Microbanda

Línea de transmisión eléctrica plano conductor-tierra

Sección transversal de la geometría de microbanda. El conductor (A) está separado del plano de tierra (D) por un sustrato dieléctrico (C). El dieléctrico superior (B) es típicamente aire.

La microcinta es un tipo de línea de transmisión eléctrica que se puede fabricar con cualquier tecnología en la que un conductor está separado de un plano de tierra por una capa dieléctrica conocida como "sustrato". Las líneas de microcinta se utilizan para transmitir señales de frecuencia de microondas .

Las tecnologías de realización típicas son la placa de circuito impreso (PCB), alúmina recubierta con una capa dieléctrica o, a veces, silicio u otras tecnologías similares. Los componentes de microondas, como antenas , acopladores , filtros , divisores de potencia , etc., se pueden formar a partir de microcintas, y el dispositivo completo existe como patrón de metalización en el sustrato. Por lo tanto, la microcinta es mucho menos costosa que la tecnología de guía de ondas tradicional , además de ser mucho más liviana y compacta. La microcinta fue desarrollada por los laboratorios ITT como un competidor de la línea de cinta (publicada por primera vez por Grieg y Engelmann en las actas de la IRE de diciembre de 1952). ^[1]

Las desventajas de la microcinta en comparación con la guía de ondas son la capacidad de manejo de potencia generalmente menor y las mayores pérdidas. Además, a diferencia de la guía de ondas, la microcinta normalmente no está encerrada y, por lo tanto, es susceptible a interferencias cruzadas y radiación no intencional.

Para lograr el menor costo posible, los dispositivos de microbanda se pueden construir sobre un sustrato FR-4 (PCB estándar) común. Sin embargo, a menudo se descubre que las pérdidas dieléctricas en FR4 son demasiado altas en frecuencias de microondas y que la constante dieléctrica no está lo suficientemente controlada. Por estas razones, se utiliza comúnmente un sustrato de alúmina . Desde la perspectiva de la integración monolítica, las microbandas con tecnologías de circuitos integrados/ circuitos integrados de microondas monolíticos pueden ser factibles, pero su rendimiento puede verse limitado por las capas dieléctricas y el espesor del conductor disponibles.

Las líneas de microbanda también se utilizan en diseños de PCB digitales de alta velocidad, donde las señales deben enrutarse desde una parte del conjunto a otra con una distorsión mínima y evitando interferencias y radiación elevadas.

La microbanda es una de las muchas formas de línea de transmisión planar ; otras incluyen la línea de banda y la guía de ondas coplanar , y es posible integrarlas todas en el mismo sustrato.

Una microbanda diferencial (un par de líneas de microbanda con señal balanceada) se utiliza a menudo para señales de alta velocidad, como relojes DDR2 SDRAM , líneas de datos USB Hi-Speed , líneas de datos PCI Express , líneas de datos LVDS , etc., a menudo todas en la misma PCB. ^{[2] [3] [4]} La mayoría de las herramientas de diseño de PCB admiten estos pares diferenciales . ^{[5] [6]}

Inhomogeneidad

La onda electromagnética transportada por una línea de microbanda existe en parte en el sustrato dieléctrico y en parte en el aire que se encuentra sobre él. En general, la constante dieléctrica del sustrato será diferente (y mayor) que la del aire, de modo que la onda se propaga en un medio no homogéneo. En consecuencia, la velocidad de propagación se encuentra en algún punto entre la velocidad de las ondas de radio en el sustrato y la velocidad de las ondas de radio en el aire. Este comportamiento se describe comúnmente indicando la constante dieléctrica efectiva de la microbanda; esta es la constante dieléctrica de un medio homogéneo equivalente (es decir, uno que resulte en la misma velocidad de propagación).

Otras consecuencias de un medio no homogéneo incluyen:

• La línea no soportará una onda TEM verdadera ; en frecuencias distintas de cero, tanto el campo E como el H tendrán componentes longitudinales (un modo híbrido ). ^[7] Sin embargo, los componentes longitudinales son pequeños, por lo que el modo dominante se denomina cuasi-TEM. ^[8]
• La línea es dispersiva . A medida que aumenta la frecuencia, la constante dieléctrica efectiva aumenta gradualmente hacia la del sustrato, de modo que la velocidad de fase disminuye gradualmente. ^{[7] [9]} Esto es cierto incluso con un material de sustrato no dispersivo (la constante dieléctrica del sustrato generalmente disminuirá a medida que aumenta la frecuencia).
• La impedancia característica de la línea cambia ligeramente con la frecuencia (de nuevo, incluso con un material de sustrato no dispersivo). La impedancia característica de los modos no TEM no está definida de forma única y, según la definición precisa utilizada, la impedancia de la microbanda aumenta, disminuye o disminuye y luego aumenta con el aumento de la frecuencia. ^[10] El límite de baja frecuencia de la impedancia característica se conoce como impedancia característica cuasiestática y es el mismo para todas las definiciones de impedancia característica.
• La impedancia de onda varía a lo largo de la sección transversal de la línea.
• Las líneas de microbanda irradian y los elementos de discontinuidad, como los postes y los conectores, que serían reactancias puras en una línea de microbanda, tienen un pequeño componente resistivo debido a la radiación que emiten. ^[11]

