Constante (matemáticas)

En matemáticas , la palabra constante transmite múltiples significados. Como adjetivo, se refiere a la no variabilidad (es decir, que no cambia con respecto a algún otro valor ); como sustantivo, tiene dos significados diferentes:

Un número fijo y bien definido u otro objeto matemático inmutable , o el símbolo que lo denota. ^[1]^[2] Los términos constante matemática o constante física se utilizan a veces para distinguir este significado. ^[3]
Una función cuyo valor permanece invariable (es decir, una función constante ). ^[4] Una constante de este tipo suele estar representada por una variable que no depende de la(s) variable(s) principal(es) en cuestión.

Por ejemplo, una función cuadrática general se escribe comúnmente como:

ax^{2}+bx+c\,,

donde $a$ , $b$ y $c$ son constantes ( coeficientes o parámetros) y $x$ una variable , un marcador de posición para el argumento de la función que se estudia. Una forma más explícita de denotar esta función es

x\mapsto ax^{2}+bx+c\,,

lo que deja claro el carácter de argumento de función de $x$ (y por extensión la constancia de $a$ , $b$ y $c ). En este ejemplo$ $a$ , $b$ y $c$ son coeficientes del polinomio . Dado que $c$ aparece en un término que no implica $a x$ , se denomina término constante del polinomio y puede considerarse como el coeficiente de $x 0$ . De manera más general, cualquier término o expresión polinómica de grado cero (sin variable) es una constante. ^[5]^{: 18}

Función constante

Una constante puede usarse para definir una función constante que ignora sus argumentos y siempre da el mismo valor. ^[6] Una función constante de una sola variable, como , tiene un gráfico de una línea horizontal paralela al eje x . ^[7] Una función de este tipo siempre toma el mismo valor (en este caso 5), porque la variable no aparece en la expresión que define la función. $f(x)=5$

Dependencia del contexto

La naturaleza dependiente del contexto del concepto de "constante" se puede ver en este ejemplo de cálculo elemental:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}2^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {2^{x+h}-2^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}2^{x}{\frac {2^{h}-1}{h}}\\[8pt]&=2^{x}\lim _{h\to 0}{\frac {2^{h}-1}{h}}&&{\text{ya que }}x{\text{ es constante (es decir, no depende de }}h{\text{)}}\\[8pt]&=2^{x}\cdot \mathbf {constante,} &&{\text{donde }}\mathbf {constante} {\text{ significa que no depende de }}x.\end{aligned}}

"Constante" significa que no depende de ninguna variable; que no cambia cuando esa variable cambia. En el primer caso, significa que no depende de h ; en el segundo, significa que no depende de x . Una constante en un contexto más restringido podría considerarse como una variable en un contexto más amplio.

Constantes matemáticas notables

Algunos valores aparecen con frecuencia en matemáticas y se denotan convencionalmente mediante un símbolo específico. Estos símbolos estándar y sus valores se denominan constantes matemáticas. Algunos ejemplos son:

0 ( cero ).
1 ( uno ), el número natural después del cero.
$π$ ( pi ), la constante que representa la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, aproximadamente igual a 3,141592653589793238462643. ^[8]
$e$ , aproximadamente igual a 2,718281828459045235360287.^[9]
$i$ , la unidad imaginaria tal que $i 2 = -1$ . ^[10]
${\sqrt {2}}$ ( raíz cuadrada de 2 ), la longitud de la diagonal de un cuadrado con lados unitarios, aproximadamente igual a 1,414213562373095048801688. ^[11]
$φ$ ( proporción áurea ), aproximadamente igual a 1,618033988749894848204586, o algebraicamente, . ^[12] $1+{\sqrt {5}} \sobre 2$

Constantes en cálculo

En cálculo , las constantes se tratan de varias formas diferentes según la operación. Por ejemplo, la derivada (tasa de cambio) de una función constante es cero. Esto se debe a que las constantes, por definición, no cambian. Por lo tanto, su derivada es cero.

Por el contrario, al integrar una función constante, la constante se multiplica por la variable de integración.

Durante la evaluación de un límite , una constante permanece igual que antes y después de la evaluación.

La integración de una función de una variable a menudo implica una constante de integración . Esto surge debido al hecho de que la integral es la inversa (opuesta) de la derivada, lo que significa que el objetivo de la integración es recuperar la función original antes de la diferenciación. La derivada de una función constante es cero, como se señaló anteriormente, y el operador diferencial es un operador lineal, por lo que las funciones que solo difieren en un término constante tienen la misma derivada. Para reconocer esto, se agrega una constante de integración a una integral indefinida ; esto garantiza que se incluyan todas las soluciones posibles. La constante de integración generalmente se escribe como 'c' y representa una constante con un valor fijo pero indefinido.

Ejemplos

Si $f$ es la función constante tal que para cada $x$ entonces $f(x)=72$

{\begin{aligned}f'(x)&=0\\\int f(x)\,dx&=72x+c\\\lim _{x\rightarrow 0}f(x)&=72\end{aligned}}

Véase también

Referencias

^ Sobolev, SK (autor). "Constante individual". Enciclopedia de Matemáticas . Springer . ISBN 1402006098. Recuperado el 5 de septiembre de 2024 .
^ Sobolev, SK (autor). "Constante". Enciclopedia de Matemáticas . Springer . ISBN 1402006098. Recuperado el 5 de septiembre de 2024 .
^ "Definición de CONSTANTE". www.merriam-webster.com . Consultado el 9 de noviembre de 2021 .
^ Weisstein, Eric W. "Constante". mathworld.wolfram.com . Consultado el 8 de agosto de 2020 .
^ Foerster, Paul A. (2006). Álgebra y trigonometría: funciones y aplicaciones, edición para profesores (edición Classics). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall . ISBN 0-13-165711-9.
^ Tanton, James (2005). Enciclopedia de matemáticas. Nueva York: Facts on File. ISBN 0-8160-5124-0.OCLC 56057904 .
^ "Álgebra". tutorial.math.lamar.edu . Consultado el 9 de noviembre de 2021 .
^ Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2001). Pi – Unleashed . Springer. pág. 240. ISBN 978-3540665724.
^ Weisstein, Eric W. "e". mathworld.wolfram.com . Consultado el 9 de noviembre de 2021 .
^ Weisstein, Eric W. "i". mathworld.wolfram.com . Consultado el 9 de noviembre de 2021 .
^ Weisstein, Eric W. "La constante de Pitágoras". mathworld.wolfram.com . Consultado el 9 de noviembre de 2021 .
^ Weisstein, Eric W. "Proporción áurea". mathworld.wolfram.com . Consultado el 9 de noviembre de 2021 .

Enlaces externos

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