Ecuación de Marchenko

En física matemática , más específicamente en el problema de dispersión inversa unidimensional , la ecuación de Marchenko (o ecuación de Gelfand-Levitan-Marchenko o ecuación GLM ), llamada así por Israel Gelfand , Boris Levitan y Vladimir Marchenko , se deriva calculando la transformada de Fourier de la relación de dispersión:

${\displaystyle K(r,r^{\prime })+g(r,r^{\prime })+\int _{r}^{\infty }K(r,r^{\prime \prime })g(r^{\prime \prime },r^{\prime })\mathrm {d} r^{\prime \prime }=0}$

Donde es un núcleo simétrico , tal que se calcula a partir de los datos de dispersión. Al resolver la ecuación de Marchenko, se obtiene el núcleo del operador de transformación a partir del cual se puede leer el potencial. Esta ecuación se deriva de la ecuación integral de Gelfand-Levitan, utilizando la representación de Povzner-Levitan. ${\displaystyle g(r,r^{\prime })\,}$ ${\displaystyle g(r,r^{\prime })=g(r^{\prime },r),\,}$ ${\displaystyle K(r,r^{\prime })}$

Aplicación a la teoría de la dispersión

Supongamos que para un potencial para el operador de Schrödinger , uno tiene los datos de dispersión , donde son los coeficientes de reflexión de la dispersión continua, dados como una función , y los parámetros reales son del espectro límite discreto. ^[1] ${\displaystyle u(x)}$ ${\displaystyle L=-{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+u(x)}$ ${\displaystyle (r(k),\{\chi _{1},\cdots ,\chi _{N}\})}$ ${\displaystyle r(k)}$ ${\displaystyle r:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \chi _{1},\cdots ,\chi _{N}>0}$

Luego, al definir dónde están las constantes distintas de cero, resolver la ecuación GLM para permite recuperar el potencial utilizando la fórmula $${\displaystyle F(x)=\sum _{n=1}^{N}\beta _{n}e^{-\chi _{n}x}+{\frac {1}{2\pi }}\int _{\mathbb {R} }r(k)e^{ikx}dk,}$$ ${\displaystyle \beta _{n}}$ $${\displaystyle K(x,y)+F(x+y)+\int _{x}^{\infty }K(x,z)F(z+y)dz=0}$$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle u(x)=-2{\frac {d}{dx}}K(x,x).}$$

Véase también

• Par laxo

Notas

1. Dunajski 2009, págs. 30-31.

Referencias

• Dunajski, Maciej (2009). Solitones, Instantones y Twistores . Oxford; Nueva York: OUP Oxford. ISBN 978-0-19-857063-9.OCLC 320199531  .
• Marchenko, VA (2011). Operadores de Sturm-Liouville y aplicaciones (2.ª ed.). Providence: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-5316-0.Sr. 2798059  .
• Kay, Irvin W. (1955). El problema de la dispersión inversa. Nueva York: Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University. OCLC  1046812324.
• Levinson, Norman (1953). "Ciertas relaciones explícitas entre el desplazamiento de fase y el potencial de dispersión". Physical Review . 89 (4): 755–757. Bibcode :1953PhRv...89..755L. doi :10.1103/PhysRev.89.755. ISSN  0031-899X.