Impedancia característica

Wheeler desarrolló una expresión aproximada de forma cerrada para la impedancia característica cuasiestática de una línea de microbanda : ^{[12] [13] [14]}

${\displaystyle Z_{\textrm {microstrip}}={\frac {Z_{0}}{2\pi {\sqrt {2(1+\varepsilon _{r})}}}}\mathrm {ln} \left(1+{\frac {4h}{w_{\textrm {eff}}}}\left({\frac {14+8/\varepsilon _{r}}{11}}{\frac {4h}{w_{\textrm {eff}}}}+{\sqrt {\left({\frac {14+8/\varepsilon _{r}}{11}}{\frac {4h}{w_{\textrm {eff}}}}\right)^{2}+\pi ^{2}{\frac {1+1/\varepsilon _{r}}{2}}}}\right)\right),}$

donde w _eff es el ancho efectivo , que es el ancho real de la tira, más una corrección para tener en cuenta el espesor distinto de cero de la metalización:

${\displaystyle w_{\textrm {eff}}=w+t{\frac {1+1/\varepsilon _{r}}{2\pi }}\ln \left({\frac {4e}{\sqrt {\left({\frac {t}{h}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{w/t+11/10}}\right)^{2}}}}\right).}$

Aquí Z ₀ es la impedancia del espacio libre , ε _r es la permitividad relativa del sustrato, w es el ancho de la tira, h es el espesor ("altura") del sustrato y t es el espesor de la metalización de la tira.

Esta fórmula es asintótica para una solución exacta en tres casos diferentes:

1. w ≫ h , cualquier ε _r (línea de transmisión de placas paralelas),
2. w ≪ h , ε _r = 1 (cable sobre un plano de tierra), y
3. donde w ≪ h , ε _r ≫ 1 .

Se afirma que para la mayoría de los demás casos, el error en la impedancia es inferior al 1%, y siempre es inferior al 2%. ^[14] Al cubrir todas las relaciones de aspecto en una fórmula, Wheeler 1977 mejora Wheeler 1965 ^[13] que da una fórmula para w / h > 3,3 y otra para w / h ≤ 3,3 (introduciendo así una discontinuidad en el resultado en w / h = 3,3 ).

A Harold Wheeler no le gustaban los términos «microbanda» ni «impedancia característica» y evitaba utilizarlos en sus artículos.

Otros autores han propuesto otras fórmulas aproximadas para la impedancia característica. Sin embargo, la mayoría de ellas son aplicables sólo a un rango limitado de relaciones de aspecto o cubren todo el rango por partes.

En particular, el conjunto de ecuaciones propuestas por Hammerstad, ^[15] quien modifica a Wheeler, ^{[12] [13]} son ​​quizás las más citadas:

${\displaystyle Z_{\textrm {microstrip}}={\begin{cases}{\dfrac {Z_{0}}{2\pi {\sqrt {\varepsilon _{\textrm {eff}}}}}}\ln \left(8{\dfrac {h}{w}}+{\dfrac {w}{4h}}\right),&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\{\dfrac {Z_{0}}{{\sqrt {\varepsilon _{\textrm {eff}}}}\left[{\frac {w}{h}}+1.393+0.667\ln \left({\frac {w}{h}}+1.444\right)\right]}},&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\end{cases}}}$

donde ε _eff es la constante dieléctrica efectiva, aproximada como: ^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\textrm {eff}}&={\frac {\varepsilon _{\textrm {r}}+1}{2}}+{\frac {\varepsilon _{\textrm {r}}-1}{2}}q\\q&={\frac {1}{\sqrt {1+12(h/w)}}}+q_{2}\\q_{2}&={\begin{cases}0.04{\bigg (}1-{\dfrac {w}{h}}{\bigg )}^{2},&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\0,&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\\\end{cases}}.\\\end{aligned}}}$

Efecto del cerramiento metálico

Los circuitos de microbanda pueden requerir una carcasa metálica, según la aplicación. Si la cubierta superior de la carcasa invade la microbanda, la impedancia característica de la microbanda puede reducirse debido al camino adicional para la capacitancia de placa y franja. Cuando esto sucede, se han desarrollado ecuaciones para ajustar la impedancia característica en el aire (Er=1) de la microbanda, , donde , y es la impedancia de la microbanda descubierta en el aire. Las ecuaciones para pueden ajustarse para tener en cuenta la cubierta metálica y usarse para calcular Z _o con dieléctrico usando la expresión, , donde es el ajustado para la cubierta metálica. La compensación del espesor finito de la banda puede calcularse sustituyendo de lo anterior para para ambos cálculos y , usando todos los cálculos de aire y para todos los cálculos de material dieléctrico. En las expresiones siguientes, c es la altura de la cubierta, la distancia desde la parte superior del dieléctrico hasta la cubierta metálica. ^[17] ${\displaystyle \Delta Z_{om}^{a}}$ ${\displaystyle Z_{om}^{a}=Z_{o\infty }^{a}-\Delta Z_{om}^{a}}$ ${\displaystyle Z_{o\infty }^{a}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{re}}$ ${\displaystyle Z_{om}=Z_{om}^{a}/{\sqrt {\varepsilon _{re_{m}}}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{re_{m}}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{re}}$ ${\displaystyle w_{\textrm {eff}}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \Delta Z_{om}^{a}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{re_{m}}}$ ${\displaystyle \varepsilon =1}$ ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{r}}$

