Distribución Wishart inversa compleja

La distribución Wishart inversa compleja es una distribución de probabilidad matricial definida en matrices definidas positivas de valores complejos y es el análogo complejo de la distribución Wishart inversa real . Goodman ^[1] investigó exhaustivamente la compleja distribución de Wishart, mientras que Shaman ^[2] y otros muestran la derivación de la inversa . Tiene mayor aplicación en la teoría de optimización de mínimos cuadrados aplicada a muestras de datos valiosos complejos en sistemas de comunicaciones por radio digitales, a menudo relacionados con el filtrado complejo del dominio de Fourier.

Sea la covarianza muestral de p -vectores complejos independientes cuya covarianza hermitiana tiene una distribución Wishart compleja con grados de libertad de valor medio, entonces la función de densidad de probabilidad sigue la distribución Wishart inversa compleja. ${\displaystyle \mathbf {S} _{p\times p}=\sum _{j=1}^{\nu }G_{j}G_{j}^{H}}$ ${\displaystyle G_{j}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} \sim {\mathcal {CW}}(\mathbf {\Sigma } ,\nu ,p)}$ ${\displaystyle \mathbf {\Sigma } {\text{ and }}\nu }$ ${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {S^{-1}} }$

Densidad

Si es una muestra de la distribución compleja de Wishart tal que, en el caso más simple, se toma una muestra de la distribución compleja inversa de Wishart . ${\displaystyle \mathbf {S} _{p\times p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {CW}}({\mathbf {\Sigma } },\nu ,p)}$ ${\displaystyle \nu \geq p{\text{ and }}\left|\mathbf {S} \right|>0}$ ${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {S} ^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {CW}}^{-1}({\mathbf {\Psi } },\nu ,p){\text{ where }}\mathbf {\Psi } =\mathbf {\Sigma } ^{-1}}$

La función de densidad de es ${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle f_{\mathbf {x} }(\mathbf {x} )={\frac {\left|\mathbf {\Psi } \right|^{\nu }}{{\mathcal {C}}\Gamma _{p}(\nu )}}\left|\mathbf {x} \right|^{-(\nu +p)}e^{-\operatorname {tr} (\mathbf {\Psi } \mathbf {x} ^{-1})}}$

¿Dónde está la función Gamma multivariada compleja? ${\displaystyle {\mathcal {C}}\Gamma _{p}(\nu )}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}\Gamma _{p}(\nu )=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}p(p-1)}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (\nu -j+1)}$

Momentos

Las varianzas y covarianzas de los elementos de la distribución compleja inversa de Wishart se muestran en el artículo de Shaman anterior, mientras que Maiwald y Kraus ^[3] determinan los momentos del 1 al 4.

Chamán considera que el primer momento es

${\displaystyle \mathbf {E} [{\mathcal {C}}\mathbf {W^{-1}} ]={\frac {1}{n-p}}\mathbf {\Psi ^{-1}} ,\;n>p}$

y, en el caso más simple , dado , entonces ${\displaystyle \mathbf {\Psi } =\mathbf {I} _{p\times p}}$ ${\displaystyle d={\frac {1}{n-p}}}$

${\displaystyle \mathbf {\mathbf {E} \left[vec({\mathcal {C}}W_{3}^{-1})\right]} ={\begin{bmatrix}d&0&0&0&d&0&0&0&d\\\end{bmatrix}}}$

La covarianza vectorizada es

${\displaystyle \mathbf {Cov\left[vec({\mathcal {C}}W_{p}^{-1})\right]} =b\left(\mathbf {I} _{p}\otimes I_{p}\right)+c\,\mathbf {vecI_{p}} \left(\mathbf {vecI_{p}} \right)^{T}+(a-b-c)\mathbf {J} }$

donde es una matriz identidad con unos en posiciones diagonales y son constantes reales tales que para ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle p^{2}\times p^{2}}$ ${\displaystyle 1+(p+1)j,\;j=0,1,\dots p-1}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle n>p+1}$

${\displaystyle a={\frac {1}{(n-p)^{2}(n-p-1)}}}$, varianzas diagonales marginales

${\displaystyle b={\frac {1}{(n-p+1)(n-p)(n-p-1)}}}$, varianzas fuera de la diagonal.

${\displaystyle c={\frac {1}{(n-p+1)(n-p)^{2}(n-p-1)}}}$, covarianzas intradiagonales

Para , obtenemos la matriz dispersa: ${\displaystyle \mathbf {\Psi } =\mathbf {I} _{3}}$

${\displaystyle \mathbf {Cov\left[vec({\mathcal {C}}W_{3}^{-1})\right]} ={\begin{bmatrix}a&\cdot &\cdot &\cdot &c&\cdot &\cdot &\cdot &c\\\cdot &b&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &b&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &b&\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\c&\cdot &\cdot &\cdot &a&\cdot &\cdot &\cdot &c\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &b&\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &b&\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &b&\cdot \\c&\cdot &\cdot &\cdot &c&\cdot &\cdot &\cdot &a\\\end{bmatrix}}}$

Distribuciones de valores propios

La distribución conjunta de los valores propios reales del complejo inverso (y real) Wishart se encuentra en el artículo de Edelman ^[4], quien se remite a un artículo anterior de James. ^[5] En el caso no singular, los valores propios del Wishart inverso son simplemente los valores invertidos del Wishart. Edelman también caracteriza las distribuciones marginales de los valores propios más pequeños y más grandes de matrices de Wishart complejas y reales.

Referencias

1. Goodman, NR (1963). "Análisis estadístico basado en una determinada distribución gaussiana compleja multivariada: una introducción". Ana. Matemáticas. Estatista . 34 (1): 152-177. doi : 10.1214/aoms/1177704250 .
2. Chamán, Paul (1980). "La distribución Wishart compleja invertida y su aplicación a la estimación espectral". Revista de análisis multivariado . 10 : 51–59. doi :10.1016/0047-259X(80)90081-0.
3. Maiwald, Dirk; Kraus, Dieter (1997). "Sobre momentos de matrices distribuidas complejas de Wishart y de Wishart inversas complejas". 1997 Conferencia internacional IEEE sobre acústica, voz y procesamiento de señales . vol. 5. IEEE Icassp 1997. págs. 3817–3820. doi :10.1109/ICASSP.1997.604712. ISBN 0-8186-7919-0. S2CID  14918978.
4. Edelman, Alan (octubre de 1998). "Valores propios y números de condición de matrices aleatorias". SIAM J. Matriz anal. Aplica . 9 (4): 543–560. doi :10.1137/0609045. hdl : 1721.1/14322 .
5. James, AT (1964). "Distribuciones de variaciones de matriz y raíces latentes derivadas de muestras normales". Ana. Matemáticas. Estatista . 35 (2): 475–501. doi : 10.1214/aoms/1177703550 .