Construcción de Neyman

La construcción de Neyman , llamada así en honor a Jerzy Neyman , es un método frecuentista para construir un intervalo con un nivel de confianza tal que si repetimos el experimento muchas veces, el intervalo contendrá el valor verdadero de algún parámetro una fracción del tiempo. ${\displaystyle C,\,}$ ${\displaystyle C\,}$

Teoría

Supongamos que son variables aleatorias con función de densidad de probabilidad conjunta , que depende de k parámetros desconocidos. Por conveniencia, sea el espacio muestral definido por las n variables aleatorias y, posteriormente, definamos un punto muestral en el espacio muestral como propuso originalmente Neyman al definir dos funciones y de manera que, para cualquier punto muestral, , ${\displaystyle X_{1},X_{2},...X_{n}}$ ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},...x_{n}|\theta _{1},\theta _{2},...,\theta _{k})}$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle X=(X_{1},X_{2},...X_{n})}$
${\displaystyle L(x)}$ ${\displaystyle U(x)}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle L(X)\leq U(X)}$ ${\displaystyle \forall X\in \Theta }$
• L y U tienen un solo valor y están definidos.

Dada una observación, , la probabilidad de que se encuentre entre y se define como con probabilidad de o . Estas probabilidades calculadas no permiten extraer inferencias significativas sobre ya que la probabilidad es simplemente cero o la unidad. Además, según el constructo frecuentista, los parámetros del modelo son constantes desconocidas y no se permite que sean variables aleatorias. ^[1] Por ejemplo, si , entonces . Asimismo, si , entonces ${\displaystyle X^{'}}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle L(X^{'})}$ ${\displaystyle U(X^{'})}$ ${\displaystyle P(L(X^{'})\leq \theta _{1}\leq U(X^{'})|X^{'})}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{1}=5}$ ${\displaystyle P(2\leq 5\leq 10)=1}$ ${\displaystyle \theta _{1}=11}$ ${\displaystyle P(2\leq 11\leq 10)=0}$

Como Neyman describe en su artículo de 1937, supongamos que consideramos todos los puntos en el espacio muestral, es decir, , que son un sistema de variables aleatorias definidas por la función de densidad de probabilidad conjunta descrita anteriormente. Como y son funciones de , también son variables aleatorias y se puede examinar el significado de la siguiente afirmación de probabilidad: ${\displaystyle \forall X\in \Theta }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

Según el constructo frecuentista, los parámetros del modelo son constantes desconocidas y no se les permite que sean variables aleatorias. Si consideramos todos los puntos de muestra en el espacio muestral como variables aleatorias definidas por la función de densidad de probabilidad conjunta anterior, eso es todo lo que se puede demostrar que y son funciones de variables aleatorias y, por lo tanto, variables aleatorias. Por lo tanto, se puede observar la probabilidad de y para algún . Si es el valor verdadero de , podemos definir y de manera que la probabilidad y sea igual al nivel de confianza especificado previamente . ${\displaystyle X\in \Theta }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle L(X)}$ ${\displaystyle U(X)}$ ${\displaystyle X\in \Theta }$ ${\displaystyle \theta _{1}^{'}}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle L(X)\leq \theta _{1}^{'}}$ ${\displaystyle \theta _{1}^{'}\leq U(X)}$ ${\displaystyle ,C}$

Es decir, donde y y son los límites de confianza superior e inferior para ^[1] ${\displaystyle P(L(X)\leq \theta _{1}^{'}\leq U(X)|\theta _{1}^{'})=C}$ ${\displaystyle 0\leq C\leq 1}$ ${\displaystyle L(X)}$ ${\displaystyle U(X)}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$

Probabilidad de cobertura

La probabilidad de cobertura , , para la construcción de Neyman es la frecuencia de los experimentos en los que el intervalo de confianza contiene el valor real de interés. Generalmente, la probabilidad de cobertura se establece en un nivel de confianza. Para la construcción de Neyman, la probabilidad de cobertura se establece en un valor donde . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 95\%}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0<C<1}$

Implementación

Se puede llevar a cabo una construcción de Neyman realizando múltiples experimentos que construyan conjuntos de datos correspondientes a un valor dado del parámetro. Los experimentos se ajustan con métodos convencionales y el espacio de valores de parámetros ajustados constituye la banda de la que se puede seleccionar el intervalo de confianza.

Ejemplo clásico

Gráfico de 50 intervalos de confianza de 50 muestras generadas a partir de una distribución normal.

Supongamos que , donde y son constantes desconocidas donde deseamos estimar . Podemos definir (2) funciones de valor único, y , definidas por el proceso anterior de manera que, dado un nivel de confianza preestablecido, , y una muestra aleatoria ${\displaystyle X\sim N(\theta ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X^{*}=(x_{1},x_{2},...x_{n})}$

${\displaystyle L(X^{*})={\bar {x}}-t{\frac {s}{\sqrt {n}}}}$

${\displaystyle U(X^{*})={\bar {x}}+t{\frac {s}{\sqrt {n}}}}$

donde es el error estándar , y la media de la muestra y la desviación estándar son: ${\displaystyle s/{\sqrt {n}}}$

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1},x_{2},...x_{n})}$

${\displaystyle s={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}}$

El factor sigue una distribución t con (n-1) grados de libertad, ~t ^[2] ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ _{${\displaystyle ({1-C}/2,n-1)}$}

Otro ejemplo

${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{n}}$son variables aleatorias iid y sean . Supongamos . Ahora, para construir un intervalo de confianza con un nivel de confianza, sabemos que es suficiente para . Por lo tanto, ${\displaystyle T=(X_{1},X_{2},...,X_{n})}$ ${\displaystyle T\sim N(\mu ,\sigma ^{2})}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle p(-Z_{\frac {\alpha }{2}}\leq {\frac {{\bar {x}}-\mu }{\sigma ^{2}}}\leq Z_{\frac {\alpha }{2}})=C}$

${\displaystyle p(-Z_{\frac {\alpha }{2}}\sigma ^{2}\leq {\bar {x}}-\mu \leq Z_{\frac {\alpha }{2}}\sigma ^{2})=C}$

${\displaystyle p({\bar {x}}-Z_{\frac {\alpha }{2}}\sigma ^{2}\leq \mu \leq {\bar {x}}+Z_{\frac {\alpha }{2}}\sigma ^{2})=C}$

Esto produce un intervalo de confianza para donde, ${\displaystyle 100(C)\%}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle L(T)={\bar {x}}-Z_{\frac {\alpha }{2}}\sigma ^{2}}$

${\displaystyle U(T)={\bar {x}}+Z_{\frac {\alpha }{2}}\sigma ^{2}}$.

^[3]

Véase también

• Interpretaciones de probabilidad

Referencias

1. Neyman, J. (1937). "Esquema de una teoría de estimación estadística basada en la teoría clásica de probabilidad". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Serie A, Ciencias matemáticas y físicas . 236 (767): 333–380. doi : 10.1098/rsta.1937.0005 . JSTOR  91337.
2. Rao, C. Radhakrishna (13 de abril de 1973). Inferencia estadística lineal y sus aplicaciones: segunda edición . John Wiley & Sons. págs. 470–472. ISBN 9780471708230.
3. Samaniego, Francisco J. (14 de enero de 2014). Modelado estocástico y estadística matemática . Chapman y Hall/CRC. pág. 347. ISBN 9781466560468.