Desigualdad de Hermite-Hadamard

En matemáticas , la desigualdad de Hermite-Hadamard , llamada así por Charles Hermite y Jacques Hadamard y a veces también llamada desigualdad de Hadamard , establece que si una función ƒ : [ a ,  b ] →  R es convexa , entonces se cumple la siguiente cadena de desigualdades:

${\displaystyle f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}.}$

La desigualdad se ha generalizado a dimensiones superiores: si es un dominio convexo acotado y es una función convexa positiva, entonces ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }f(x)\,dx\leq {\frac {c_{n}}{|\partial \Omega |}}\int _{\partial \Omega }f(y)\,d\sigma (y)}$

donde es una constante que depende únicamente de la dimensión. ${\displaystyle c_{n}}$

Referencias

• Jacques Hadamard , "Étude sur les propriétés des fonctions entières et en particulier d'une fonction considérée par Riemann ", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , volumen 58, 1893, páginas 171-215.
• Zoltán Retkes, "Una extensión de la desigualdad Hermite-Hadamard ", Acta Sci. Matemáticas. (Szeged) , 74 (2008), páginas 95–106.
• Mihály Bessenyei, "La desigualdad de Hermite-Hadamard en simplices ", American Mathematical Monthly , volumen 115, abril de 2008, páginas 339–345.
• Flavia-Corina Mitroi, Eleutherius Symeonidis, "El recíproco de la desigualdad de Hermite-Hadamard en simples", Expo. Matemáticas. 30 (2012), págs. 389–396. doi :10.1016/j.exmath.2012.08.011; ISSN  0723-0869
• Stefan Steinerberger, La desigualdad de Hermite-Hadamard en dimensiones superiores, The Journal of Geometric Analysis, 2019.