Cono de curvas

Concepto en geometría algebraica

En matemáticas , el cono de curvas (a veces el cono de Kleiman-Mori ) de una variedad algebraica es un invariante combinatorio de importancia para la geometría biracional de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Definición

Sea una variedad propia . Por definición, un 1-ciclo (real) en es una combinación lineal formal de curvas irreducibles, reducidas y propias , con coeficientes . La equivalencia numérica de 1-ciclos se define por las intersecciones: dos 1-ciclos y son numéricamente equivalentes si para cada divisor de Cartier en . Denote el espacio vectorial real de 1-ciclos módulo equivalencia numérica por . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C=\sum a_{i}C_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle C\cdot D=C'\cdot D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N_{1}(X)}$

Definimos el cono de curvas de ser ${\displaystyle X}$

${\displaystyle NE(X)=\left\{\sum a_{i}[C_{i}],\ 0\leq a_{i}\in \mathbb {R} \right\}}$

donde son curvas irreducibles, reducidas y propias en , y sus clases en . No es difícil ver que es de hecho un cono convexo en el sentido de geometría convexa. ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [C_{i}]}$ ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle NE(X)}$

Aplicaciones

Una aplicación útil de la noción de cono de curvas es la condición de Kleiman , que dice que un divisor (de Cartier) en una variedad completa es amplio si y solo si para cualquier elemento distinto de cero en , el cierre del cono de curvas en la topología real habitual. (En general, no es necesario que sean cerrados, por lo que es importante tomar el cierre aquí). ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D\cdot x>0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\overline {NE(X)}}}$ ${\displaystyle NE(X)}$

Un ejemplo más complejo es el papel que desempeña el cono de curvas en la teoría de modelos mínimos de variedades algebraicas. Brevemente, el objetivo de esa teoría es el siguiente: dada una variedad proyectiva (ligeramente singular) , encontrar una variedad (ligeramente singular) que sea biracional a , y cuyo divisor canónico sea nef . El gran avance de principios de la década de 1980 (debido a Mori y otros) fue construir (al menos moralmente) la función biracional necesaria de a como una secuencia de pasos, cada uno de los cuales puede considerarse como una contracción de un rayo extremal -negativo de . Sin embargo, este proceso encuentra dificultades, cuya resolución requiere la introducción del cambio . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K_{X'}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle NE(X)}$

Un teorema de estructura

El proceso de contracciones antes mencionado no podría llevarse a cabo sin el resultado fundamental sobre la estructura del cono de curvas conocido como el Teorema del Cono . La primera versión de este teorema, para variedades suaves, se debe a Mori ; más tarde fue generalizado a una clase más grande de variedades por Kawamata , Kollár , Reid , Shokurov y otros. La versión de Mori del teorema es la siguiente:

Teorema del cono. Sea una variedad proyectiva suave . Entonces ${\displaystyle X}$

1. Hay un número contable de curvas racionales en , que satisfacen , y ${\displaystyle C_{i}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0<-K_{X}\cdot C_{i}\leq \operatorname {dim} X+1}$

${\displaystyle {\overline {NE(X)}}={\overline {NE(X)}}_{K_{X}\geq 0}+\sum _{i}\mathbf {R} _{\geq 0}[C_{i}].}$

2. Para cualquier número real positivo y cualquier divisor amplio , ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\overline {NE(X)}}={\overline {NE(X)}}_{K_{X}+\epsilon H\geq 0}+\sum \mathbf {R} _{\geq 0}[C_{i}],}$

donde la suma en el último término es finita.

La primera afirmación dice que, en el semiespacio cerrado de donde la intersección con no es negativa, no sabemos nada, pero en el semiespacio complementario, el cono está abarcado por una colección numerable de curvas que son bastante especiales: son racionales y su 'grado' está acotado muy estrechamente por la dimensión de . La segunda afirmación nos dice más: dice que, lejos del hiperplano , los rayos extremos del cono no se pueden acumular. Cuando es una variedad de Fano, porque es amplia. Por lo tanto, el teorema del cono muestra que el cono de curvas de una variedad de Fano es generado por curvas racionales. ${\displaystyle N_{1}(X)}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{C:K_{X}\cdot C=0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\overline {NE(X)}}_{K_{X}\geq 0}=0}$ ${\displaystyle -K_{X}}$

Si además la variedad se define sobre un campo de característica 0, tenemos la siguiente afirmación, a veces denominada Teorema de Contracción : ${\displaystyle X}$

3. Sea una cara extrema del cono de curvas en la que es negativo. Entonces existe un morfismo único para una variedad proyectiva Z , tal que y una curva irreducible en se aplica a un punto por si y solo si . (Véase también: morfismo de contracción ). ${\displaystyle F\subset {\overline {NE(X)}}}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} _{F}:X\rightarrow Z}$ ${\displaystyle (\operatorname {cont} _{F})_{*}{\mathcal {O}}_{X}={\mathcal {O}}_{Z}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {cont} _{F}}$ ${\displaystyle [C]\in F}$

Referencias

• Lazarsfeld, R., Positividad en geometría algebraica I , Springer-Verlag, 2004. ISBN  3-540-22533-1
• Kollár, J. y Mori, S., Geometría biracional de variedades algebraicas , Cambridge University Press, 1998. ISBN 0-521-63277-3