Desigualdad matricial lineal

Optimización convexa matemática

En la optimización convexa , una desigualdad matricial lineal ( LMI ) es una expresión de la forma

${\displaystyle \operatorname {LMI} (y):=A_{0}+y_{1}A_{1}+y_{2}A_{2}+\cdots +y_{m}A_{m}\succeq 0\,}$

dónde

• ${\displaystyle y=[y_{i}\,,~i\!=\!1,\dots ,m]}$es un vector real,
• ${\displaystyle A_{0},A_{1},A_{2},\dots ,A_{m}}$son matrices simétricas , ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$
• ${\displaystyle B\succeq 0}$es una desigualdad generalizada, es decir, es una matriz semidefinida positiva que pertenece al cono semidefinido positivo en el subespacio de matrices simétricas . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {S} _{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$

Esta desigualdad matricial lineal especifica una restricción convexa en  . ${\displaystyle y}$

Aplicaciones

Existen métodos numéricos eficientes para determinar si un LMI es factible ( por ejemplo , si existe un vector y tal que LMI( y ) ≥ 0), o para resolver un problema de optimización convexa con restricciones LMI. Muchos problemas de optimización en teoría de control , identificación de sistemas y procesamiento de señales se pueden formular utilizando LMI. También los LMI encuentran aplicación en la suma de cuadrados polinomial . El programa semidefinido primal y dual prototípico es una minimización de una función lineal real sujeta respectivamente a los conos convexos primal y dual que gobiernan este LMI.

Solución de problemas de LMI

Un avance importante en la optimización convexa fue la introducción de los métodos de puntos interiores . Estos métodos se desarrollaron en una serie de artículos y adquirieron verdadero interés en el contexto de los problemas LMI en el trabajo de Yurii Nesterov y Arkadi Nemirovski .

Véase también

• Programación semidefinida
• Espectraedro
• Lema de Finsler

Referencias

• Y. Nesterov y A. Nemirovsky, Métodos polinomiales de puntos interiores en programación convexa. SIAM, 1994.

Enlaces externos

• S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron y V. Balakrishnan, Desigualdades matriciales lineales en la teoría de sistemas y control (libro en formato pdf)
• C. Scherer y S. Weiland, Desigualdades de matrices lineales en control