Desigualdad de Levinson

En matemáticas , la desigualdad de Levinson es la siguiente desigualdad, debida a Norman Levinson , que involucra números positivos. Sea y sea una función dada que tiene una tercera derivada en el rango , y tal que ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (0,2a)}$

${\displaystyle f'''(x)\geq 0}$

para todos . Supongamos que y para . Entonces ${\displaystyle x\in (0,2a)}$ ${\displaystyle 0<x_{i}\leq a}$ ${\displaystyle 0<p_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}f(x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}-f\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}\right)\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}f(2a-x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}-f\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}p_{i}(2a-x_{i})}{\sum _{i=1}^{n}p_{i}}}\right).}$

La desigualdad de Ky Fan es el caso especial de la desigualdad de Levinson, donde

${\displaystyle p_{i}=1,\ a={\frac {1}{2}},{\text{ and }}f(x)=\log x.}$

Referencias

• Scott Lawrence y Daniel Segalman: Una generalización de dos desigualdades que involucran medias , Actas de la American Mathematical Society. Vol 35 No. 1, septiembre de 1972.
• Norman Levinson : Generalización de una desigualdad de Ky Fan , Journal of Mathematical Analysis and Applications. Vol 8 (1964), 133–134.