El corte justo simétrico del pastel es una variante del problema del corte justo del pastel , en el que la equidad se aplica no sólo al resultado final, sino también a la asignación de roles en el procedimiento de división.
Como ejemplo, consideremos un pastel de cumpleaños que debe dividirse entre dos niños con gustos diferentes, de modo que cada niño sienta que su parte es "justa", es decir, que vale al menos la mitad del pastel total. Pueden utilizar el procedimiento clásico de dividir y elegir : Alice corta el pastel en dos trozos que a sus ojos valen exactamente la mitad y George elige el trozo que considera más valioso. El resultado siempre es justo. Sin embargo, el procedimiento no es simétrico: mientras Alicia siempre obtiene un valor exactamente la mitad de su valor, Jorge puede obtener mucho más que la mitad de su valor. Así, aunque Alice no envidia la participación de George, sí envidia el papel de George en el procedimiento.
En contraste, considere el procedimiento alternativo en el que Alice y George hacen medias marcas en el pastel, es decir, cada uno de ellos marca el lugar en el que se debe cortar el pastel de manera que los dos pedazos sean iguales a sus ojos. Luego, el pastel se corta exactamente entre estos cortes: si el corte de Alice es a y el corte de George es g , entonces el pastel se corta en (a+g)/2. Si a < g , Alice obtiene la pieza más a la izquierda y George la pieza más a la derecha; de lo contrario, Alice obtiene la pieza más a la derecha y George la pieza más a la izquierda. El resultado final sigue siendo justo. Y aquí, los roles son simétricos: el único caso en el que los roles hacen una diferencia en el resultado final es cuando a = g , pero en este caso, ambas partes tienen un valor de exactamente 1/2 para ambos niños, por lo que los roles no hacen diferencia en el valor final. Por tanto, el procedimiento alternativo es justo y simétrico.
La idea fue presentada por primera vez por Manabe y Okamoto, [1] quienes la denominaron meta-libre de envidia .
Se han propuesto varias variantes del corte de pastel justo simétrico:
Hay una torta C , que generalmente se supone que es un intervalo unidimensional. Hay n personas. Cada persona i tiene una función de valor Vi que asigna subconjuntos de C a números débilmente positivos.
Un procedimiento de división es una función F que asigna n funciones de valor a una partición de C. La pieza asignada por F al agente i se denota por F ( V 1 ,..., V n ; i ).
Un procedimiento de división F se llama simétrico si, para cualquier permutación p de (1,..., n ), y para cada i :
V i ( F ( V 1 ,..., V n ; i )) = V i ( F ( V p(1) ,..., V p(n) ; p −1 ( i )))
En particular, cuando n =2, un procedimiento es simétrico si:
V 1 ( F ( V 1 , V 2 ; 1)) = V 1 ( F ( V 2 , V 1 ; 2)) y V 2 ( F ( V 1 , V 2 ; 2)) = V 2 ( F ( V 2 , V 1 ; 1))
Esto significa que el agente 1 obtiene el mismo valor ya sea que juegue primero o segundo, y lo mismo ocurre con el agente 2. Como otro ejemplo, cuando n =3, el requisito de simetría implica (entre otros):
V 1 ( F ( V 1 , V 2 , V 3 ; 1)) = V 1 ( F ( V 2 , V 3 , V 1 ; 3)) = V 1 ( F ( V 3 , V 1 , V 2 ; 2)).
Un procedimiento de división F se llama anónimo si, para cualquier permutación p de (1,..., n ), y para cada i :
F ( V 1 ,..., V n ; i ) = F ( V p(1) ,..., V p(n) ; p −1 ( i ))
Cualquier procedimiento anónimo es simétrico, ya que si las piezas son iguales - sus valores seguramente son iguales.
Pero lo contrario no es cierto: es posible que una permutación le dé a un agente diferentes piezas con igual valor.
Un procedimiento de división F se llama aristotélico si, siempre que V i = V k :
V i (F ( V 1 ,..., V n ; i )) = V k ( F ( V 1 ,..., V n ; k ))
El criterio lleva el nombre de Aristóteles , que escribió en su libro sobre ética: "... es cuando los iguales poseen o reciben partes desiguales, o las personas que no son iguales, surgen las riñas y las quejas". Todo procedimiento simétrico es aristotélico. Sea p la permutación que intercambia i y k . La simetría implica que:
V i (F ( V 1 ,.... V i ,..., V k ,..., V n ; i )) = V i (F ( V 1 ,.... V k ,.. ., V yo ,... , V norte ;
Pero como Vi = V k , las dos secuencias de medidas de valor son idénticas, por lo que esto implica la definición de aristotélico. Además, todo procedimiento de cortar un pastel sin envidia es aristotélico: la ausencia de envidia implica que:
V i (F ( V 1 ,..., V n ; i )) ≥ V i ( F ( V 1 ,..., V n ; k )) V k (F ( V 1 ,..., V norte ; k )) ≥ V k ( F ( V 1 ,..., V norte ; yo ))
Pero como Vi = V k , las dos desigualdades implican que ambos valores son iguales.
Sin embargo, un procedimiento que satisface la condición más débil del corte proporcional del pastel no es necesariamente aristotélico. Cheze [3] muestra un ejemplo con 4 agentes en el que el procedimiento Even-Paz para el corte proporcional de la torta puede dar valores diferentes a agentes con medidas de valor idénticas.
El siguiente cuadro resume las relaciones entre los criterios:
Cada procedimiento puede hacerse "simétrico ex ante" mediante aleatorización. Por ejemplo, en el sistema asimétrico de divide y elige, el divisor se puede seleccionar lanzando una moneda. Sin embargo, tal procedimiento no es simétrico ex post. Por lo tanto, la investigación sobre el corte de pastel justo y simétrico se centra en algoritmos deterministas .
Manabe y Okamoto [1] presentaron procedimientos deterministas simétricos y libres de envidia ("meta-envidia") para dos y tres agentes.
Nicolo y Yu [2] presentaron un protocolo de división anónimo, libre de envidia y eficiente en el sentido de Pareto para dos agentes. El protocolo implementa la asignación en equilibrio perfecto en subjuegos , asumiendo que cada agente tiene información completa sobre la valoración del otro agente.
El procedimiento simétrico de cortar y elegir para dos agentes se estudió empíricamente en un experimento de laboratorio. [4] Los procedimientos alternativos de corte de pastel justo simétrico para dos agentes son la marca más a la derecha [5] y las hojas más a la izquierda . [6]
Cheze [3] presentó varios procedimientos:
El procedimiento aristotélico de Cheze [3] para el corte proporcional de la torta extiende el procedimiento del divisor único . Por conveniencia, normalizamos las valoraciones de modo que el valor de todo el pastel sea n para todos los agentes. El objetivo es darle a cada agente una pieza con un valor de al menos 1.