Conjuntos causales

Aproximación a la gravedad cuántica utilizando el espacio-tiempo discreto

El programa de conjuntos causales es un enfoque de la gravedad cuántica . Sus principios fundacionales son que el espacio-tiempo es fundamentalmente discreto (una colección de puntos discretos del espacio-tiempo, llamados los elementos del conjunto causal) y que los eventos del espacio-tiempo están relacionados por un orden parcial . Este orden parcial tiene el significado físico de las relaciones de causalidad entre los eventos del espacio-tiempo.

Historia

Durante algunas décadas después de la formulación de la Relatividad General, la actitud hacia la geometría lorentziana se dedicó principalmente a comprender sus implicaciones físicas y no se ocupó de cuestiones teóricas. ^[1] Sin embargo, los primeros intentos de usar la causalidad como punto de partida fueron proporcionados por Weyl y Lorentz. ^[2] Alfred Robb en dos libros en 1914 y 1936 sugirió un marco axiomático donde la precedencia causal jugó un papel crítico. ^[1] La primera propuesta explícita de cuantificación de la estructura causal del espacio-tiempo es atribuida por S. Surya ^[1] a Kronheimer y Penrose , ^[3] quienes inventaron los espacios causales para admitir estructuras que pueden ser muy diferentes de una variedad . Los espacios causales se definen axiomáticamente, considerando no solo la precedencia causal, sino también la precedencia cronológica.

El programa de conjuntos causales se basa en un teorema ^[4] de David Malament , que extiende los resultados anteriores de EC Zeeman ^[5] y Hawking , King y McCarthy. ^{[6] [1]} El teorema de Malament establece que si hay una función biyectiva entre dos espacios-tiempos distintivos pasados ​​y futuros que preserva su estructura causal , entonces la función es un isomorfismo conforme . El factor conforme que queda indeterminado está relacionado con el volumen de las regiones en el espacio-tiempo. Este factor de volumen se puede recuperar especificando un elemento de volumen para cada punto del espacio-tiempo. El volumen de una región del espacio-tiempo se puede encontrar contando el número de puntos en esa región.

Los conjuntos causales fueron iniciados por Rafael Sorkin, quien sigue siendo el principal defensor del programa. Ha acuñado el lema "Orden + Número = Geometría" para caracterizar el argumento anterior. El programa proporciona una teoría en la que el espacio-tiempo es fundamentalmente discreto, al tiempo que conserva la invariancia local de Lorentz .

Definición

Un conjunto causal (o causato ) es un conjunto con una relación de orden parcial que es ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \preceq }$

• Reflexivo : Para todos , tenemos . ${\displaystyle x\in C}$ ${\displaystyle x\preceq x}$
• Antisimétrico : Para todos , tenemos e implica . ${\displaystyle x,y\in C}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle y\preceq x}$ ${\displaystyle x=y}$
• Transitivo : Para todos , tenemos e implica . ${\displaystyle x,y,z\in C}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle y\preceq z}$ ${\displaystyle x\preceq z}$
• Localmente finito : Para todo , tenemos que es un conjunto finito. ${\displaystyle x,z\in C}$ ${\displaystyle \{y\in C|x\preceq y\preceq z\}}$

Escribiremos si y . ${\displaystyle x\prec y}$ ${\displaystyle x\preceq y}$ ${\displaystyle x\neq y}$

El conjunto representa el conjunto de eventos del espacio-tiempo y la relación de orden representa la relación causal entre eventos (ver estructura causal para la idea análoga en una variedad lorentziana ). ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \preceq }$

Aunque esta definición utiliza la convención reflexiva, podríamos haber elegido la convención irreflexiva en la que la relación de orden es irreflexiva y asimétrica .

La relación causal de una variedad lorentziana (sin curvas causales cerradas ) satisface las tres primeras condiciones. Es la condición de finitud local la que introduce la discreción del espacio-tiempo.

Comparación con el continuo

Dado un conjunto causal, podemos preguntarnos si se puede incrustar en una variedad lorentziana . Una incrustación sería una función que tomara elementos del conjunto causal en puntos de la variedad de modo que la relación de orden del conjunto causal coincida con el orden causal de la variedad. Sin embargo, se necesita un criterio adicional antes de que la incrustación sea adecuada. Si, en promedio, el número de elementos del conjunto causal mapeados en una región de la variedad es proporcional al volumen de la región, entonces se dice que la incrustación es fiel . En este caso, podemos considerar que el conjunto causal es "similar a una variedad".