La ecuación para es: ${\displaystyle \varepsilon _{re_{m}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{re_{m}}&={\frac {\varepsilon _{r}+1}{2}}+{\frac {\varepsilon _{r}-1}{2}}{\frac {q}{q_{C}}}\\q&{\text{ is defined above}}\\q_{C}&=tanh(1.043+.121{\frac {c}{h}}-1.164{\frac {h}{c}})\\\end{aligned}}}$.

La ecuación para es ${\displaystyle \Delta Z_{om}^{a}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta Z_{om}^{a}&=PQ\\P&=270{\bigg [}1-tanh{\biggr (}0.28+1.2{\sqrt {\frac {c}{h}}}{\biggr )}{\bigg ]}\\Q&={\begin{cases}1,&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\1-tanh^{-1}{\biggr (}{\frac {0.48{\sqrt {(w/h)-1}}}{(1+(c/h))^{2}}}{\biggr )},&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\end{cases}}\end{aligned}}}$.

La ecuación para es ${\displaystyle Z_{om}}$

${\displaystyle Z_{om}={\frac {Z_{o\infty }^{a}-\Delta Z_{om}^{a}}{\sqrt {\varepsilon _{re_{m}}}}}}$.

Se afirma que las ecuaciones tienen una precisión del 1% para:

${\displaystyle {\begin{aligned}&1\leq \varepsilon _{r}\leq 30\\&0.05\leq w/h\leq 30.0\\&t/h\leq 0.1\\&c/h\geq 1.0\\\end{aligned}}}$.

Microbanda suspendida e invertida

Cuando la capa dieléctrica está suspendida sobre el plano de tierra inferior mediante una capa de aire, el sustrato se conoce como sustrato suspendido, que es análogo a la capa D en la ilustración de la microbanda en la parte superior derecha de la página que es distinta de cero. Las ventajas de utilizar un sustrato suspendido en lugar de una microbanda tradicional son efectos de dispersión reducidos, frecuencias de diseño aumentadas, geometrías de banda más anchas, imprecisiones estructurales reducidas, propiedades eléctricas más precisas y una impedancia característica obtenible más alta . La desventaja es que los sustratos suspendidos son más grandes que los sustratos de microbanda tradicionales y son más difíciles de fabricar. Cuando el conductor se coloca debajo de la capa dieléctrica, en lugar de encima, la microbanda se conoce como microbanda invertida. ^{[18] [19]}

Impedancia característica

Pramanick y Bhartia documentaron una serie de ecuaciones utilizadas para aproximar la impedancia característica (Zo) y la constante dieléctrica efectiva (Ere) para microbandas suspendidas e invertidas. ^[20] Las ecuaciones son accesibles directamente desde la referencia y no se repiten aquí.

John Smith elaboró ​​ecuaciones para la capacitancia de franja de modo par e impar para conjuntos de líneas de microcinta acopladas en un sustrato suspendido utilizando la expansión de la serie de Fourier de la distribución de carga, y proporciona un código Fortran estilo década de 1960 que realiza la función. El trabajo de Smith se detalla en la sección siguiente. Las líneas de microcinta simples se comportan como microcintas acopladas con espacios infinitamente amplios. Por lo tanto, las ecuaciones de Smith se pueden utilizar para calcular la capacitancia de franja de líneas de microcinta simples ingresando un número grande para el espacio en las ecuaciones de modo que la otra microcinta acoplada ya no afecte significativamente la característica eléctrica de la microcinta simple, que es típicamente un valor de siete alturas de sustrato o más. Las microcintas invertidas se pueden calcular intercambiando las variables de altura de la cubierta y altura suspendida. Las microcintas sin carcasa metálica se pueden calcular ingresando una variable grande en la altura de la cubierta metálica de modo que la cubierta metálica ya no afecte significativamente las características eléctricas de la microcinta, típicamente 50 o más veces la altura del conductor sobre el sustrato. Las microbandas invertidas se pueden calcular intercambiando las variables de altura de la cubierta metálica y la altura suspendida. ^{[21] [22]}

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_\varepsilon _{r}}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C/\varepsilon _{r})}}\\C_{f\varepsilon _{r}}&=C_{fo\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }\\C_{\_\varepsilon _{r}}&=C_{plate\_\varepsilon _{r}}+2C_{f\varepsilon _{r}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_air}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C)}}\\C_{f\_air}&=C_{fo\_air}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_air}|_{G=\infty }\\C_{\_air}&=C_{plate\_air}+2C_{f\_air}\\\end{aligned}}}$

Donde B, C y D están definidos por la geometría de microbanda que se muestra en la parte superior derecha de la página.

