Dispersión de Bhabha

Dispersión de electrones y positrones

En electrodinámica cuántica , la dispersión Bhabha es el proceso de dispersión electrón - positrón :

${\displaystyle e^{+}e^{-}\rightarrow e^{+}e^{-}}$

Hay dos diagramas de Feynman de orden principal que contribuyen a esta interacción: un proceso de aniquilación y un proceso de dispersión. La dispersión de Bhabha recibe su nombre del físico indio Homi J. Bhabha .

La tasa de dispersión Bhabha se utiliza como monitor de luminosidad en los colisionadores de electrones y positrones.

Sección transversal diferencial

Para el orden principal , la sección transversal diferencial promediada por espín para este proceso es

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} (\cos \theta )}}={\frac {\pi \alpha ^{2}}{s}}\left(u^{2}\left({\frac {1}{s}}+{\frac {1}{t}}\right)^{2}+\left({\frac {t}{s}}\right)^{2}+\left({\frac {s}{t}}\right)^{2}\right)\,}$

donde s , t y u son las variables de Mandelstam , es la constante de estructura fina y es el ángulo de dispersión. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \theta }$

Esta sección eficaz se calcula ignorando la masa del electrón en relación con la energía de colisión e incluyendo solo la contribución del intercambio de fotones. Esta es una aproximación válida para energías de colisión pequeñas en comparación con la escala de masa del bosón Z , aproximadamente 91 GeV; a energías más altas, la contribución del intercambio del bosón Z también se vuelve importante.

Variables de Mandelstam

En este artículo se definen las variables de Mandelstam mediante

donde las aproximaciones son para el límite de alta energía (relativista).

Derivación de la sección transversal no polarizada

Elementos de la matriz

Tanto los diagramas de dispersión como los de aniquilación contribuyen al elemento de la matriz de transición. Si k y k' representan el cuadrimpulso del positrón, mientras que p y p' representan el cuadrimpulso del electrón, y si se utilizan las reglas de Feynman , se puede demostrar que los siguientes diagramas dan estos elementos de la matriz:

Observe que hay una diferencia de signo relativa entre los dos diagramas.

Cuadrado del elemento de la matriz

Para calcular la sección eficaz no polarizada , se debe promediar los espines de las partículas entrantes ( valores posibles de s _e- y s _{e+ ) y} sumar los espines de las partículas salientes. Es decir,

Primero, calcula : ${\displaystyle |{\mathcal {M}}|^{2}\,}$

Término de dispersión (canal t)

Magnitud al cuadrado de M

Suma de giros

A continuación, nos gustaría sumar los espines de las cuatro partículas. Sean s y s' los espines del electrón y r y r' los espines del positrón.

Ahora bien, esa es la forma exacta; en el caso de los electrones, normalmente nos interesan las escalas de energía que superan con creces la masa del electrón. Si ignoramos la masa del electrón, obtenemos la forma simplificada:

Término de aniquilación (canal s)

El proceso para hallar el término de aniquilación es similar al anterior. Dado que los dos diagramas están relacionados por simetría cruzada y las partículas del estado inicial y final son las mismas, es suficiente permutar los momentos, obteniendo

(Esto es proporcional a dónde está el ángulo de dispersión en el marco del centro de masa). ${\displaystyle (1+\cos ^{2}\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$

Solución

Evaluando el término de interferencia siguiendo la misma línea y sumando los tres términos se obtiene el resultado final

${\displaystyle {\frac {\overline {|{\mathcal {M}}|^{2}}}{2e^{4}}}={\frac {u^{2}+s^{2}}{t^{2}}}+{\frac {2u^{2}}{st}}+{\frac {u^{2}+t^{2}}{s^{2}}}\,}$

Simplificando pasos

Relaciones de completitud

Las relaciones de completitud para los cuatro espinores u y v son

${\displaystyle \sum _{s=1,2}{u_{p}^{(s)}{\bar {u}}_{p}^{(s)}}=p\!\!\!/+m\,}$

${\displaystyle \sum _{s=1,2}{v_{p}^{(s)}{\bar {v}}_{p}^{(s)}}=p\!\!\!/-m\,}$

dónde

${\displaystyle p\!\!\!/=\gamma ^{\mu }p_{\mu }\,}$      (ver notación de barra de Feynman )

${\displaystyle {\bar {u}}=u^{\dagger }\gamma ^{0}\,}$

Rastrear identidades

Para simplificar la traza de las matrices gamma de Dirac , se deben utilizar identidades de traza. En este artículo se utilizan tres:

1. La traza de cualquier producto de un número impar de es cero ${\displaystyle \gamma _{\mu }\,}$
2. ${\displaystyle \operatorname {Tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })=4\eta ^{\mu \nu }}$
3. ${\displaystyle \operatorname {Tr} \left(\gamma _{\rho }\gamma _{\mu }\gamma _{\sigma }\gamma _{\nu }\right)=4\left(\eta _{\rho \mu }\eta _{\sigma \nu }-\eta _{\rho \sigma }\eta _{\mu \nu }+\eta _{\rho \nu }\eta _{\mu \sigma }\right)\,}$

Utilizando estos dos se encuentra que, por ejemplo,

Usos

La dispersión Bhabha se ha utilizado como monitor de luminosidad en varios experimentos de física de colisionadores e ⁺ e ⁻ . La medición precisa de la luminosidad es necesaria para realizar mediciones precisas de las secciones transversales.

La dispersión Bhabha de ángulo pequeño se utilizó para medir la luminosidad del funcionamiento de 1993 del Stanford Large Detector (SLD), con una incertidumbre relativa de menos del 0,5 %. ^[1]

Los colisionadores de electrones y positrones que operan en la región de las resonancias hadrónicas de baja altitud (alrededor de 1 GeV a 10 GeV), como el Colisionador de Electrones y Positrones de Beijing II y los experimentos "B-factory" de Belle y BaBar , utilizan la dispersión Bhabha de gran ángulo como monitor de luminosidad. Para lograr la precisión deseada en el nivel del 0,1 %, las mediciones experimentales deben compararse con un cálculo teórico que incluya correcciones radiativas de orden siguiente al principal . ^[2] La medición de alta precisión de la sección eficaz hadrónica total a estas bajas energías es un insumo crucial para el cálculo teórico del momento dipolar magnético anómalo del muón , que se utiliza para restringir la supersimetría y otros modelos de física más allá del Modelo Estándar .

Referencias

1. White, Sharon Leigh (1995). "Un estudio de la dispersión radiativa Bhabha de ángulo pequeño y medición de la luminosidad". Código Bibliográfico :1995PhDT.......160W. {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
2. Carloni Calame, C. M; Lunardini, C ; Montagna, G; Nicrosini, O; Piccinini, F (2000). "Dispersión Bhabha de gran ángulo y luminosidad en fábricas de sabor". Física nuclear B . 584 (1–2): 459–479. arXiv : hep-ph/0003268 . Código Bibliográfico :2000NuPhB.584..459C. doi :10.1016/S0550-3213(00)00356-4. S2CID  195072.

• Halzen, Francis ; Martin, Alan (1984). Quarks y leptones: un curso introductorio a la física de partículas moderna . John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2.
• Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1994). Introducción a la teoría cuántica de campos . Perseus Publishing. ISBN 0-201-50397-2.
• Dispersión de Bhabha en arxiv.org