Una conjetura central del programa de conjuntos causales, llamada Hauptvermutung ('conjetura fundamental'), es que el mismo conjunto causal no puede integrarse fielmente en dos espacio-tiempos que no sean similares en grandes escalas.

Es difícil definir esta conjetura con precisión porque es difícil decidir cuándo dos espacio-tiempos son "similares a gran escala". Modelar el espacio-tiempo como un conjunto causal requeriría que limitáramos nuestra atención a aquellos conjuntos causales que son "similares a variedades". Dado un conjunto causal, esta es una propiedad difícil de determinar.

Aspersión

Una gráfica de 1000 puntos esparcidos en dimensiones 1+1

La dificultad de determinar si un conjunto causal puede ser incorporado a una variedad puede ser abordada desde la otra dirección. Podemos crear un conjunto causal al esparcir puntos en una variedad lorentziana. Al esparcir puntos en proporción al volumen de las regiones espacio-temporales y usar las relaciones de orden causal en la variedad para inducir relaciones de orden entre los puntos esparcidos, podemos producir un conjunto causal que (por construcción) pueda ser incorporado fielmente a la variedad.

Para mantener la invariancia de Lorentz, esta dispersión de puntos debe realizarse aleatoriamente mediante un proceso de Poisson . Por lo tanto, la probabilidad de dispersión de puntos en una región de volumen es ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle P(n)={\frac {(\rho V)^{n}e^{-\rho V}}{n!}}}$

¿Dónde está la densidad de la aspersión? ${\displaystyle \rho }$

La dispersión de puntos como una red regular no mantendría el número de puntos proporcional al volumen de la región.

Geometría

Algunas construcciones geométricas en variedades se trasladan a conjuntos causales. Al definirlas, debemos recordar que debemos basarnos únicamente en el conjunto causal en sí, no en ningún espacio-tiempo de fondo en el que pueda estar inserto. Para una descripción general de estas construcciones, véase ^{[7] .}

Geodésicas

Un gráfico de geodésicas entre dos puntos en un conjunto causal de 180 puntos creado mediante dispersión en dimensiones 1+1

Un vínculo en un conjunto causal es un par de elementos tales que pero sin ningún elemento tal que . ${\displaystyle x,y\in C}$ ${\displaystyle x\prec y}$ ${\displaystyle z\in C}$ ${\displaystyle x\prec z\prec y}$

Una cadena es una secuencia de elementos tal que para . La longitud de una cadena es . Si cada uno de los elementos de la cadena forma un eslabón, entonces la cadena se denomina camino . ${\displaystyle x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{i}\prec x_{i+1}}$ ${\displaystyle i=0,\ldots ,n-1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i},x_{i+1}}$

Podemos utilizar esto para definir la noción de geodésica entre dos elementos de un conjunto causal, siempre que sean comparables en orden, es decir, que estén conectados causalmente (físicamente, esto significa que son similares en el tiempo). Una geodésica entre dos elementos es una cadena que consta únicamente de eslabones tales que ${\displaystyle x\preceq y\in C}$

1. ${\displaystyle x_{0}=x}$y ${\displaystyle x_{n}=y}$
2. La longitud de la cadena, , es máxima en todas las cadenas desde hasta . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

En general puede haber más de una geodésica entre dos elementos comparables.

Myrheim ^[8] fue el primero en sugerir que la longitud de una geodésica de este tipo debería ser directamente proporcional al tiempo propio a lo largo de una geodésica temporal que une los dos puntos del espacio-tiempo. Se han realizado pruebas de esta conjetura utilizando conjuntos causales generados a partir de rociados en espacios-tiempos planos. Se ha demostrado que la proporcionalidad se cumple y se conjetura que también se cumple para rociados en espacios-tiempos curvos.

Estimadores de dimensión

Se ha trabajado mucho en la estimación de la dimensión de la variedad de un conjunto causal. Esto implica algoritmos que utilizan el conjunto causal con el objetivo de dar la dimensión de la variedad en la que se puede insertar fielmente. Los algoritmos desarrollados hasta ahora se basan en encontrar la dimensión de un espacio-tiempo de Minkowski en el que se puede insertar fielmente el conjunto causal.

