La distribución hiperbólica generalizada ( GH ) es una distribución de probabilidad continua definida como la mezcla de varianza-media normal donde la distribución de mezcla es la distribución gaussiana inversa generalizada (GIG). Su función de densidad de probabilidad (ver el recuadro) se da en términos de la función de Bessel modificada de segundo tipo , denotada por . [1] Fue introducida por Ole Barndorff-Nielsen , quien la estudió en el contexto de la física de la arena arrastrada por el viento . [2]
Esta clase está cerrada bajo transformaciones afines . [1]
Barndorff-Nielsen y Halgreen demostraron que la distribución GIG es infinitamente divisible y, dado que la distribución GH se puede obtener como una mezcla de varianza-media normal donde la distribución de mezcla es la distribución gaussiana inversa generalizada , Barndorff-Nielsen y Halgreen demostraron que la distribución GH también es infinitamente divisible. [3]
Un punto importante sobre las distribuciones infinitamente divisibles es su conexión con los procesos de Lévy , es decir, en cualquier punto en el tiempo un proceso de Lévy está distribuido infinitamente divisible. Muchas familias de distribuciones infinitamente divisibles bien conocidas se denominan cerradas por convolución, es decir, si la distribución de un proceso de Lévy en un punto en el tiempo pertenece a una de estas familias, entonces la distribución del proceso de Lévy en todos los puntos en el tiempo pertenece a la misma familia de distribuciones. Por ejemplo, un proceso de Poisson tendrá una distribución de Poisson en todos los puntos en el tiempo, o un movimiento browniano tendrá una distribución normal en todos los puntos en el tiempo. Sin embargo, un proceso de Lévy que sea hiperbólico generalizado en un punto en el tiempo podría no ser hiperbólico generalizado en otro punto en el tiempo. De hecho, las distribuciones generalizadas de Laplace y las distribuciones gaussianas inversas normales son las únicas subclases de las distribuciones hiperbólicas generalizadas que están cerradas bajo convolución. [4]
Como sugiere su nombre, es de una forma muy general, siendo la superclase de, entre otras, la distribución t de Student , la distribución de Laplace , la distribución hiperbólica , la distribución gaussiana normal-inversa y la distribución varianza-gamma .
Se aplica principalmente a áreas que requieren una probabilidad suficiente de comportamiento de campo lejano [ aclaración necesaria ] , que puede modelar debido a sus colas semipesadas, una propiedad que la distribución normal no posee. La distribución hiperbólica generalizada se utiliza a menudo en economía, con aplicación particular en los campos de modelado de mercados financieros y gestión de riesgos, debido a sus colas semipesadas.
