Distribución relativista de Breit-Wigner

Resonancia relativista de partículas y ampliación de la línea de desintegración.

La distribución relativista de Breit-Wigner (después de la fórmula de resonancia nuclear de 1936 ^[1] de Gregory Breit y Eugene Wigner ) es una distribución de probabilidad continua con la siguiente función de densidad de probabilidad , ^[2]

${\displaystyle f(E)={\frac {k}{\left(E^{2}-M^{2}\right)^{2}+M^{2}\Gamma ^{2}}}~,}$

donde k es una constante de proporcionalidad, igual a

${\displaystyle k={\frac {2{\sqrt {2}}M\Gamma \gamma }{\pi {\sqrt {M^{2}+\gamma }}}}~~~~}$   con   ${\displaystyle ~~~~\gamma ={\sqrt {M^{2}\left(M^{2}+\Gamma ^{2}\right)}}~.}$

(Esta ecuación está escrita usando unidades naturales , ħ = c = 1 ).

Se utiliza con mayor frecuencia para modelar resonancias (partículas inestables) en física de altas energías . En este caso, E es la energía del centro de masa que produce la resonancia, M es la masa de la resonancia y Γ es el ancho de la resonancia (o ancho de caída ), relacionado con su vida media según τ = 1/Γ. . (Con las unidades incluidas, la fórmula es τ = ħ /Γ ).

Uso

La probabilidad de producir la resonancia con una energía dada E es proporcional a f ( E ) , de modo que una gráfica de la tasa de producción de la partícula inestable en función de la energía traza la forma de la distribución relativista de Breit-Wigner. Tenga en cuenta que para valores de E fuera del máximo en M tales que | mi ²  -  METRO ² | = M Γ , (por lo tanto | E  −  M | = Γ/2 para M  ≫ Γ ), la distribución f se ha atenuado a la mitad de su valor máximo, lo que justifica el nombre de Γ, ancho a la mitad del máximo .

En el límite del ancho de fuga, Γ → 0, la partícula se vuelve estable a medida que la distribución de Lorentz f se agudiza infinitamente a 2 Mδ ( E ²  −  M ² ) .

En general, Γ también puede ser función de E ; Por lo general, esta dependencia solo es importante cuando Γ no es pequeña en comparación con M y es necesario tener en cuenta la dependencia del espacio de fase del ancho. (Por ejemplo, en la desintegración del mesón rho en un par de piones ). El factor de M ² que multiplica Γ ² también debe reemplazarse por E ² (o E ⁴ / M ² , etc.) cuando la resonancia es amplia. . ^[3]

La forma de la distribución relativista de Breit-Wigner surge del propagador de una partícula inestable, ^[4] que tiene un denominador de la forma p ² − M ² + iM Γ . (Aquí, p ² es el cuadrado de los cuatro momentos transportados por esa partícula en el diagrama de árbol de Feynman involucrado). El propagador en su sistema de reposo es entonces proporcional a la amplitud mecánico-cuántica para la desintegración utilizada para reconstruir esa resonancia,

${\displaystyle {\frac {\sqrt {k}}{\left(E^{2}-M^{2}\right)+iM\Gamma }}~.}$

La distribución de probabilidad resultante es proporcional al cuadrado absoluto de la amplitud, por lo que la distribución relativista de Breit-Wigner anterior para la función de densidad de probabilidad.

La forma de esta distribución es similar a la amplitud de la solución de la ecuación de movimiento clásica para un oscilador armónico impulsado amortiguado e impulsado por una fuerza externa sinusoidal . Tiene la forma de resonancia estándar de Lorentz o distribución de Cauchy , pero involucra variables relativistas s  =  p ² , aquí =  E ² . La distribución es la solución de la ecuación diferencial para la amplitud al cuadrado con respecto a la energía (frecuencia), en un oscilador forzado clásico de este tipo,

${\displaystyle f'({\text{E}})\left(\left({\text{E}}^{2}-M^{2}\right)^{2}+\Gamma ^{2}M^{2}\right)-4{\text{E}}f({\text{E}})(M-{\text{E}})({\text{E}}+M)=0,}$

con

${\displaystyle f(M)={\frac {k}{\Gamma ^{2}M^{2}}}.~}$

ampliación gaussiana

En el experimento, el haz incidente que produce resonancia siempre tiene cierta dispersión de energía alrededor de un valor central. Por lo general, se trata de una distribución gaussiana/normal . La forma de resonancia resultante en este caso viene dada por la convolución de Breit-Wigner y la distribución gaussiana,

${\displaystyle V_{2}(E;M,\Gamma ,k,\sigma )=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {k}{(E'^{2}-M^{2})^{2}+(M\Gamma )^{2}}}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {(E'-E)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}dE'.}$

Esta función se puede simplificar ^[5] introduciendo nuevas variables,

${\displaystyle t={\frac {E-E'}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad u_{1}={\frac {E-M}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad u_{2}={\frac {E+M}{{\sqrt {2}}\sigma }},\quad a={\frac {k\pi }{2\sigma ^{2}}},}$

para obtener

${\displaystyle V_{2}(E;M,\Gamma ,k,\sigma )={\frac {H_{2}(a,u_{1},u_{2})}{\sigma ^{2}2{\sqrt {\pi }}}},}$

donde la función de ampliación de línea relativista ^[5] tiene la siguiente definición,

${\displaystyle H_{2}(a,u_{1},u_{2})={\frac {a}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{(u_{1}-t)^{2}(u_{2}-t)^{2}+a^{2}}}dt.}$

${\displaystyle H_{2}}$es la contraparte relativista de la función de ampliación de línea similar ^[6] para el perfil de Voigt utilizado en espectroscopia (ver también la Sección 7.19 de ^[7] ).

Referencias

1. Breit, G.; Wigner, E. (1936). "Captura de neutrones lentos". Revisión física . 49 (7): 519. Código bibliográfico : 1936PhRv...49..519B. doi : 10.1103/PhysRev.49.519.
2. Consulte Pythia 6.4 Física y manual (página 98 en adelante) para obtener una discusión sobre los anchos de partículas en el manual de PYTHIA . Tenga en cuenta que esta distribución generalmente se representa como una función de la energía al cuadrado.
3. Böhm, A.; Sato, Y. (2005). "Resonancias relativistas: sus masas, anchos, tiempos de vida, superposición y evolución causal". Revisión física D. 71 (8): 085018. arXiv : hep-ph/0412106 . Código Bib : 2005PhRvD..71h5018B. doi : 10.1103/PhysRevD.71.085018. S2CID  119417992.
4. Marrón, LS (1994). Teoría cuántica de campos , Cambridge University Press, ISBN 978-0521469463 , Capítulo 6.3. 
5. Kycia, Radosław A.; Jadach, Stanisław (15 de julio de 2018). "Perfil relativista de Voigt para partículas inestables en física de altas energías". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 463 (2): 1040-1051. arXiv : 1711.09304 . doi :10.1016/j.jmaa.2018.03.065. ISSN  0022-247X. S2CID  78086748.
6. finlandés, GD; Mugglestone, D. (1 de febrero de 1965). "Tablas de la función de ampliación de línea H (a, v)". Avisos mensuales de la Real Sociedad Astronómica . 129 (2): 221–235. doi : 10.1093/mnras/129.2.221 . ISSN  0035-8711.
7. Manual de funciones matemáticas del NIST. Olver, Frank WJ, 1924-, Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (EE.UU.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. 2010. ISBN 978-0-521-19225-5. OCLC  502037224.{{cite book}}: Mantenimiento CS1: otros ( enlace )