• Dimensión de Myrheim-Meyer

Este enfoque se basa en la estimación del número de cadenas de longitud presentes en una dispersión en el espacio-tiempo de Minkowski de dimensión 1. Contar el número de cadenas de longitud 1 en el conjunto causal permite entonces realizar una estimación de . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d}$

• Dimensión de escala de punto medio

Este enfoque se basa en la relación entre el tiempo propio entre dos puntos del espacio-tiempo de Minkowski y el volumen del intervalo de espacio-tiempo entre ellos. Calculando la longitud máxima de la cadena (para estimar el tiempo propio) entre dos puntos y contando el número de elementos de manera que (para estimar el volumen del intervalo de espacio-tiempo) se pueda calcular la dimensión del espacio-tiempo. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x\prec z\prec y}$

Estos estimadores deberían dar la dimensión correcta para los conjuntos causales generados por rociados de alta densidad en el espacio-tiempo de Minkowski de dimensión dimensional. Las pruebas en espacios-tiempos conformemente planos ^[9] han demostrado que estos dos métodos son precisos. ${\displaystyle d}$

Dinámica

Una tarea en curso es desarrollar la dinámica correcta para los conjuntos causales. Estas proporcionarían un conjunto de reglas que determinarían qué conjuntos causales corresponden a espacios-tiempos físicamente realistas . El enfoque más popular para desarrollar dinámicas de conjuntos causales se basa en la versión de suma sobre historias de la mecánica cuántica . Este enfoque realizaría una "suma sobre conjuntos causales" al hacer crecer un conjunto causal un elemento a la vez. Los elementos se agregarían de acuerdo con las reglas de la mecánica cuántica y la interferencia aseguraría que un gran espacio-tiempo similar a una variedad dominaría las contribuciones. El mejor modelo para la dinámica en este momento es un modelo clásico en el que los elementos se agregan de acuerdo con las probabilidades. Este modelo, debido a David Rideout y Rafael Sorkin , se conoce como dinámica de crecimiento secuencial clásico (CSG). ^[10] El modelo de crecimiento secuencial clásico es una forma de generar conjuntos causales agregando nuevos elementos uno tras otro. Se especifican reglas para cómo se agregan nuevos elementos y, según los parámetros en el modelo, resultan diferentes conjuntos causales.

En analogía con la formulación de la integral de trayectorias de la mecánica cuántica, un enfoque para desarrollar una dinámica cuántica para conjuntos causales ha sido aplicar un principio de acción en el enfoque de suma sobre conjuntos causales. Sorkin ha propuesto un análogo discreto para el d'Alembertiano , que a su vez puede usarse para definir el escalar de curvatura de Ricci y, por lo tanto, la acción de Benincasa-Dowker sobre un conjunto causal. ^{[11] [12]} Las simulaciones de Montecarlo han proporcionado evidencia de una fase continua en 2D utilizando la acción de Benincasa-Dowker. ^[13]

Véase también

• Triangulación dinámica causal (CDT)
• Estructura causal
• Relatividad general
• Teoría del orden

