log-logística generalizada o distribución log-logística de tres parámetros . ^{[1] [2]} También se la ha denominado distribución logística generalizada , ^[3] pero esto entra en conflicto con otros usos del término: véase distribución logística generalizada .

Definición

La distribución log-logística desplazada se puede obtener a partir de la distribución log-logística mediante la adición de un parámetro de desplazamiento . Por lo tanto, si tiene una distribución log-logística, entonces tiene una distribución log-logística desplazada. Por lo tanto, tiene una distribución log-logística desplazada si tiene una distribución logística. El parámetro de desplazamiento agrega un parámetro de ubicación a los parámetros de escala y forma de la distribución log-logística (sin desplazar). ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X+\delta }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \log(Y-\delta )}$

Las propiedades de esta distribución se pueden derivar fácilmente de las de la distribución log-logística. Sin embargo, una parametrización alternativa, similar a la utilizada para la distribución generalizada de Pareto y la distribución generalizada de valores extremos , proporciona parámetros más interpretables y también facilita su estimación.

En esta parametrización, la función de distribución acumulativa (CDF) de la distribución log-logística desplazada es

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma ,\xi )={\frac {1}{1+\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }}}}$

para , donde es el parámetro de ubicación, el parámetro de escala y el parámetro de forma. Nótese que algunas referencias utilizan para parametrizar la forma. ^{[3] [4]} ${\displaystyle 1+\xi (x-\mu )/\sigma \geqslant 0}$ ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sigma >0\,}$ ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \kappa =-\xi \,\!}$

La función de densidad de probabilidad (PDF) es

${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ,\xi )={\frac {\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-(1/\xi +1)}}{\sigma \left[1+\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }\right]^{2}}},}$

De nuevo, para ${\displaystyle 1+\xi (x-\mu )/\sigma \geqslant 0.}$

El parámetro de forma suele estar restringido a [-1,1], cuando la función de densidad de probabilidad está acotada. Cuando , tiene una asíntota en . Invertir el signo de refleja la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulada en torno a . ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle |\xi |>1}$ ${\displaystyle x=\mu -\sigma /\xi }$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle x=\mu .}$

Distribuciones relacionadas

• Cuando la distribución log-logística desplazada se reduce a la distribución log-logística. ${\displaystyle \mu =\sigma /\xi ,}$
• Cuando → 0, la distribución log-logística desplazada se reduce a la distribución logística . ${\displaystyle \xi }$
• La distribución log-logística desplazada con parámetro de forma es la misma que la distribución de Pareto generalizada con parámetro de forma ${\displaystyle \xi =1}$ ${\displaystyle \xi =1.}$

Aplicaciones

La distribución logístico-logística de tres parámetros se utiliza en hidrología para modelar la frecuencia de inundaciones. ^{[3] [4] [5]}

Parametrización alternativa

Una parametrización alternativa con expresiones más simples para la PDF y la CDF es la siguiente. Para el parámetro de forma , el parámetro de escala y el parámetro de ubicación , la PDF se proporciona mediante ^{[6] [7]} ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle f(x)={\frac {\alpha }{\beta }}{\bigg (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\bigg )}^{\alpha -1}{\bigg (}1+{\bigg (}{\frac {x-\gamma }{\beta }}{\bigg )}^{\alpha }{\bigg )}^{-2}}$

El CDF se da por

${\displaystyle F(x)={\bigg (}1+{\bigg (}{\frac {\beta }{x-\gamma }}{\bigg )}^{\alpha }{\bigg )}^{-1}}$

La media es y la varianza es , donde . ^[7] ${\displaystyle \beta \theta \csc(\theta )+\gamma }$ ${\displaystyle \beta ^{2}\theta [2\csc(2\theta )-\theta \csc ^{2}(\theta )]}$ ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{\alpha }}}$

Referencias

1. Venter, Gary G. (primavera de 1994), "Introducción a artículos seleccionados del programa de premios por variabilidad en las reservas" (PDF) , Casualty Actuarial Society Forum , 1 : 91–101
2. Geskus, Ronald B. (2001), "Métodos para estimar la distribución del tiempo de incubación del SIDA cuando se censura la fecha de seroconversión", Statistics in Medicine , 20 (5): 795–812, doi :10.1002/sim.700, PMID  11241577
3. Hosking, Jonathan RM; Wallis, James R (1997), Análisis de frecuencia regional: un enfoque basado en momentos L , Cambridge University Press, ISBN 0-521-43045-3
4. Robson, A.; Reed, D. (1999), Manual de estimación de inundaciones , vol. 3: "Procedimientos estadísticos para la estimación de frecuencia de inundaciones", Wallingford, Reino Unido: Instituto de Hidrología, ISBN 0-948540-89-3
5. Ahmad, MI; Sinclair, CD; Werritty, A. (1988), "Análisis logístico de frecuencia de inundaciones", Journal of Hydrology , 98 (3–4): 205–224, doi :10.1016/0022-1694(88)90015-7
6. "EasyFit - Log-Logistic Distribution" . Consultado el 1 de octubre de 2016 .
7. "Guía de uso - RISK7_EN.pdf" (PDF) . Consultado el 1 de octubre de 2016 .