Para calcular los valores Zo y Ere para una microbanda suspendida o invertida, la capacitancia de la placa se puede sumar a la capacitancia de la franja para cada lado de la línea de la microbanda para calcular la capacitancia total tanto para el caso dieléctrico ( ε _r ) como para el caso de aire ( ε _ra ), y los resultados se pueden utilizar para calcular Zo y Ere, como se muestra: ^{[23] [24]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{re}&={\frac {C_{\varepsilon _{r}}}{C_{air}}}\\Zo&={\frac {1}{V_{c}{\sqrt {C_{air}C_{e_{r}}}}}}\\V_{c}&{\text{ is the speed of light in a vacuum}}\end{aligned}}}$..

Enfermedad de buzo

Para construir un circuito completo en microcinta, a menudo es necesario que la trayectoria de una tira gire en un ángulo amplio. Una curva abrupta de 90° en una microcinta hará que una parte significativa de la señal en la tira se refleje de vuelta hacia su fuente, y que solo una parte de la señal se transmita alrededor de la curva. Un medio para lograr una curva de baja reflexión es curvar la trayectoria de la tira en un arco de radio al menos tres veces el ancho de la tira. ^[25] Sin embargo, una técnica mucho más común, y que consume un área más pequeña del sustrato, es utilizar una curva en inglete.

Curva de inglete de 90° en microstrip. El porcentaje de inglete es 100 x / d .

En una primera aproximación, una curva abrupta sin inglete se comporta como una capacitancia en derivación colocada entre el plano de tierra y la curva de la tira. Al ingletear la curva se reduce el área de metalización y, por lo tanto, se elimina el exceso de capacitancia. El porcentaje de inglete es la fracción de corte de la diagonal entre las esquinas internas y externas de la curva sin inglete.

Douville y James han determinado experimentalmente el inglete óptimo para una amplia gama de geometrías de microbanda. ^[26] Encontraron que un buen ajuste para el porcentaje óptimo de inglete viene dado por

${\displaystyle M=100{\frac {x}{d}}\%=(52+65e^{-(27/20)(w/h)})\%}$

sujeto a w / h ≥ 0,25 y con la constante dieléctrica del sustrato ε _r ≤ 25 . Esta fórmula es completamente independiente de ε _r . El rango real de parámetros para los que Douville y James presentan evidencia es 0,25 ≤ w / h ≤ 2,75 y 2,5 ≤ ε _r ≤ 25 . Informan de un VSWR mejor que 1,1 (es decir, una pérdida de retorno mejor que −26 dB) para cualquier porcentaje de inglete dentro del 4% (del d original ) del dado por la fórmula. En el w / h mínimo de 0,25, el porcentaje de inglete es del 98,4%, de modo que la tira está casi cortada.

Tanto en las curvas como en las curvas en inglete, la longitud eléctrica es algo más corta que la longitud del recorrido físico de la tira.

Uniones discontinuas

Otros tipos de discontinuidades de microbandas además de las curvas (ver arriba), también conocidas como esquinas, son los extremos abiertos, los orificios pasantes (conexiones al plano de tierra), los escalones de ancho, los espacios entre microbandas, las uniones en T y las uniones cruzadas. Se ha realizado un trabajo extenso para desarrollar modelos para estos tipos de uniones, y están documentados en la literatura disponible públicamente, como el simulador de circuitos universal Quite (QUCS). ^[27]

Microbandas acopladas

Las líneas de microbanda pueden instalarse lo suficientemente cerca de otras líneas de microbanda como para que puedan existir interacciones de acoplamiento eléctrico entre las líneas. Esto puede ocurrir de manera inadvertida al colocar las líneas, o intencionalmente para dar forma a una función de transferencia deseada o diseñar un filtro distribuido . Si las dos líneas tienen un ancho idéntico, pueden caracterizarse mediante un análisis de modo par e impar de línea de transmisión acoplada .

Impedancia característica

Se han desarrollado expresiones de forma cerrada para la impedancia característica de los modos par e impar (Zoe, Zoo) y la constante dieléctrica efectiva ( ε _ree , ε _reo ) con una precisión definida en las condiciones establecidas. Están disponibles en las referencias ^{[28] [29] [30]} y no se repiten aquí.