Referencias

1. Surya, S. El enfoque del conjunto causal para la gravedad cuántica. Living Rev Relativ 22, 5 (2019), págs. 7-9. https://doi.org/10.1007/s41114-019-0023-1
2. Bell JL, Korté H (2016) Hermann Weyl . En: Zalta EN (ed) The Stanford encyclopedia of philosophy, edición de invierno de 2016. Metaphysics Research Lab, Universidad de Stanford [1]
3. Kronheimer E, Penrose R (1967) Sobre la estructura de los espacios causales . Proc Camb Phil Soc 63:481
4. Malament, David B. (julio de 1977). "La clase de curvas continuas de tipo temporal determina la topología del espacio-tiempo" (PDF) . Journal of Mathematical Physics . 18 (7): 1399–1404. Bibcode :1977JMP....18.1399M. doi :10.1063/1.523436.
5. EC Zeeman, La causalidad implica el grupo de Lorentz , J. Math. Phys. 5: 490-493.
6. Hawking S, King A, McCarthy P (1976) Una nueva topología para el espacio-tiempo curvo que incorpora las estructuras causal, diferencial y conforme. J Math Phys 17:174–181.
7. Brightwell, Graham; Gregory, Ruth (21 de enero de 1991). "Estructura del espacio-tiempo discreto aleatorio". Physical Review Letters . 66 (3): 260–263. Bibcode :1991PhRvL..66..260B. doi :10.1103/PhysRevLett.66.260. hdl : 2060/19900019113 . PMID  10043761. S2CID  32109929.
8. J. Myrheim, preimpresión del CERN TH-2538 (1978)
9. Reid, David D. (30 de enero de 2003). "Dimensión de variedad de un conjunto causal: Pruebas en espacios-tiempos conformemente planos". Physical Review D . 67 (2): 024034. arXiv : gr-qc/0207103 . Bibcode :2003PhRvD..67b4034R. doi :10.1103/PhysRevD.67.024034. S2CID  12748458.
10. Rideout, DP; Sorkin, RD (2000). "Dinámica clásica de crecimiento secuencial para conjuntos causales". Physical Review D . 61 (2): 024002. arXiv : gr-qc/9904062 . Código Bibliográfico :1999PhRvD..61b4002R. doi :10.1103/PhysRevD.61.024002. S2CID  14652530.
11. Sorkin, DP (20 de marzo de 2007). "¿Falla la localidad en escalas de longitud intermedias?". arXiv : gr-qc/0703099 .
12. Benincasa, DMT; Dowker, F. (mayo de 2010). "La curvatura escalar de un conjunto causal". Phys. Rev. Lett . 104 (18): 181301. arXiv : 1001.2725 . Código Bibliográfico :2010PhRvL.104r1301B. doi :10.1103/PhysRevLett.104.181301. PMID  20482164. S2CID  4560654.
13. Surya, S. (julio de 2012). "Evidencia del continuo en la gravedad cuántica de conjuntos causales 2D". Gravedad clásica y cuántica . 29 (13): 132001. arXiv : 1110.6244 . Bibcode :2012CQGra..29m2001S. doi :10.1088/0264-9381/29/13/132001. S2CID  : 118376808.

Lectura adicional

Introducción y reseñas

• L. Bombelli. Página de referencia del conjunto causal (descripción general)
• L. Bombelli. Conjuntos causales: descripción general y estado de situación , charla presentada en Gravedad cuántica en las Américas III, 24-26 de agosto de 2006; (Introducción, descripción general)
• F. Dowker , Conjuntos causales y la estructura profunda del espacio-tiempo , arXiv:gr-qc/0508109; (Introducción)
• F. Dowker , Conjuntos causales como espacio-tiempo discreto , Contemporary Physics, vol. 47, número 1, págs. 1-9; (Descripción general, Introducción)
• F. Dowker, Introducción a los conjuntos causales y su fenomenología , Gen Relativ Gravit (2013) 45:1651–1667 doi:10.1007/s10714-013-1569-y (Resumen de investigaciones recientes)
• J. Henson, El enfoque de los conjuntos causales para la gravedad cuántica , arXiv:gr-qc/0601121; (Introducción, descripción general)
• DD Reid; Introducción a los conjuntos causales: una visión alternativa de la estructura del espacio-tiempo ; Revista Canadiense de Física 79, 1-16 (2001); arXiv:gr-qc/9909075; (General);
• RD Sorkin ; Glosario de conjuntos causales y bibliografía (20 de noviembre de 2001); (Glosario y bibliografía);
• RD Sorkin , Conjuntos causales: Gravedad discreta (Notas para la Escuela de verano de Valdivia) , en Actas de la Escuela de verano de Valdivia, editado por A. Gomberoff y D. Marolf; arXiv:gr-qc/0309009; (Introducción, Glosario)

