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Desigualdad de Van der Corput

En matemáticas , la desigualdad de van der Corput es un corolario de la desigualdad de Cauchy-Schwarz que resulta útil en el estudio de correlaciones entre vectores y, por lo tanto, variables aleatorias . También es útil en el estudio de secuencias equidistribuidas , por ejemplo, en la estimación de la equidistribución de Weyl. En términos generales, la desigualdad de van der Corput afirma que si un vector unitario en un espacio de producto interno está fuertemente correlacionado con muchos vectores unitarios , entonces muchos de los pares deben estar fuertemente correlacionados entre sí. Aquí, la noción de correlación se hace precisa por el producto interno del espacio : cuando el valor absoluto de es cercano a , entonces y se consideran fuertemente correlacionados. (De manera más general, si los vectores involucrados no son vectores unitarios, entonces una fuerte correlación significa que ).

Enunciado de la desigualdad

Sea un espacio de producto interno real o complejo con producto interno y norma inducida . Supóngase que y que . Entonces

En términos de la heurística de correlación mencionada anteriormente, si está fuertemente correlacionado con muchos vectores unitarios , entonces el lado izquierdo de la desigualdad será grande, lo que obliga a que una proporción significativa de los vectores estén fuertemente correlacionados entre sí.

Prueba de la desigualdad

Empezamos por notar que para cualquier existe (real o complejo) tal que y . Entonces,

ya que el producto interno es bilineal
por la desigualdad de Cauchy-Schwarz
por la definición de la norma inducida
ya que es un vector unitario y el producto interno es bilineal
desde entonces para todos .

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