Solución de la serie de Fourier

John Smith elaboró ​​ecuaciones para la capacitancia de franja de modo par e impar para conjuntos de líneas de microbandas acopladas con una cubierta metálica que incluyen microbandas suspendidas utilizando la expansión de la serie de Fourier de la distribución de carga, y proporciona un código Fortran al estilo de los años 60 que realiza la función. Las microbandas descubiertas se respaldan asignando una altura de cubierta de generalmente 50 o más veces la altura del conductor sobre el plano de tierra. Las microbandas invertidas se respaldan invirtiendo las variables de altura de cubierta y altura suspendida. Las ecuaciones de Smith son ventajosas porque son teóricamente válidas para todos los valores de ancho de conductor, separación de conductores, constante dieléctrica, altura de cubierta y altura de suspensión dieléctrica. ^[31]

Las ecuaciones de Smith contienen un cuello de botella (ecuación 37 en la página 429) donde se debe resolver la inversa de una razón integral elíptica , , donde es la integral elíptica completa de primera especie, se conoce, y es la variable que se debe resolver. Smith proporciona un algoritmo de búsqueda elaborado que generalmente converge en una solución para . Sin embargo, el método de Newton o las tablas de interpolación pueden proporcionar una solución más rápida y completa para . ${\displaystyle K(1,{\sqrt {1-k^{2}}})/K(1,k)=X}$ ${\displaystyle K(,)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Para calcular los valores de Zo y ε _re de los modos par e impar para una microbanda desacoplada, se suma la capacitancia de la placa a la capacitancia de la franja de los modos par e impar para el interior de la microbanda y la capacitancia de la franja desacoplada de los lados exteriores. La capacitancia de la franja desacoplada se puede calcular aplicando un valor de separación o hueco entre los conductores de ancho infinito, que se puede aproximar por un valor de 7 o más veces la altura del conductor por encima del plano de tierra. A continuación, se calculan Zo y ε _re de los modos par e impar como funciones de la capacitancia de los modos par e impar para el caso dieléctrico ( ε _r ) y el caso de aire ( ε _r = 1) como se muestra: ^{[32] [33]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ree}&={\frac {C_{\varepsilon _{re}}}{C_{air_{e}}}}\\\varepsilon _{reo}&={\frac {C_{\varepsilon _{ro}}}{C_{air_{o}}}}\\Zoe&={\frac {1}{V_{c}{\sqrt {C_{air_{e}}C_{e_{re}}}}}}\\Zoo&={\frac {1}{V_{c}{\sqrt {C_{air_{o}}C_{e_{ro}}}}}}\\V_{c}&{\text{ is the speed of light in a vacuum}}\end{aligned}}}$.

La solución detallada de John Smith

La serie de Fourier de Smith requiere la solución inversa, k , de la razón de la integral elíptica, , donde K () es la integral elíptica completa de primera especie. Aunque Smith proporciona un algoritmo de búsqueda elaborado para encontrar k , se puede lograr una convergencia más rápida y precisa con el método de Newton , o se pueden emplear tablas de interpolación . Dado que se vuelve extremadamente no lineal a medida que k se acerca a 0 y 1, el método de Newton funciona mejor en la función . Una vez que se resuelve el valor k _lg , k se obtiene mediante . ${\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}})/K(k)}$ ${\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}})/K(k)}$ ${\displaystyle K{\big (}{\sqrt {1-e^{2k_{lg}}}}{\big )}/K{\big (}e^{k_{lg}}{\big )}}$ ${\displaystyle k=e^{k_{lg}}}$

La expresión del método de Newton para calcular k _lg es la siguiente utilizando las reglas de derivadas estándar . Las derivadas de la integral elíptica se pueden encontrar en la página de integral elíptica:

${\displaystyle {\begin{aligned}k_{lg}[n+1]&=k_{lg}[n]-{\frac {F_{[}n]-F_{known}}{F'}}\\F&={\frac {K{\bigg (}{\sqrt {1-e^{2k_{lg}}}}{\bigg )}}{K{\bigl (}e^{k_{lg}}{\bigl )}}}\\F'&={\begin{cases}\approx -{\frac {2}{\pi }},&{\text{if }}k_{lg}<\approx -14\\{\frac {dF}{dk_{lg}}},&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\\{\text{then: }}&\\k&=e^{k_{lg}}\\\end{aligned}}}$

A continuación se muestra una tabla de interpolación para encontrar k _lg y k .

Para valores de , es útil aplicar la relación que se muestra en la tabla para maximizar la linealidad de la función , o , para su uso en el método de Newton o la interpolación. Por ejemplo, . ${\displaystyle F(x)<1}$ ${\displaystyle k_{lg}}$ ${\displaystyle ln(k)}$ ${\displaystyle F^{-1}(.5)={\sqrt {1-{\big [}F^{-1}(2){\big ]}^{2}}}=0.98517143}$