Cimientos

• L. Bombelli, J. Lee, D. Meyer, RD Sorkin , El espacio-tiempo como un conjunto causal , Phys. Rev. Lett. 59:521-524 (1987); (Introducción, Fundamentos)
• C. Moore, Comentario sobre "El espacio-tiempo como un conjunto causal" , Phys. Rev. Lett. 60, 655 (1988); (Fundamentos)
• L. Bombelli, J. Lee, D. Meyer, RD Sorkin , Bombelli et al. Respuesta , Phys. Rev. Lett. 60, 656 (1988); (Fundamentos)
• A. Einstein , Carta a HS Joachim , 14 de agosto de 1954; Artículo 13-453 citado en J. Stachel, "Einstein y el cuanto: cincuenta años de lucha", en De los quarks a los cuásares, problemas filosóficos de la física moderna, editado por RG Colodny (U. Pittsburgh Press, 1986), páginas 380-381; (Histórico)
• D. Finkelstein , Código espacio-temporal , Phys. Rev. 184:1261 (1969); (Fundamentos)
• D. Finkelstein , Redes causales "superconductoras" , Int. J. Th. Phys 27:473(1988); (Fundamentos)
• G. Hemion, Una teoría cuántica del espacio y el tiempo ; Found. Phys. 10 (1980), pág. 819 (Propuesta similar)
• J. Myrheim, Geometría estadística , preimpresión del CERN TH-2538 (1978); (Fundamentos históricos)
• B. Riemann , Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen , Las obras completas de B. Riemann (Dover NY 1953); (Histórico)
• RD Sorkin ; Un sustituto finitario para la topología continua , Int. J. Theor. Phys. 30 7: 923-947 (1991); (Fundamental)
• RD Sorkin , ¿Existe un orden discreto en el espacio-tiempo y su métrica?, Actas de la Tercera Conferencia Canadiense sobre Relatividad General y Astrofísica Relativista (Victoria, Canadá, mayo de 1989), editado por A. Coley, F. Cooperstock, B. Tupper, págs. 82-86, (World Scientific, 1990); (Introducción)
• RD Sorkin , Primeros pasos con conjuntos causales Archivado el 30 de septiembre de 2013 en Wayback Machine , General Relativity and Gravitational Physics, (Actas de la Novena Conferencia Italiana del mismo nombre, celebrada en Capri, Italia, en septiembre de 1990), 68-90, (World Scientific, Singapur), (1991), R. Cianci, R. de Ritis, M. Francaviglia, G. Marmo, C. Rubano, P. Scudellaro (eds.); (Introducción)
• RD Sorkin , Spacetime and Causal Sets Archivado el 30 de septiembre de 2013 en Wayback Machine , Relatividad y gravitación: clásica y cuántica, (Actas de la VII Conferencia SILARG, celebrada en Cocoyoc, México, en diciembre de 1990), páginas 150-173, (World Scientific, Singapur, 1991), JC D'Olivo, E. Nahmad-Achar, M. Rosenbaum, MP Ryan, LF Urrutia y F. Zertuche (eds.); (Introducción)
• RD Sorkin , Bifurcaciones en el camino, en el camino hacia la gravedad cuántica , charla pronunciada en la conferencia titulada "Direcciones en la relatividad general", celebrada en College Park, Maryland, en mayo de 1993, Int. J. Th. Phys. 36: 2759–2781 (1997); arXiv:gr-qc/9706002; (Filosófica, Introducción)
• G.'t Hooft , Gravedad cuántica: un problema fundamental y algunas ideas radicales , Recent Developments in Gravitation (Actas del Instituto de Verano Cargese de 1978), editado por M. Levy y S. Deser (Plenum, 1979); (Introducción, Fundamentos, Historia)
• EC Zeeman , La causalidad implica el grupo de Lorentz , J. Math. Phys. 5: 490-493; (Historia, Fundamentos)

Tesis doctorales

• L. Bombelli, El espacio-tiempo como conjunto causal , tesis doctoral ( Universidad de Syracuse , 1987); (Introducción, Cinemática)
• AR Daughton; La recuperación de la localidad para conjuntos causales y temas relacionados ; tesis doctoral ( Universidad de Syracuse , 1993); (Localidad)
• D. Dou, Conjuntos causales, una posible interpretación de la entropía de los agujeros negros y temas relacionados ; tesis doctoral ( SISSA , Trieste, 1999); arXiv:gr-qc/0106024 (Entropía de los agujeros negros)
• S. Johnston, Campos cuánticos en conjuntos causales , tesis doctoral ( Imperial College London , 2010) arXiv:1010.5514 (Teoría cuántica de campos)
• DA Meyer, La dimensión de los conjuntos causales , tesis doctoral ( MIT , 1988); (Teoría de la dimensión)
• L. Philpott, Fenomenología de conjuntos causales , tesis doctoral ( Imperial College London , 2010); arXiv:1009.1593 (Swerves, Fenomenología)
• DP Rideout; Dinámica de conjuntos causales ; Tesis doctoral ( Universidad de Syracuse 2001); arXiv:gr-qc/0212064; (Cosmología, Dinámica)
• RB Salgado; Hacia una dinámica cuántica para conjuntos causales ; Tesis doctoral ( Universidad de Syracuse, 2008); (Teoría de campos escalares, Teoría de la medida cuántica)
• R. Sverdlov; Teoría cuántica de campos y gravedad en conjuntos causales ; Tesis doctoral ( Universidad de Michigan 2009); arXiv: 0905.2263 (Teoría cuántica de campos y gravedad)

