Contracción de asano

En el análisis complejo , una disciplina de las matemáticas y de la física estadística , la contracción de Asano o contracción de Asano-Ruelle es una transformación de un polinomio multivariado afín por separado. Fue presentada por primera vez en 1970 por Taro Asano para demostrar el teorema de Lee-Yang en el caso del modelo de espín de Heisenberg . Esto también produjo una prueba simple del teorema de Lee-Yang en el modelo de Ising . David Ruelle demostró un teorema general que relaciona la ubicación de las raíces de un polinomio contraído con la del original. Las contracciones de Asano también se han utilizado para estudiar polinomios en la teoría de grafos.

Definición

Sea un polinomio que, cuando se considera como función de una sola de estas variables, es una función afín . Tales funciones se denominan funciones afines por separado. Por ejemplo, es la forma general de una función afín por separado en dos variables. Cualquier función afín por separado se puede escribir en términos de cualquiera de sus dos variables como . La contracción de Asano envía a . ^[1] ${\displaystyle \Phi (z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})}$ ${\displaystyle a+bz_{1}+cz_{2}+dz_{1}z_{2}}$ ${\displaystyle \Phi (z_{i},z_{j})=a+bz_{i}+cz_{j}+dz_{i}z_{j}}$ ${\displaystyle (z_{i},z_{j})\mapsto z}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\tilde {\Phi }}=a+dz}$

Ubicación de los ceros

Las contracciones de Asano se utilizan a menudo en el contexto de teoremas sobre la ubicación de raíces. Asano las utilizó originalmente porque preservan la propiedad de no tener raíces cuando todas las variables tienen una magnitud mayor que 1. ^[2] Ruelle proporcionó una relación más general que permitió que las contracciones se utilizaran en más aplicaciones. ^[3] Demostró que si hay conjuntos cerrados que no contienen 0 tales que no pueden desaparecer a menos que para algún índice , entonces solo pueden desaparecer si para algún índice o donde . ^[4] Ruelle y otros han utilizado este teorema para relacionar los ceros de la función de partición con los ceros de la función de partición de sus subsistemas. ${\displaystyle M_{1},M_{2},\ldots ,M_{n}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle z_{i}\in M_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\tilde {\Phi }}=((z_{j},z_{k})\mapsto z)(\Phi )}$ ${\displaystyle z_{i}\in M_{i}}$ ${\displaystyle i\neq k,j}$ ${\displaystyle z\in -M_{j}M_{k}}$ ${\displaystyle -M_{j}M_{k}=\{-ab;a\in M_{j},b\in M_{k}\}}$

Usar

Las contracciones de Asano se pueden utilizar en física estadística para obtener información sobre un sistema a partir de sus subsistemas. Por ejemplo, supongamos que tenemos un sistema con un conjunto finito de partículas con espín magnético 1 o -1. Para cada sitio, tenemos una variable compleja Entonces podemos definir un polinomio afín por separado donde , y es la energía del estado donde solo los sitios en tienen espín positivo. Si todas las variables son iguales, esta es la función de partición . Ahora bien, si , entonces se obtiene de contrayendo la variable asociada a sitios idénticos. ^[4] Esto se debe a que la contracción de Asano elimina esencialmente todos los términos donde los espines en un sitio son distintos en y . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle z_{x}}$ ${\displaystyle P(z_{\Lambda })=\sum _{X\subseteq \Lambda }c_{X}z^{X}}$ ${\displaystyle z^{X}=\prod _{x\in X}z_{x}}$ ${\displaystyle c_{X}=e^{-\beta U(X)}}$ ${\displaystyle U(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Lambda =\Lambda _{1}\cap \Lambda _{2}}$ ${\displaystyle P(z_{\Lambda })}$ ${\displaystyle P(z_{\Lambda _{1}})P(z_{\Lambda _{2}})}$ ${\displaystyle P(z_{\Lambda _{1}})}$ ${\displaystyle P(z_{\Lambda _{2}})}$

Ruelle también ha utilizado contracciones de Asano para encontrar información sobre la ubicación de las raíces de una generalización de polinomios coincidentes que él llama polinomios de conteo de grafos. Asigna una variable a cada arista. Para cada vértice, calcula un polinomio simétrico en las variables correspondientes a las aristas incidentes en ese vértice. El polinomio simétrico contiene los términos de grado igual al grado permitido para ese nodo. Luego multiplica estos polinomios simétricos entre sí y utiliza contracciones de Asano para mantener solo los términos donde la arista está presente en ambos puntos finales. Al utilizar el teorema de Grace-Walsh-Szegő e intersecar todos los conjuntos que se pueden obtener, Ruelle proporciona conjuntos que contienen las raíces de varios tipos de estos polinomios simétricos. Dado que el polinomio de conteo de grafos se obtuvo a partir de estos mediante contracciones de Asano, la mayor parte del trabajo restante es calcular productos de estos conjuntos. ^[5]

Referencias

1. Lebowitz, Joel; Ruelle, David; Speer, Eugene (2012). "Ubicación de los ceros Lee-Yang y ausencia de transiciones de fase en algunos sistemas de espín de Ising" (PDF) . Journal of Mathematical Physics . 53 (9): 095211. arXiv : 1204.0558 . Bibcode :2012JMP....53i5211L. CiteSeerX  10.1.1.748.6592 . doi :10.1063/1.4738622 . Consultado el 13 de mayo de 2015 .
2. Asano, Taro (agosto de 1970). "Teoremas sobre las funciones de partición de los ferroimanes de Heisenberg". Revista de la Sociedad de Física de Japón . 29 (2): 350–359. Código Bibliográfico :1970JPSJ...29..350A. doi :10.1143/jpsj.29.350.
3. Gruber, C.; Hintermann, A.; Merlini, D. (1977). Análisis grupal de sistemas reticulares clásicos . Springer Berlín Heidelberg. pag. 162.doi : 10.1007 /3-540-08137-2. ISBN 978-3-540-37407-7.
4. Ruelle, David (1971). "Extensión del teorema del círculo de Lee-Yang" (PDF) . Physical Review Letters . 26 (6): 303–304. Código Bibliográfico :1971PhRvL..26..303R. doi :10.1103/physrevlett.26.303 . Consultado el 13 de mayo de 2015 .
5. Ruelle, David (1999). "Ceros de polinomios de conteo de grafos". Communications in Mathematical Physics . 200 (1): 43–56. Bibcode :1999CMaPh.200...43R. doi :10.1007/s002200050522.