Grupo dicíclico

En teoría de grupos , un grupo dicíclico (notación Dic _n o Q _{4 n} , ^[1] ⟨ n ,2,2⟩ ^[2] ) es un tipo particular de grupo no abeliano de orden 4 n ( n > 1). Es una extensión del grupo cíclico de orden 2 por un grupo cíclico de orden 2 n , dando el nombre de dicíclico . En la notación de secuencias exactas de grupos, esta extensión puede expresarse como:

${\displaystyle 1\to C_{2n}\to {\mbox{Dic}}_{n}\to C_{2}\to 1.\,}$

De manera más general, dado cualquier grupo abeliano finito con un elemento de orden 2, se puede definir un grupo dicíclico.

Definición

Para cada entero n > 1, el grupo dicíclico Dic _n se puede definir como el subgrupo de los cuaterniones unitarios generados por

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=e^{\frac {i\pi }{n}}=\cos {\frac {\pi }{n}}+i\sin {\frac {\pi }{n}}\\x&=j\end{aligned}}}$

De manera más abstracta, se puede definir el grupo dicíclico Dic _n como el grupo con la siguiente presentación ^[3]

${\displaystyle \operatorname {Dic} _{n}=\left\langle a,x\mid a^{2n}=1,\ x^{2}=a^{n},\ x^{-1}ax=a^{-1}\right\rangle .\,\!}$

Algunas cosas a tener en cuenta que se desprenden de esta definición:

• ${\displaystyle x^{4}=1}$
• ${\displaystyle x^{2}a^{m}=a^{m+n}=a^{m}x^{2}}$
• Si , entonces ${\displaystyle l=\pm 1}$ ${\displaystyle x^{l}a^{m}=a^{-m}x^{l}}$
• ${\displaystyle a^{m}x^{-1}=a^{m-n}a^{n}x^{-1}=a^{m-n}x^{2}x^{-1}=a^{m-n}x}$

Por lo tanto, cada elemento de Dic _n puede escribirse de forma única como m x ^l , donde 0 ≤ m < 2 n y l = 0 o 1. Las reglas de multiplicación están dadas ^por

• ${\displaystyle a^{k}a^{m}=a^{k+m}}$
• ${\displaystyle a^{k}a^{m}x=a^{k+m}x}$
• ${\displaystyle a^{k}xa^{m}=a^{k-m}x}$
• ${\displaystyle a^{k}xa^{m}x=a^{k-m+n}}$

De ello se deduce que Dic _n tiene orden 4 n . ^[3]

Cuando n = 2, el grupo dicíclico es isomorfo al grupo cuaterniones Q. De manera más general, cuando n es una potencia de 2, el grupo dicíclico es isomorfo al grupo cuaterniones generalizado . ^[3]

Propiedades

Para cada n > 1, el grupo dicíclico Dic _n es un grupo no abeliano de orden 4 n . (Para el caso degenerado n = 1, el grupo Dic ₁ es el grupo cíclico C ₄ , que no se considera dicíclico.)

Sea A = ⟨ a ⟩ el subgrupo de Dic _n generado por a . Entonces A es un grupo cíclico de orden 2 n , por lo que [Dic _n : A ] = 2. Como subgrupo de índice 2 es automáticamente un subgrupo normal . El grupo cociente Dic _n / A es un grupo cíclico de orden 2.

Dic _n es solucionable ; tenga en cuenta que A es normal y, al ser abeliano, es en sí mismo solucionable.

Grupo diedro binario

El grupo dicíclico es un grupo poliédrico binario —es una de las clases de subgrupos del grupo Pin Pin ₋ (2), que es un subgrupo del grupo Spin Spin(3)— y en este contexto se conoce como grupo diedro binario .

La conexión con el grupo cíclico binario C _{2 n} , el grupo cíclico C _n y el grupo diedro Dih _n de orden 2 n se ilustra en el diagrama de la derecha y es paralelo al diagrama correspondiente para el grupo Pin. Coxeter escribe el grupo diedro binario como ⟨2,2, n ⟩ y el grupo cíclico binario con corchetes angulares, ⟨ n ⟩.