Negociaciones

• Joe Henson, Una invitación a los conjuntos causales ; charla pronunciada en el Perimeter Institute , 14 de septiembre de 2010, Waterloo, Ontario (Introducción)
• F. Dowker , Fenomenología de conjuntos causales ; charla presentada en Loops 05, del 10 al 14 de octubre de 2005, Potsdam, Instituto Max Planck de Física Gravitacional (Swerves)
• S. Johnston; Propagadores de partículas desde el espacio-tiempo discreto ; Charla pronunciada en el Perimeter Institute el 14 de abril de 2008 (Teoría cuántica de campos)
• DA Meyer; Charla dada en el taller de Santa Fe de 1997: Conjuntos causales y diagramas de Feynman ; Presentada en "Nuevas direcciones en gravedad cuántica simple" del 28 de julio al 8 de agosto de 1997; (Diagramas de Feynman, dinámica cuántica)
• DP Rideout; Hipersuperficies espaciales en la cosmología de conjuntos causales ; charla presentada en Loops 05, del 10 al 14 de octubre de 2005, Potsdam, Instituto Max Planck de Física Gravitacional (Hipersuperficies espaciales, dinámica)
• J. Scargle, Testing Quantum Gravity Theories with GLAST (Prueba de teorías de gravedad cuántica con GLAST) ; charla dada en el Instituto de Física de Partículas de Santa Cruz, 24 de abril de 2007. (Invariancia de Lorentz, Fenomenología)
• RD Sorkin ; Dos charlas dadas en el taller de Santa Fe de 1997: Una revisión del enfoque de conjuntos causales para la gravedad cuántica y ' ; Presentado en "Nuevas direcciones en gravedad cuántica simple" del 28 de julio al 8 de agosto de 1997
• RD Sorkin ; ¿La gravedad cuántica da lugar a una no localidad observable? ; Conferencia dada en el Perimeter Institute el 17/01/2007 (d'Alembertian, Localidad)
• RD Sorkin , Algunas ideas sobre la gravedad cuántica derivadas del trabajo sobre conjuntos causales ; charla pronunciada en Loops 05, del 10 al 14 de octubre de 2005, Potsdam, Instituto Max Planck de Física Gravitacional (descripción general)
• RD Sorkin ¿Es un orden causal pasado-finito la base interna del espacio-tiempo? Conferencia dada en el Perimeter Institute el 09/07/2005
• S. Surya, Recuperación de la topología del espacio-tiempo a partir de una causalidad ; charla presentada en Loops 05, del 10 al 14 de octubre de 2005, Potsdam, Instituto Max Planck de Física Gravitacional (Topología)
• R. Sverdlov; Introducción de campos bosónicos en la teoría de conjuntos causales ; Conferencia pronunciada en el Perimeter Institute el 19/02/2008 (Teoría cuántica de campos)

