Desigualdad de Brezis-Gallouët

En análisis matemático , la desigualdad de Brezis-Gallouët , ^[1] que lleva el nombre de Haïm Brezis y Thierry Gallouët, es una desigualdad válida en 2 dimensiones espaciales. Muestra que una función de dos variables que es suficientemente suave está (esencialmente) acotada y proporciona una cota explícita, que depende sólo logarítmicamente de las segundas derivadas. Es útil en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales .

Sea el exterior o el interior de un dominio acotado con límite regular, o él mismo. Entonces la desigualdad de Brezis-Gallouët establece que existe un real que sólo depende de tal que, para todo lo que no es ae igual a 0, ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )}$

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}\left(1+{\Bigl (}\log {\bigl (}1+{\frac {\|u\|_{H^{2}(\Omega )}}{\|u\|_{H^{1}(\Omega )}}}{\bigr )}{\Bigr )}^{1/2}\right).}$

Prueba

La hipótesis de regularidad se define de manera que existe un operador de extensión tal que: ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle P~:~H^{2}(\Omega )\to H^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$

• ${\displaystyle P}$es un operador acotado de a ; ${\displaystyle H^{1}(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {R} ^{2})}$
• ${\displaystyle P}$es un operador acotado de a ; ${\displaystyle H^{2}(\Omega )}$ ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$
• la restricción a de es igual a para todos . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle Pu}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )}$

Sea tal que . Luego, denotando por la función obtenida por la transformada de Fourier, se obtiene la existencia de sólo dependiendo de tal que: ${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )}$ ${\displaystyle \|u\|_{H^{1}(\Omega )}=1}$ ${\displaystyle {\widehat {v}}}$ ${\displaystyle v=Pu}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle \Omega }$

• ${\displaystyle \|(1+|\xi |){\widehat {v}}\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}\leq C}$,
• ${\displaystyle \|(1+|\xi |^{2}){\widehat {v}}\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}\leq C\|u\|_{H^{2}(\Omega )}}$,
• ${\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq \|v\|_{L^{\infty }(\mathbb {R} ^{2})}\leq C\|{\widehat {v}}\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}}$.

Para cualquiera , se escribe: ${\displaystyle R>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\displaystyle \|{\widehat {v}}\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}&=\int _{|\xi |<R}|{\widehat {v}}(\xi )|{\rm {d}}\xi +\int _{|\xi |>R}|{\widehat {v}}(\xi )|{\rm {d}}\xi \\&=\int _{|\xi |<R}(1+|\xi |)|{\widehat {v}}(\xi )|{\frac {1}{1+|\xi |}}{\rm {d}}\xi +\int _{|\xi |>R}(1+|\xi |^{2})|{\widehat {v}}(\xi )|{\frac {1}{1+|\xi |^{2}}}{\rm {d}}\xi \\&\leq C\left(\int _{|\xi |<R}{\frac {1}{(1+|\xi |)^{2}}}{\rm {d}}\xi \right)^{\frac {1}{2}}+C\|u\|_{H^{2}(\Omega )}\left(\int _{|\xi |>R}{\frac {1}{(1+|\xi |^{2})^{2}}}{\rm {d}}\xi \right)^{\frac {1}{2}},\end{aligned}}}$

debido a las desigualdades anteriores y a la desigualdad de Cauchy-Schwarz. Esto produce

${\displaystyle \|{\widehat {v}}\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}\leq C(\log(1+R))^{\frac {1}{2}}+C{\frac {\|u\|_{H^{2}(\Omega )}}{1+R}}.}$

La desigualdad se demuestra entonces, en el caso , dejando . Para el caso general de no idénticamente nulo, basta con aplicar esta desigualdad a la función . ${\displaystyle \|u\|_{H^{1}(\Omega )}=1}$ ${\displaystyle R=\|u\|_{H^{2}(\Omega )}}$ ${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )}$ ${\displaystyle u/\|u\|_{H^{1}(\Omega )}}$

Observando que, para cualquiera , se cumple ${\displaystyle v\in H^{2}(\mathbb {R} ^{2})}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{2}}{\bigl (}(\partial _{11}^{2}v)^{2}+2(\partial _{12}^{2}v)^{2}+(\partial _{22}^{2}v)^{2}{\bigr )}=\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\bigl (}\partial _{11}^{2}v+\partial _{22}^{2}v{\bigr )}^{2},}$

De la desigualdad de Brezis-Gallouet se deduce que sólo existe una dependencia tal que, para todo lo que no es ae igual a 0, ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u\in H^{2}(\Omega )}$

${\displaystyle \displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}\left(1+{\Bigl (}\log {\bigl (}1+{\frac {\|\Delta u\|_{L^{2}(\Omega )}}{\|u\|_{H^{1}(\Omega )}}}{\bigr )}{\Bigr )}^{1/2}\right).}$

La desigualdad anterior se acerca a la forma en que se cita la desigualdad de Brezis-Gallouet. ^[2]

Ver también

• Desigualdad de Ladyzhenskaya
• La desigualdad de Agmon

Referencias

1. H. Brezis y T. Gallouet. Ecuaciones de evolución de Schrödinger no lineales. Anal no lineal. 4 (1980), núm. 4, 677–681. doi :10.1016/0362-546X(80)90068-1
2. Foiás, Ciprián ; Manley, O.; Rosa, R.; Temam, R. (2001). Ecuaciones de Navier-Stokes y turbulencia . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-36032-3.