Para calcular el valor de la capacitancia total de los modos par e impar con base en el trabajo de Smith, se utilizan integrales elípticas y funciones elípticas de Jacobi ^[34] . Smith utiliza el tercer algoritmo rápido de estimación de funciones elípticas de Jacobi que se encuentra en la página de funciones elípticas. ^[31]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{let:}}&\\C&={\text{ substrate dielectric height}}\\D&={\text{ substrate suspended height}}\\B&={\text{ substrate cover height (50(C+D) for uncovered micrstrips)}}\\W_{lim}&={\text{ misrostrip conductor width}}\\&{\text{ limited to a maximum of 7(C+D)}}\\G_{lim}&={\text{ gap or speparation between the microstrips conductors}}\\&{\text{ limited to a maximum of 7(C+D)}}\\\varepsilon _{r}&={\text{ dielectric constant}}\\\varepsilon _{o}&={\text{ vacuum permittivity, 8.8541878176e-12 farads/meter }}\\\\{\text{then:}}\\{\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}&={\frac {W_{lim}+G_{lim}}{2(C+D)}}={\text{ where }}K(){\text{ is the complete ellipic integral of the first kind}}\\{\text{determine }}&{\text{ the value of k, then proceed:}}\\\\N_{eo}&={\begin{cases}1,&{\text{for even mode}}\\2,&{\text{for odd mode}}\end{cases}}\\M_{max}&=30{\text{ (or greater)}}\\W_{egr}&={\frac {W_{lim}K({\sqrt {1-k^{2}}})}{W_{lim}+G_{lim}}}\\W_{n}&={\frac {W_{egr}}{M_{max}-2}}\\(SN)_{wk}&=sn{\big (}W_{egr},{\sqrt {1-k^{2}}}{\big )}{\text{ where sn() is a jacobi elliptic function}}\\(SN)_{wk2}&={\begin{cases}(SN)_{wk},&{\text{for odd mode}}\\(SN)_{wk}{\sqrt {1-k^{2}}},&{\text{for even mode}}\end{cases}}\\C_{T}&=4{\frac {K((SN)_{wk2})}{K{\big (}{\sqrt {1-(SN)_{wk2}^{2}}}{\big )}}}\\\Phi [m]&={\frac {1+\varepsilon _{r}tanh({\frac {m\pi D}{W_{lim}+G_{lim}}})coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}})}{coth({\frac {m\pi B}{W_{lim}+G_{lim}}})+\varepsilon _{r}coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}})+\varepsilon _{r}tanh({\frac {m\pi D}{W_{lim}+G_{lim}}})(\varepsilon _{r}+coth({\frac {m\pi B}{W_{lim}+G_{lim}}})coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}}))}}\\&-{\frac {tanh({\frac {m\pi (D+C)}{W_{lim}+G_{lim}}})}{\varepsilon _{r}+1}}\\c[m]&=cos{\bigg (}{\frac {m\pi W_{egr}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}\\(SN)_{we}[j]&=sn{\big (}(j-1)W_{n},{\sqrt {1-k^{2}}}{\big )}\\t[j]&={\sqrt {\frac {1-{\big (}(2{\sqrt {1-k^{2}}}-1+(1-{\sqrt {1-k^{2}}})N_{eo})(SN)_{we}[j]{\big )}^{2}}{1-{\bigg (}{\frac {(SN)_{we}[j]}{(SN)_{wk}}}{\bigg )}^{2}}}}\\\rho [m]&=1-c[m]+4t[M_{max}-2]{\big (}cos{\big (}{\frac {m(W_{egr}-W_{n})\pi }{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\big )}-c(m){\big )}\\&+\sum _{j=2,j+=2}^{M_{max}-2}4t[j](cos{\bigg (}{\frac {(j-1)\pi mW_{n}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}-c[m])+2t(j+1)(cos{\bigg (}{\frac {j\pi mW_{n}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}-c[m])\\C_{pl}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C/\varepsilon _{r})}}\\{\frac {1}{C_{all}}}&={\frac {\pi }{2C_{T}^{2}}}{\bigg [}\sum _{m=N_{eo},m+=2}^{\infty }{\frac {\rho (m)^{2}\Phi (m)}{m}}{\bigg ]}+{\begin{cases}2({\frac {1}{C_{T}}}-{\frac {H}{2\pi }})/(\varepsilon _{r}+1)+{\frac {W}{C_{pl}(W_{lim}+G_{lim})}},&{\text{for even mode}}\\{\frac {2}{(\varepsilon _{r}+1)C_{T}}},&{\text{for odd mode}}\\\end{cases}}\\&{\text{break the summation when }}{\frac {|\phi [m]|}{\varepsilon _{r}+1}}<10^{-6}{\text{ or less}}\\C_{f(e/o)}&={\frac {\varepsilon _{o}(C_{all}-C_{pl})}{2}}{\text{ farads per unit length }}\\\end{aligned}}}$

Para obtener la capacitancia total: ^[33]

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_\varepsilon _{r}}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C/\varepsilon _{r})}}\\C_{f\varepsilon _{r}}&=C_{fo\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }\\C_{e\_\varepsilon _{r}}&=C_{plate\_\varepsilon _{r}}+C_{fe\_\varepsilon _{r}}+C_{f\varepsilon _{r}}\\C_{o\_\varepsilon _{r}}&=C_{plate\_\varepsilon _{r}}+C_{fo\_\varepsilon _{r}}+C_{f\varepsilon _{r}}\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_air}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C)}}\\C_{f\_air}&=C_{fo\_(\varepsilon _{r}=1)}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_(\varepsilon _{r}=1)}|_{G=\infty }\\C_{e\_air}&=C_{plate\_air}+C_{fe\_(\varepsilon _{r}=1)}+C_{f\_air}\\C_{o\_air}&=C_{plate\_air}+C_{fo\_(\varepsilon _{r}=1)}+C_{f\_air}\\\end{aligned}}}$