Existe una semejanza superficial entre los grupos dicíclicos y los grupos diedros ; ambos son una especie de "reflejo" de un grupo cíclico subyacente. Pero la presentación de un grupo diedro tendría x ² = 1, en lugar de x ² = a ⁿ ; y esto produce una estructura diferente. En particular, Dic _n no es un producto semidirecto de A y ⟨ x ⟩ , ya que A  ∩  ⟨ x ⟩ no es trivial.

El grupo dicíclico tiene una única involución (es decir, un elemento de orden 2), a saber, x ² = a ⁿ . Nótese que este elemento se encuentra en el centro de Dic _n . De hecho, el centro consiste únicamente en el elemento identidad y x ² . Si añadimos la relación x ² = 1 a la presentación de Dic _{n ,} se obtiene una presentación del grupo diedro Dih _n , por lo que el grupo cociente Dic _n /< x ² > es isomorfo a Dih _n .

Existe un homomorfismo natural 2 a 1 desde el grupo de cuaterniones unitarios hasta el grupo de rotación tridimensional descrito en cuaterniones y rotaciones espaciales . Dado que el grupo dicíclico puede estar incrustado dentro de los cuaterniones unitarios, uno puede preguntarse cuál es la imagen de este bajo este homomorfismo. La respuesta es simplemente el grupo de simetría diedral Dih _n . Por esta razón, el grupo dicíclico también se conoce como el grupo diedral binario . Nótese que el grupo dicíclico no contiene ningún subgrupo isomorfo a Dih _n .

La construcción de preimagen análoga, utilizando Pin ₊ (2) en lugar de Pin ₋ (2), produce otro grupo diedro, Dih _{2 n} , en lugar de un grupo dicíclico.

Generalizaciones

Sea A un grupo abeliano , que tiene un elemento específico y en A con orden 2. Un grupo G se llama grupo dicíclico generalizado , escrito como Dic( A , y ) , si es generado por A y un elemento adicional x , y además tenemos que [ G : A ] = 2, x ² = y , y para todo a en A , x ⁻¹ ax = a ⁻¹ .

Dado que para un grupo cíclico de orden par siempre hay un elemento único de orden 2, podemos ver que los grupos dicíclicos son simplemente un tipo específico de grupo dicíclico generalizado.

El grupo dicíclico es el caso de la familia de grupos triangulares binarios definidos por la presentación:[1] ${\displaystyle (p,q,r)=(2,2,n)}$ ${\displaystyle \Gamma (p,q,r)}$

${\displaystyle \langle a,b,c\mid a^{p}=b^{q}=c^{r}=abc\rangle .}$

Tomando el cociente por la relación adicional se obtiene un grupo de triángulos ordinarios , que en este caso es el cociente diedro . ${\displaystyle abc=e}$ ${\displaystyle \mathrm {Dic} _{n}\rightarrow \mathrm {Dih} _{n}}$

Véase también

• grupo poliédrico binario
• grupo cíclico binario , ⟨ n ⟩, orden 2 n
• grupo tetraédrico binario , 2T = ⟨2,3,3⟩, ^[2] orden 24
• grupo octaédrico binario , 2O = ⟨2,3,4⟩, ^[2] orden 48
• grupo icosaédrico binario , 2I = ⟨2,3,5⟩, ^[2] orden 120

Referencias

1. Nicholson, W. Keith (1999). Introducción al álgebra abstracta (2.ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons, Inc., pág. 449. ISBN 0-471-33109-0.
2. Coxeter&Moser: Generadores y relaciones para grupos discretos: <l,m,n>: R ^l = S ^m = T ⁿ = RST
3. Roman, Steven (2011). Fundamentos de la teoría de grupos: un enfoque avanzado . Springer. págs. 347–348. ISBN. 9780817683016.

• Coxeter, HSM (1974), "7.1 Los grupos cíclicos y dicíclicos", Regular Complex Polytopes , Cambridge University Press, págs. 74-75.
• Coxeter, HSM; Moser, WOJ (1980). Generadores y relaciones para grupos discretos . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN. 0-387-09212-9.

Enlaces externos

• Grupos dicíclicos en GroupNames