Métodos de descomposición de dominios.

Métodos de descomposición de dominios.

En matemáticas , análisis numérico y ecuaciones diferenciales parciales numéricas , los métodos de descomposición de dominios resuelven un problema de valores en la frontera dividiéndolo en problemas de valores en la frontera más pequeños en subdominios e iterando para coordinar la solución entre subdominios adyacentes. Se utiliza un problema aproximado con una o pocas incógnitas por subdominio para coordinar aún más la solución entre los subdominios a nivel global. Los problemas de los subdominios son independientes, lo que hace que los métodos de descomposición de dominios sean adecuados para la computación paralela . Los métodos de descomposición de dominios se utilizan normalmente como precondicionadores para los métodos iterativos del espacio de Krylov , como el método del gradiente conjugado , GMRES y LOBPCG .

En los métodos de descomposición de dominios superpuestos, los subdominios se superponen en más que la interfaz. Los métodos de descomposición de dominios superpuestos incluyen el método alterno de Schwarz y el método aditivo de Schwarz . Muchos métodos de descomposición de dominios se pueden escribir y analizar como un caso especial del método aditivo abstracto de Schwarz .

En los métodos que no se superponen, los subdominios se cruzan sólo en su interfaz. En métodos primarios, como Equilibrio de descomposición de dominio y BDDC , la continuidad de la solución a través de la interfaz del subdominio se impone representando el valor de la solución en todos los subdominios vecinos mediante la misma incógnita. En métodos duales, como FETI , la continuidad de la solución a través de la interfaz del subdominio se impone mediante multiplicadores de Lagrange . El método FETI-DP es un híbrido entre un método dual y uno primario.

Los métodos de descomposición de dominios no superpuestos también se denominan métodos de subestructuración iterativos .

Los métodos de mortero son métodos de discretización para ecuaciones diferenciales parciales, que utilizan discretización separada en subdominios que no se superponen. Las mallas de los subdominios no coinciden en la interfaz, y la igualdad de la solución se impone mediante multiplicadores de Lagrange, elegidos juiciosamente para preservar la precisión de la solución. En la práctica de la ingeniería en el método de elementos finitos, la continuidad de las soluciones entre subdominios que no coinciden se implementa mediante restricciones de puntos múltiples.

Las simulaciones de elementos finitos de modelos de tamaño moderado requieren resolver sistemas lineales con millones de incógnitas. Varias horas por paso de tiempo es un tiempo de ejecución secuencial promedio; por lo tanto, la computación paralela es una necesidad. Los métodos de descomposición de dominios presentan un gran potencial para la paralelización de los métodos de elementos finitos y sirven de base para cálculos paralelos distribuidos.

Ejemplo 1: BVP lineal 1D

${\displaystyle u''(x)-u(x)=0}$
${\displaystyle u(0)=0,u(1)=1}$
La solución exacta es: Subdividir el dominio en dos subdominios, uno de y otro de . En el subdominio izquierdo defina la función de interpolación y en el derecho defina . En la interfaz entre estos dos subdominios se impondrán las siguientes condiciones de interfaz: Definamos las funciones de interpolación como: ¿ Dónde está la enésima función cardinal de los polinomios de Chebyshev del primer tipo con argumento de entrada y? Si N = 4, entonces se obtiene la siguiente aproximación mediante este esquema: Esto se obtuvo con el siguiente código MATLAB.
${\displaystyle u(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{1}-e^{-1}}}}$
${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{2}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\frac {1}{2}},1\right]}$ ${\displaystyle v_{1}(x)}$ ${\displaystyle v_{2}(x)}$
${\displaystyle v_{1}\left({\frac {1}{2}}\right)=v_{2}\left({\frac {1}{2}}\right)}$
${\displaystyle v_{1}'\left({\frac {1}{2}}\right)=v_{2}'\left({\frac {1}{2}}\right)}$

${\displaystyle v_{1}(x)=\sum _{n=0}^{N}u_{n}T_{n}(y_{1}(x))}$
${\displaystyle v_{2}(x)=\sum _{n=0}^{N}u_{n+N}T_{n}(y_{2}(x))}$
${\displaystyle y_{1}(x)=4x-1}$
${\displaystyle y_{2}(x)=4x-3}$
${\displaystyle T_{n}(y)}$

${\displaystyle u_{1}=0.06236}$
${\displaystyle u_{2}=0.21495}$
${\displaystyle u_{3}=0.37428}$
${\displaystyle u_{4}=0.44341}$
${\displaystyle u_{5}=0.51492}$
${\displaystyle u_{6}=0.69972}$
${\displaystyle u_{7}=0.90645}$

borrar todo N = 4 ; a1 = 0 ; b1 = 1/2 ;​​         [ T D1 D2 E1 E2 x xsub ] = cheb ( N , a1 , b1 ); % las matrices de diferencias en [0,1/2] son ​​las mismas % que las de [1/2 1]. I = ojo ( N + 1 ); H = D2 - I ; H1 = [[ 1 ceros ( 1 , N )]; H ( 2 : fin - 1 ,:); [ ceros ( 1 , N ) 1 ]]; H1 = [ H1 [ ceros ( N , N + 1 ); - [ 1 ceros ( 1 , N )]]]; H2 = [ D1 ( 1 ,:); H ( 2 : fin - 1 ,:); [ ceros ( 1 , N ) 1 ]]; H2 = [[ - D1 ( N + 1 ,:); ceros ( N , N + 1 )] H2 ]; K = [ H1 ; H2 ]; F = [ ceros ( 2 * N + 1 , 1 ); 1 ]; tu = K \ F ; xx = - cos ( pi * ( 0 : N ) '/ N ); x1 = 1/4 * ( xx + 1 ) ;​ x2 = 1/4 * ( xx + 3 ) ;​ x = [ x1 ; x2 ]; uex = (                                                     exp ( x ) -exp ( -x ) ) ./(exp(1)-exp(-1 ) ) ;​​​​​​​​​

Ver también

• Método multired

enlaces externos

• La página oficial de Métodos de descomposición de dominios
• "Descomposición de dominios: página de simulaciones numéricas". Archivado desde el original el 26 de enero de 2021.