Cálculo exterior discreto

En matemáticas , el cálculo exterior discreto ( DEC ) es la extensión del cálculo exterior a espacios discretos que incluyen gráficos , mallas de elementos finitos y, últimamente, también mallas poligonales generales ^[1] (no planas y no convexas). Los métodos DEC han demostrado ser muy potentes para mejorar y analizar los métodos de elementos finitos: por ejemplo, los métodos basados ​​en DEC permiten el uso de mallas altamente no uniformes para obtener resultados precisos. Las mallas no uniformes son ventajosas porque permiten el uso de elementos grandes donde el proceso a simular es relativamente simple, a diferencia de una resolución fina donde el proceso puede ser complicado (por ejemplo, cerca de una obstrucción al flujo de un fluido), mientras que utilizan menos poder computacional que si se usara una malla uniformemente fina.

La derivada exterior discreta

El teorema de Stokes relaciona la integral de una forma diferencial ( n  − 1) ω sobre el límite ∂ M de una variedad n -dimensional M con la integral de d ω (la derivada exterior de ω , y una forma diferencial n en M ) sobre M misma:

${\displaystyle \int _{M}\mathrm {d} \omega =\int _{\partial M}\omega .}$

Se podría pensar en las k -formas diferenciales como operadores lineales que actúan sobre "bits" de espacio k -dimensionales, en cuyo caso se podría preferir utilizar la notación de corchetes para un emparejamiento dual. En esta notación, el teorema de Stokes se lee como

${\displaystyle \langle \mathrm {d} \omega \mid M\rangle =\langle \omega \mid \partial M\rangle .}$

En el análisis de elementos finitos, la primera etapa es a menudo la aproximación del dominio de interés mediante una triangulación , T . Por ejemplo, una curva se aproximaría como una unión de segmentos de línea recta; una superficie se aproximaría mediante una unión de triángulos, cuyos bordes son segmentos de línea recta, que a su vez terminan en puntos. Los topólogos se referirían a esta construcción como un complejo simplicial . El operador de frontera en esta triangulación/complejo simplicial T se define de la manera habitual: por ejemplo, si L es un segmento de línea dirigido desde un punto, a , a otro, b , entonces la frontera ∂ L de L es la diferencia formal b  −  a .

Una forma k en T es un operador lineal que actúa sobre subcomplejos k -dimensionales de T ; por ejemplo, una forma 0 asigna valores a puntos y se extiende linealmente a combinaciones lineales de puntos; una forma 1 asigna valores a segmentos de línea de una manera lineal similar. Si ω es una forma k en T , entonces la derivada exterior discreta d ω de ω es la única forma ( k  + 1) definida de modo que el teorema de Stokes se cumpla:

${\displaystyle \langle \mathrm {d} \omega \mid S\rangle =\langle \omega \mid \partial S\rangle .}$

Para cada  subcomplejo de dimensión ( k + 1) de T , S .

También se pueden definir otros operadores y operaciones como el producto de cuña discreta , la ^[2] estrella de Hodge o la derivada de Lie .

Véase también

• Geometría diferencial discreta
• Teoría de Morse discreta
• Combinatoria topológica
• Cálculo discreto

Notas

1. Ptáčková, Lenka; Velho, Luiz (junio de 2021). "Un cálculo exterior discreto simple y completo sobre mallas poligonales generales". Diseño Geométrico Asistido por Computadora . 88 : 102002. arXiv : 2401.15436 . doi :10.1016/j.cagd.2021.102002. S2CID  235613614.
2. Ptackova, Lenka; Velho, Luiz (2017). "Una discretización primal a primal del cálculo exterior en mallas poligonales". Simposio sobre procesamiento geométrico 2017 - Pósteres : 2 páginas. doi :10.2312/SGP.20171204. ISBN 9783038680475. ISSN  1727-8384.

Referencias

• Un cálculo exterior discreto simple y completo sobre mallas poligonales generales, Ptackova, Lenka y Velho, Luiz, Computer Aided Geometric Design, 2021, DOI: 10.1016/j.cagd.2021.102002
• Cálculo discreto, Grady, Leo J., Polimeni, Jonathan R., 2010
• Tesis de Hirani sobre cálculo exterior discreto
• Una discretización de primal a primal del cálculo exterior en mallas poligonales, Ptackova, L. y Velho, L., Simposio sobre procesamiento geométrico 2017, DOI: 10.2312/SGP.20171204
• Convergencia de aproximaciones de cálculo exterior discreto para problemas de Poisson, E. Schulz y G. Tsogtgerel, Disc. Comp. Geo. 63(2), 346 - 376, 2020
• Sobre la discretización geométrica de la elasticidad, Arash Yavari, J. Math. Phys. 49, 022901 (2008), DOI:10.1063/1.2830977
• Geometría diferencial discreta: una introducción aplicada, Keenan Crane, 2018