La desigualdad de Samuelson

Concepto en estadística

En estadística , la desigualdad de Samuelson , llamada así en honor al economista Paul Samuelson , ^[1] también llamada desigualdad de Laguerre-Samuelson , ^{[2] [3]} en honor al matemático Edmond Laguerre , establece que cada uno de cualquier colección x ₁ ,...,  x _n , está dentro de √ n  − 1 desviaciones estándar muestrales no corregidas de su media muestral.

Declaración de la desigualdad

si dejamos

${\displaystyle {\overline {x}}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}}$

ser la media muestral y

${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$

sea ​​la desviación estándar de la muestra, entonces

${\displaystyle {\overline {x}}-s{\sqrt {n-1}}\leq x_{j}\leq {\overline {x}}+s{\sqrt {n-1}}\qquad {\text{for }}j=1,\dots ,n.}$^[4]

La igualdad se cumple a la izquierda (o a la derecha) si y sólo si todos los n  − 1 distintos de son iguales entre sí y mayores (menores) que ^[2] ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle x_{j}.}$

Si, en cambio, define , la desigualdad aún se aplica y se puede ajustar ligeramente a ${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}}}$ ${\displaystyle {\overline {x}}-s{\sqrt {n-1}}\leq x_{j}\leq {\overline {x}}+s{\sqrt {n-1}}}$ ${\displaystyle {\overline {x}}-s{\tfrac {n-1}{\sqrt {n}}}\leq x_{j}\leq {\overline {x}}+s{\tfrac {n-1}{\sqrt {n}}}.}$

Comparación con la desigualdad de Chebyshev

La desigualdad de Chebyshev ubica una cierta fracción de los datos dentro de ciertos límites, mientras que la desigualdad de Samuelson ubica todos los puntos de datos dentro de ciertos límites.

Los límites dados por la desigualdad de Chebyshev no se ven afectados por el número de puntos de datos, mientras que para la desigualdad de Samuelson los límites se aflojan a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Por tanto, para conjuntos de datos suficientemente grandes, la desigualdad de Chebyshev es más útil.

Aplicaciones

La desigualdad de Samuelson puede considerarse una razón por la cual la estudentización de los residuos debe realizarse externamente .

Relación con polinomios

Samuelson no fue el primero en describir esta relación: el primero fue probablemente Laguerre en 1880 mientras investigaba las raíces (ceros) de polinomios . ^{[2] [5]}

Considere un polinomio con todas las raíces reales:

${\displaystyle a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}=0}$

Sin pérdida de generalidad, deja y deja. ${\displaystyle a_{0}=1}$

${\displaystyle t_{1}=\sum x_{i}}$y ${\displaystyle t_{2}=\sum x_{i}^{2}}$

Entonces

${\displaystyle a_{1}=-\sum x_{i}=-t_{1}}$

y

${\displaystyle a_{2}=\sum x_{i}x_{j}={\frac {t_{1}^{2}-t_{2}}{2}}\qquad {\text{ where }}i<j}$

En términos de los coeficientes

${\displaystyle t_{2}=a_{1}^{2}-2a_{2}}$

Laguerre demostró que las raíces de este polinomio estaban acotadas por

${\displaystyle -a_{1}/n\pm b{\sqrt {n-1}}}$

dónde

${\displaystyle b={\frac {\sqrt {nt_{2}-t_{1}^{2}}}{n}}={\frac {\sqrt {na_{1}^{2}-a_{1}^{2}-2na_{2}}}{n}}}$

La inspección muestra que es la media de las raíces y que b es la desviación estándar de las raíces. ${\displaystyle -{\tfrac {a_{1}}{n}}}$

Laguerre no notó esta relación con las medias y desviaciones estándar de las raíces, estando más interesado en los límites mismos. Esta relación permite una estimación rápida de los límites de las raíces y puede ser útil para su ubicación.

Cuando los coeficientes y son ambos cero no se puede obtener información sobre la ubicación de las raíces, porque no todas las raíces son reales (como se puede ver en la regla de los signos de Descartes ) a menos que el término constante también sea cero. ${\displaystyle a_{1}}$ ${\displaystyle a_{2}}$

Referencias

1. Samuelson, Paul (1968). "¿Qué tan desviado puedes ser?". Revista de la Asociación Estadounidense de Estadística . 63 (324): 1522-1525. doi :10.2307/2285901. JSTOR  2285901.
2. Jensen, Shane Tyler (1999). La desigualdad de Laguerre-Samuelson con extensiones y aplicaciones en estadística y teoría de matrices (PDF) (Maestría). Departamento de Matemáticas y Estadística, Universidad McGill .
3. Jensen, Shane T.; Styan, George PH (1999). "Algunos comentarios y bibliografía sobre la desigualdad de Laguerre-Samuelson con extensiones y aplicaciones en estadística y teoría de matrices". Desigualdades y aplicaciones analíticas y geométricas . págs. 151–181. doi :10.1007/978-94-011-4577-0_10. ISBN 978-94-010-5938-1.
4. Barnett, Neil S.; Dragomir, Sever Silvestru (2008). Avances en desigualdades desde la teoría de la probabilidad y la estadística . Editores Nova. pag. 164.ISBN​ 978-1-60021-943-6.
5. Laguerre E. (1880) Mémoire pour obtenir par approximation les racines d'une équation algébrique qui a toutes les racines réelles. Nouv Ann Math 2 ^y serie, 19, 161–172, 193–202