Donde puede aproximarse por o más veces la altura del conductor sobre el plano de tierra. ${\displaystyle (G=\infty )}$ ${\displaystyle (G=7)}$

Ejemplo y comparación de precisión

Smith compara la precisión de sus soluciones de capacitancia de la serie de Fourier con las tablas publicadas de la época. Sin embargo, un enfoque más moderno es comparar los resultados de impedancia de modo par e impar y las constantes dieléctricas efectivas con los obtenidos a partir de simulaciones electromagnéticas como Sonnet. El siguiente ejemplo se realiza bajo las siguientes condiciones: B = 2,5 mm, C = 0,4 mm, D = 0,6 mm, W = 1,5 mm, G = 0,5 mm, Er = 12, donde B, C y D se definen por la geometría de microbanda que se muestra en la parte superior derecha de la página. El ejemplo comienza calculando el valor de log(k), luego k, y continúa utilizando k, ε _r , la geometría del sustrato y la geometría del conductor para calcular las capacitancias y, posteriormente, la impedancia de modo par e impar y la constante dieléctrica efectiva (Z _oe , Z _oo , ε _re y ε _ro ).

La simulación de Sonnet se realiza con una resolución de cuadrícula de alta resolución de 4096 X 4096, planos de referencia de 7 mm en cada lado y simula la línea acoplada a lo largo de una longitud de 10 mm. Los resultados de los parámetros Y se traducen a los modos par e impar Zo y ε _r invirtiendo algebraicamente las ecuaciones de los parámetros Y para líneas de transmisión acopladas .

Microbandas acopladas asimétricamente

Cuando dos líneas de microbanda existen lo suficientemente cerca como para que se produzca el acoplamiento pero no son simétricas en cuanto a su ancho, el análisis de modos pares e impares no es directamente aplicable para caracterizar las líneas. En este caso, las líneas se caracterizan generalmente por su inductancia y capacitancia propias y mutuas. Las técnicas y expresiones de definición están disponibles en las referencias. ^{[35] [36] [37] [38]}

Microbandas acopladas múltiples

En algunos casos, se pueden acoplar varias líneas de microcinta. Cuando esto sucede, cada línea de microcinta tendrá una capacitancia propia y una capacitancia mutua con todas las demás líneas. El análisis es similar al caso de acoplamiento asimétrico anterior, pero las matrices de capacitancia e inductancia tendrán un tamaño NXN, donde N es el número de microcintas acopladas entre sí. ^{[39] [40]}

Pérdidas

La atenuación debida a las pérdidas del conductor y del dieléctrico se considera generalmente al simular una microbanda. Las pérdidas totales son una función de la longitud de la microbanda, por lo que la atenuación se calcula generalmente en unidades de atenuación por unidad de longitud, con pérdidas totales calculadas por atenuación * longitud, con unidades de atenuación de Nepers , aunque algunas aplicaciones pueden usar la atenuación en unidades dB . Cuando se conocen la impedancia característica de la microbanda (Zo), la constante dieléctrica efectiva (Ere) y las pérdidas totales ( ), la microbanda se puede modelar como una línea de transmisión estándar . ${\displaystyle \alpha l}$

Pérdidas del conductor

Las pérdidas del conductor se definen por la "resistencia específica" o "resistividad" del material conductor y generalmente se expresan como en la literatura. ^[41] Cada material conductor generalmente tiene una resistividad publicada asociada con él. Por ejemplo, el material conductor común de cobre tiene una resistividad publicada de 1,68E-8 Ohm-m. ^[42] E. Hammerstad y Ø. Jensen propusieron las siguientes expresiones para la atenuación debido a las pérdidas del conductor: ^{[43] [44]} ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{c}&={\frac {R^{s}}{Z_{o}W}}K_{r}K_{i}{\text{ Np per unit length}}\\\alpha _{c}&={\frac {27.3R^{s}}{\pi Z_{o}W}}K_{r}K_{i}{\text{ dB per unit length}}\\{\text{Where :}}&\\R^{s}&={\frac {\rho }{\delta }}={\sqrt {\frac {\rho \omega u_{o}}{2}}}\\K_{i}&=exp{\bigg [}-1.2{\bigg (}{\frac {Z_{o}}{n_{o}}}{\bigg )}^{0.7}{\bigg ]}\\K_{r}&=1+{\frac {2tan^{-1}(1.4({\frac {\Delta }{\delta }})^{2})}{\pi }}\end{aligned}}}$.