Variedad

• L. Bombelli, DA Meyer; El origen de la geometría lorentziana ; Phys. Lett. A 141:226-228 (1989); (Variedad)
• L. Bombelli, RD Sorkin , When are Two Lorentzian Metrics close?, Relatividad general y gravitación, actas de la 12.ª Conferencia internacional sobre relatividad general y gravitación, celebrada del 2 al 8 de julio de 1989 en Boulder, Colorado, EE. UU., bajo los auspicios de la Sociedad internacional sobre relatividad general y gravitación, 1989, pág. 220; (Cercanía de las variedades lorentzianas)
• L. Bombelli, Conjuntos causales y cercanía de las variedades lorentzianas , Relatividad en general: actas de la Reunión de Relatividad "93, celebrada del 7 al 10 de septiembre de 1993 en Salas, Asturias, España. Editado por J. Díaz Alonso, M. Lorente Paramo. ISBN 2-86332-168-4 . Publicado por Editions Frontieres, 91192 Gif-sur-Yvette Cedex, Francia, 1994, p. 249; (Cercanía de las variedades lorentzianas) 
• L. Bombelli, Geometría estadística lorentziana y proximidad de las variedades lorentzianas , J. Math. Phys.41:6944-6958 (2000); arXiv:gr-qc/0002053 (Proximidad de las variedades lorentzianas, Variedad)
• AR Daughton, Una investigación del caso simétrico de cuándo los conjuntos causales pueden incorporarse en variedades , Class. Quantum Grav.15(11):3427-3434 (Noviembre, 1998) (Variedad)
• J. Henson, Construcción de un intervalo del espacio de Minkowski a partir de un conjunto causal , Clase. Quantum Grav. 23 (2006) L29-L35; arXiv:gr-qc/0601069; (Límite continuo, Sprinkling)
• S. Major, DP Rideout, S. Surya, Sobre la recuperación de la topología del continuo a partir de un conjunto causal , J.Math.Phys.48:032501, 2007; arXiv:gr-qc/0604124 (Topología del continuo)
• S. Major, DP Rideout, S. Surya; Hipersuperficies espaciales en la cosmología de conjuntos causales ; Clase. Quantum Grav. 23 (2006) 4743-4752; arXiv:gr-qc/0506133v2; (Observables, Topología del continuo)
• S. Major, DP Rideout, S. Surya, Homología estable como indicador de semejanza de variedades en la teoría de conjuntos causales , arXiv:0902.0434 (Topología y homología del continuo)
• DA Meyer, La dimensión de los conjuntos causales I: dimensión de Minkowski , preimpresión de la Universidad de Syracuse (1988); (Teoría de la dimensión)
• DA Meyer, La dimensión de los conjuntos causales II: dimensión de Hausdorff , preimpresión de la Universidad de Syracuse (1988); (Teoría de la dimensión)
• DA Meyer, Contención esférica y la dimensión de Minkowski de órdenes parciales , Order 10: 227-237 (1993); (Teoría de la dimensión)
• J. Noldus, Una nueva topología en el espacio de métricas lorentzianas en una variedad fija , Class. Quant. Grav 19: 6075-6107 (2002); (Cercanía de variedades lorentzianas)
• J. Noldus, Una noción de distancia de Gromov-Hausdorff según Lorentz , Class. Quantum Grav. 21, 839-850, (2004); (Cercanía de variedades lorentzianas)
• DD Reid, Dimensión de variedad de un conjunto causal: Pruebas en espacios-tiempos planos conformes , Phys. Rev. D67 (2003) 024034; arXiv:gr-qc/0207103v2 (Teoría de la dimensión)
• S. Surya, Topología de conjuntos causales ; arXiv:0712.1648

Geometría

• E. Bachmat; Espacio-tiempo discreto y sus aplicaciones ; arXiv:gr-qc/0702140; (Geodésicas, Anticadenas)
• G. Brightwell, R. Gregory; La estructura del espacio-tiempo discreto aleatorio ; Phys. Rev. Lett. 66:260-263 (1991); (Longitud geodésica)
• GW Gibbons , SN Solodukhin; La geometría de los pequeños diamantes causales arXiv:hep-th/0703098 (Intervalos causales)
• SW Hawking , AR King, PJ McCarthy; Una nueva topología para el espacio-tiempo curvo que incorpora las estructuras causal, diferencial y conforme ; J. Math. Phys. 17 2:174-181 (1976); (Geometría, Estructura causal )
• S. He, DP Rideout; Un agujero negro de conjunto causal ; arXiv:0811.4235 (Estructura causal del espacio-tiempo de Schwarzschild, Sprinklings)
• R. Ilie, GB Thompson, DD Reid; Un estudio numérico de la correspondencia entre trayectorias en un conjunto causal y geodésicas en el continuo ; Clase 2006. Quantum Grav. 23 3275-3285 arXiv:gr-qc/0512073(Longitud geodésica)
• AV Levichev; Prescripción de la geometría conforme de una variedad de Lorentz por medio de su estructura causal ; Soviet Math. Dokl. 35:452-455, (1987); (Geometría, Estructura causal )
• Malament, David B. (julio de 1977). "La clase de curvas continuas de tipo temporal determina la topología del espacio-tiempo". Journal of Mathematical Physics . 18 (7): 1399–1404. Bibcode :1977JMP....18.1399M. doi :10.1063/1.523436.
• DP Rideout, P. Wallden; Distancia espacial a partir de un orden causal discreto ; arXiv:0810.1768 (Distancias espaciales)

