Constante de Bruijn-Newman

Constante matemática

La constante de Bruijn-Newman , denotada y nombrada en honor a Nicolaas Govert de Bruijn y Charles Michael Newman , es una constante matemática definida a través de los ceros de una determinada función , donde es un parámetro real y es una variable compleja . Más precisamente, ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle H(\lambda ,z)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle H(\lambda ,z):=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)\,du}$,

¿Dónde está la función de decaimiento superexponencial? ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})e^{-\pi n^{2}e^{4u}}}$

y es el único número real con la propiedad de que sólo tiene ceros reales si y sólo si . ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \lambda \geq \Lambda }$

La constante está estrechamente relacionada con la hipótesis de Riemann . De hecho, la hipótesis de Riemann es equivalente a la conjetura de que . ^[1] Brad Rodgers y Terence Tao demostraron que , por lo que la hipótesis de Riemann es equivalente a . ^[2] Alexander Dobner presentó posteriormente una prueba simplificada del resultado de Rodgers-Tao. ^[3] ${\displaystyle \Lambda \leq 0}$ ${\displaystyle \Lambda \geq 0}$ ${\displaystyle \Lambda =0}$

Historia

De Bruijn demostró en 1950 que tiene solo ceros reales si , y además, que si tiene solo ceros reales para algún , también tiene solo ceros reales si se reemplaza por cualquier valor mayor. ^[4] Newman demostró en 1976 la existencia de una constante para la cual se cumple la afirmación "si y solo si"; y esto implica que es única. Newman también conjeturó que , ^[5] lo cual fue luego demostrado por Brad Rodgers y Terence Tao en 2018. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \lambda \geq 1/2}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda \geq 0}$

Límites superiores

El límite superior de De Bruijn no se mejoró hasta 2008, cuando Ki, Kim y Lee demostraron , haciendo que la desigualdad fuera estricta. ^[6] ${\displaystyle \Lambda \leq 1/2}$ ${\displaystyle \Lambda <1/2}$

En diciembre de 2018, el 15.º proyecto Polymath mejoró el límite a . ^{[7] [8] [9]} Un manuscrito del trabajo de Polymath se envió a arXiv a fines de abril de 2019, ^[10] y se publicó en la revista Research In the Mathematical Sciences en agosto de 2019. ^[11] ${\displaystyle \Lambda \leq 0.22}$

En abril de 2020, Platt y Trudgian mejoraron ligeramente este límite hasta . ^[12] ${\displaystyle \Lambda \leq 0.2}$

Límites históricos

Referencias

1. "La constante de De Bruijn-Newman no es negativa". 19 de enero de 2018 . Consultado el 19 de enero de 2018 .(publicación de anuncio)
2. Rodgers, Brad; Tao, Terence (2020). "La constante de Bruijn-Newman no es negativa". Foro de Matemáticas, Pi . 8 : e6. arXiv : 1801.05914 . doi : 10.1017/fmp.2020.6 . ISSN  2050-5086.
3. Dobner, Alexander (2020). "Una nueva prueba de la conjetura de Newman y una generalización". arXiv : 2005.05142 [math.NT].
4. de Bruijn, NG (1950). "Las raíces de las integrales triginométricas" (PDF) . Duque Matemáticas. J.​ 17 (3): 197–226. doi :10.1215/s0012-7094-50-01720-0. Zbl  0038.23302.
5. Newman, CM (1976). "Transformadas de Fourier con sólo ceros reales". Proc. Amer. Math. Soc . 61 (2): 245–251. doi : 10.1090/s0002-9939-1976-0434982-5 . Zbl  0342.42007.
6. Ki, Haseo; Kim, Young-One; Lee, Jungseob (2009), "Sobre la constante de Bruijn-Newman" (PDF) , Advances in Mathematics , 222 (1): 281–306, doi : 10.1016/j.aim.2009.04.003 , ISSN  0001-8708, MR  2531375(discusión).
7. DHJ Polymath (20 de diciembre de 2018), Aproximación efectiva de la evolución del flujo de calor de la función ξ {\displaystyle \xi } de Riemann y un límite superior para la constante de De Bruijn-Newman (PDF) (preimpresión) , recuperado el 23 de diciembre de 2018
8. ¿Está por debajo de Λ ≤ 0,22? {\displaystyle \Lambda \leq 0,22?} , 4 de mayo de 2018
9. Regiones libres de cero
10. Polígrafo, DHJ (2019). "Aproximación efectiva de la evolución del flujo de calor de la función ξ de Riemann y un nuevo límite superior para la constante de Bruijn-Newman". arXiv : 1904.12438 [math.NT].(preimpresión)
11. Polymath, DHJ (2019), "Aproximación efectiva de la evolución del flujo de calor de la función ξ de Riemann y un nuevo límite superior para la constante de Bruijn-Newman", Investigación en las ciencias matemáticas , 6 (3), arXiv : 1904.12438 , Bibcode :2019arXiv190412438P, doi :10.1007/s40687-019-0193-1, S2CID  139107960
12. Platt, Dave; Trudgian, Tim (2021). "La hipótesis de Riemann es verdadera hasta 3·1012". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 53 (3): 792–797. arXiv : 2004.09765 . doi :10.1112/blms.12460. S2CID  234355998.(preimpresión)
13. Csordas, G.; Norfolk, TS; Varga, RS (1 de septiembre de 1987). "Un límite inferior para la constante Λ de De Bruijn-newman". Matemática numérica . 52 (5): 483–497. doi :10.1007/BF01400887. ISSN  0945-3245. S2CID  124008641.
14. te Riele, HJJ (1 de diciembre de 1990). "Un nuevo límite inferior para la constante de Bruijn-Newman". Matemática numérica . 58 (1): 661–667. doi :10.1007/BF01385647. ISSN  0945-3245.
15. Csordas, G.; Ruttan, A.; Varga, RS (1 de junio de 1991). "Las desigualdades de Laguerre con aplicaciones a un problema asociado con la hipótesis de Riemann". Algoritmos numéricos . 1 (2): 305–329. Bibcode :1991NuAlg...1..305C. doi :10.1007/BF02142328. ISSN  1572-9265. S2CID  22606966.
16. Csordas, G.; Odlyzko, AM ; Smith, W.; Varga, RS (1993). "Un nuevo par de ceros de Lehmer y un nuevo límite inferior para la constante Lambda de De Bruijn–Newman" (PDF) . Transacciones electrónicas sobre análisis numérico . 1 : 104–111. Zbl  0807.11059 . Consultado el 1 de junio de 2012 .
17. Odlyzko, AM (2000). "Un límite mejorado para la constante de De Bruijn–Newman". Algoritmos numéricos . 25 (1): 293–303. Bibcode :2000NuAlg..25..293O. doi :10.1023/A:1016677511798. S2CID  5824729. Zbl  0967.11034.
18. Saouter, Yannick; Gourdon, Xavier; Demichel, Patrick (2011). "Un límite inferior mejorado para la constante de Bruijn–Newman". Matemáticas de la computación . 80 (276): 2281–2287. doi : 10.1090/S0025-5718-2011-02472-5 . MR  2813360.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Constante de Bruijn-Newman". MundoMatemático .