Y:

${\displaystyle R^{s}}$= resistencia laminar del conductor

${\displaystyle K_{i}}$= factor de distribución actual

${\displaystyle K_{r}}$= término de corrección debido a la rugosidad de la superficie

${\displaystyle u_{o}}$= Permeabilidad al vacío ( ) ${\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}H/m}$

${\displaystyle \rho }$= Resistencia específica , o resistividad, del conductor

${\displaystyle \Delta }$= rugosidad superficial efectiva (rms) del sustrato

${\displaystyle \delta }$= profundidad de la piel

${\displaystyle n_{o}}$= impedancia de onda en el vacío (376,730313412 ohmios)

Tenga en cuenta que si se descuida la rugosidad de la superficie, desaparece de la expresión, y con frecuencia así es. ${\displaystyle K_{r}}$

Algunos autores utilizan el espesor del conductor en lugar de la profundidad de la piel para calcular la resistencia de la lámina, R ^s . ^[45] Cuando este es el caso,

${\displaystyle R^{s}={\frac {\rho }{t}}}$

Donde t = espesor del conductor.

Pérdidas dieléctricas

Las pérdidas dieléctricas se definen por la "tangente de pérdida" del material dieléctrico y generalmente se expresan como en la literatura. Cada material dieléctrico generalmente tiene una tangente de pérdida publicada asociada con él. Por ejemplo, el material dieléctrico común es la alúmina, que tiene una tangente de pérdida publicada de 0,0002 a 0,0003 según la frecuencia. ^[46] Welch y Pratt, y Schneider propusieron las siguientes expresiones para la atenuación debido a las pérdidas dieléctricas. ^{[47] [48] [43]} : ${\displaystyle tan\delta _{d}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{d}&={\frac {tan\delta _{d}{\text{ }}\omega }{2\pi }}{\frac {\varepsilon _{r}}{\sqrt {\varepsilon _{re}}}}{\frac {\varepsilon _{re}-1}{\varepsilon _{r}-1}}{\text{ Np per unit length}}\\\alpha _{d}&={\frac {27.3{\text{ }}tan\delta _{d}{\text{ }}\omega }{2\pi }}{\frac {\varepsilon _{r}}{\sqrt {\varepsilon _{re}}}}{\frac {\varepsilon _{re}-1}{\varepsilon _{r}-1}}{\text{ dB per unit length}}\\\end{aligned}}}$.

Las pérdidas dieléctricas son en general mucho menores que las pérdidas del conductor y con frecuencia se descuidan en algunas aplicaciones.

Pérdidas de microbanda acopladas

Las pérdidas de microbandas acopladas se pueden estimar utilizando el mismo análisis de modo par e impar que se utiliza para la impedancia característica, la constante dieléctrica y la constante dieléctrica efectiva para microbandas de una sola línea. El modo par y el modo impar de línea acoplada tienen cada uno sus valores de pérdida dieléctrica y del conductor calculados independientemente a partir de los valores Zo y Ere de la línea única correspondientes. ^{[49] [50]}

Wheeler propuso una solución de pérdida de conductor que tiene en cuenta la separación entre los conductores ^[49] : ${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{c(e/o)}&={\frac {R^{s}}{240\pi Z_{o(e/o)}}}{\bigg (}{\frac {2}{h}}{\bigg )}{\bigg \{}(1-{\frac {S}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (S/h)}}-(1+{\frac {t}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (t/h)}}-(1+{\frac {W}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (W/h)}}{\bigg \}}{\text{ Np per unit length}}\\\alpha _{c(e/o)}&={\frac {8.688R^{s}}{240\pi Z_{o(e/o}}}{\bigg (}{\frac {2}{h}}{\bigg )}{\bigg \{}(1-{\frac {S}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (S/h)}}-(1+{\frac {t}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (t/h)}}-(1+{\frac {W}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (W/h)}}{\bigg \}}{\text{ dB per unit length}}\\\end{aligned}}}$

Dónde:

h = altura del conductor sobre el plano de tierra

S = separación entre los conductores

W = ancho de los conductores

t = espesor de los conductores.

Las derivadas parciales con respecto a la separación, espesor y ancho del conductor se pueden calcular digitalmente.

Véase también

• Filtro de elementos distribuidos
• Acoplador de onda lenta
• Spurline , un filtro de muesca de microbanda

Referencias

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34. Smith utiliza una relación de altura de sustrato de 3 para estimar el infinito para el ancho, y no define el infinito para los espacios y la altura de la cubierta. La documentación utiliza estimaciones actuales de relaciones de sustrato de 7 para definir el infinito para el ancho y los espacios, y 50 para definir la altura de la cubierta metálica infinita.
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44. Se omiten las unidades de pérdida utilizadas en la cita, pero se supone que son Nepers por unidad de longitud. Esto se correlaciona con otras ecuaciones de pérdida utilizadas que se pueden confirmar fácilmente a partir de otras fuentes.
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Enlaces externos

• Enciclopedia de microbandas en microondas
• Calculadora de síntesis y análisis de microbandas