D de Somers

En estadística, la D de Somers , a veces incorrectamente denominada D de Somers , es una medida de asociación ordinal entre dos variables aleatorias posiblemente dependientes X e Y. La D de Somers toma valores entre cuando todos los pares de variables están en desacuerdo y cuando todos los pares de variables están de acuerdo. La D de Somers recibe su nombre de Robert H. Somers, quien la propuso en 1962. ^[1] ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$

La D de Somers desempeña un papel central en las estadísticas de rango y es el parámetro detrás de muchos métodos no paramétricos. ^[2] También se utiliza como una medida de calidad de la elección binaria o regresión ordinal (por ejemplo, regresiones logísticas ) y modelos de calificación crediticia .

De SomersDPara muestra

Decimos que dos pares y son concordantes si los rangos de ambos elementos concuerdan, o y o si y . Decimos que dos pares y son discordantes, si los rangos de ambos elementos no concuerdan, o si y o si y . Si o , el par no es ni concordante ni discordante. ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ ${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$ ${\displaystyle x_{i}>x_{j}}$ ${\displaystyle y_{i}>y_{j}}$ ${\displaystyle x_{i}<x_{j}}$ ${\displaystyle y_{i}<y_{j}}$ ${\displaystyle (x_{i},y_{i})}$ ${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$ ${\displaystyle x_{i}>x_{j}}$ ${\displaystyle y_{i}<y_{j}}$ ${\displaystyle x_{i}<x_{j}}$ ${\displaystyle y_{i}>y_{j}}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{j}}$ ${\displaystyle y_{i}=y_{j}}$

Sea un conjunto de observaciones de dos vectores aleatorios posiblemente dependientes X e Y. Defina el coeficiente de correlación de rango tau de Kendall como ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau ={\frac {N_{C}-N_{D}}{n(n-1)/2}},}$

donde es el número de pares concordantes y es el número de pares discordantes. La D de Somers de Y con respecto a X se define como . ^[2] Nótese que la tau de Kendall es simétrica en X e Y , mientras que la D de Somers es asimétrica en X e Y . ${\displaystyle N_{C}}$ ${\displaystyle N_{D}}$ ${\displaystyle D_{YX}=\tau (X,Y)/\tau (X,X)}$

Como cuantifica el número de pares con valores X desiguales , la D de Somers es la diferencia entre el número de pares concordantes y discordantes, dividido por el número de pares con valores X en el par que son desiguales. ${\displaystyle \tau (X,X)}$

De SomersDPara distribución

Sean dos variables aleatorias bivariadas independientes y que tengan la misma distribución de probabilidad . Nuevamente, la D de Somers , que mide la asociación ordinal de las variables aleatorias X e Y en , se puede definir a través de la tau de Kendall ${\displaystyle (X_{1},Y_{1})}$ ${\displaystyle (X_{2},Y_{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {P} _{XY}}$ ${\displaystyle \operatorname {P} _{XY}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau (X,Y)&=\operatorname {E} {\Bigl (}\operatorname {sgn}(X_{1}-X_{2})\operatorname {sgn}(Y_{1}-Y_{2}){\Bigr )}\\&=\operatorname {P} {\Bigl (}\operatorname {sgn}(X_{1}-X_{2})\operatorname {sgn}(Y_{1}-Y_{2})=1{\Bigr )}-\operatorname {P} {\Bigl (}\operatorname {sgn}(X_{1}-X_{2})\operatorname {sgn}(Y_{1}-Y_{2})=-1{\Bigr )},\\\end{aligned}}}$

o la diferencia entre las probabilidades de concordancia y discordancia. La D de Somers de Y con respecto a X se define como . Por lo tanto, es la diferencia entre las dos probabilidades correspondientes, condicionada a que los valores de X no sean iguales. Si X tiene una distribución de probabilidad continua , entonces y la tau de Kendall y la D de Somers coinciden. La D de Somers normaliza la tau de Kendall para posibles puntos de masa de la variable X . ${\displaystyle D_{YX}=\tau (X,Y)/\tau (X,X)}$ ${\displaystyle D_{YX}}$ ${\displaystyle \tau (X,X)=1}$

Si X e Y son ambos binarios con valores 0 y 1, entonces la D de Somers es la diferencia entre dos probabilidades:

${\displaystyle D_{YX}=\operatorname {P} (Y=1\mid X=1)-\operatorname {P} (Y=1\mid X=0).}$

De SomersDpara variables dependientes binarias

En la práctica, la D de Somers se utiliza con mayor frecuencia cuando la variable dependiente Y es una variable binaria , ^[2] es decir, para la clasificación binaria o la predicción de resultados binarios, incluidos los modelos de elección binaria en econometría. Los métodos para ajustar dichos modelos incluyen la regresión logística y probit .

Se pueden utilizar varias estadísticas para cuantificar la calidad de dichos modelos: área bajo la curva característica operativa del receptor (ROC), gamma de Goodman y Kruskal , tau de Kendall (Tau-a) , D de Somers , etc. La D de Somers es probablemente la estadística de asociación ordinal más utilizada disponible. ^[3] Idéntica al coeficiente de Gini , la D de Somers está relacionada con el área bajo la curva característica operativa del receptor (AUC), ^[2]

${\displaystyle \mathrm {AUC} ={\frac {D_{XY}+1}{2}}}$.

En el caso en que la variable independiente (predictora) X es discreta y la variable dependiente (resultado) Y es binaria, la D de Somers es igual a

${\displaystyle D_{XY}={\frac {N_{C}-N_{D}}{N_{C}+N_{D}+N_{T}}},}$

donde es el número de pares ni concordantes ni discordantes que están empatados en la variable X y no en la variable Y. ${\displaystyle N_{T}}$

Ejemplo

Supongamos que la variable independiente (predictora) X toma tres valores,0,25 ,0,5 , o0,75 , y la variable dependiente (resultado) Y toma dos valores,0 o1. La siguiente tabla contiene las combinaciones observadas de X e Y :

El número de pares concordantes es igual

${\displaystyle N_{C}=3\times 7+3\times 6+5\times 6=69.}$

El número de pares discordantes es igual

${\displaystyle N_{D}=1\times 5+1\times 2+7\times 2=21.}$

El número de pares empatados es igual al número total de pares menos los pares concordantes y discordantes.

${\displaystyle N_{T}=(3+5+2)\times (1+7+6)-69-21=50}$

Por lo tanto, la D de Somers es igual a

${\displaystyle D_{XY}={\frac {69-21}{69+21+50}}\approx 0.34.}$

Referencias

1. Somers, RH (1962). "Una nueva medida asimétrica de asociación para variables ordinales". American Sociological Review . 27 (6). doi :10.2307/2090408. JSTOR  2090408.
2. Newson, Roger (2002). "Parámetros detrás de las estadísticas "no paramétricas": la tau de Kendall, la D de Somers y las diferencias medianas". Stata Journal . 2 (1): 45–64.
3. O'Connell, AA (2006). Modelos de regresión logística para variables de respuesta ordinales . Publicaciones SAGE.