Predicción de la constante cosmológica

• M. Ahmed, S. Dodelson, PB Greene, RD Sorkin , Lambda siempre presente ; Phys. Rev. D69, 103523, (2004) arXiv:astro-ph/0209274v1; (Constante cosmológica)
• Y. Jack Ng y H. van Dam, Una constante cosmológica pequeña pero distinta de cero ; Int. J. Mod. Phys D. 10: 49 (2001) arXiv:hep-th/9911102v3; (Constante cosmológica previa a la observación)
• Y. Kuznetsov, Sobre la constante cosmológica en la teoría de conjuntos causales ; arXiv:0706.0041
• RD Sorkin , A Modified Sum-Over-Histories for Gravity ; publicado en Highlights in gravitation and cosmology: Proceedings of the International Conference on Gravitation and Cosmology, Goa, India, 14-19 December 1987, editado por BR Iyer, Ajit Kembhavi, Jayant V. Narlikar y CV Vishveshwara ; véanse las páginas 184-186 del artículo de D. Brill y L. Smolin: "Workshop on quantum gravity and new directions", pp 183-191 (Cambridge University Press, Cambridge, 1988); (Constante cosmológica de preobservación)
• RD Sorkin ; On the Role of Time in the Sum-over-histories Framework for Gravity (Sobre el papel del tiempo en el marco de suma de historias para la gravedad ), artículo presentado en la conferencia The History of Modern Gauge Theories (La historia de las teorías de calibración modernas), celebrada en Logan, Utah, en julio de 1987; Int. J. Theor. Phys. 33: 523-534 (1994); (Constante cosmológica de preobservación)
• RD Sorkin , Primeros pasos con conjuntos causales Archivado el 30 de septiembre de 2013 en Wayback Machine , en R. Cianci, R. de Ritis, M. Francaviglia, G. Marmo, C. Rubano, P. Scudellaro (eds.), General Relativity and Gravitational Physics (Actas de la Novena Conferencia Italiana del mismo nombre, celebrada en Capri, Italia, septiembre de 1990), págs. 68-90 (World Scientific, Singapur, 1991); (Constante cosmológica de preobservación)
• RD Sorkin ; Forks in the Road, on the Way to Quantum Gravity , charla dada en la conferencia titulada "Direcciones en la relatividad general", celebrada en College Park, Maryland, en mayo de 1993; Int. J. Th. Phys. 36: 2759–2781 (1997) arXiv:gr-qc/9706002; (Constante cosmológica de preobservación)
• RD Sorkin , Gravedad discreta ; una serie de conferencias para el Primer Taller sobre Física Matemática y Gravitación, celebrado en Oaxtepec, México, en diciembre de 1995 (inédito); (Constante cosmológica previa a la observación)
• RD Sorkin , Las grandes dimensiones adicionales hacen que Lambda sea demasiado pequeña ; arXiv:gr-qc/0503057v1; (Constante cosmológica)
• RD Sorkin , ¿Es la "constante" cosmológica un residuo cuántico no local de discreción del tipo de conjunto causal? ; Actas de la Conferencia PASCOS-07, julio de 2007, Imperial College London; arXiv:0710.1675; (Constante cosmológica)
• J. Zuntz, El CMB en un universo de conjuntos causales , arXiv:0711.2904 (CMB)

Invariancia de Lorentz y Poincaré, fenomenología

• L. Bombelli, J. Henson, RD Sorkin ; Discreción sin ruptura de simetría: un teorema ; arXiv:gr-qc/0605006v1; (Invariancia de Lorentz, Sprinkling)
• F. Dowker , J. Henson, RD Sorkin , Fenomenología de la gravedad cuántica, invariancia de Lorentz y discreción ; Mod. Phys. Lett. A19, 1829–1840, (2004) arXiv:gr-qc/0311055v3; (Invariancia de Lorentz, Fenomenología, Desvíos)
• F. Dowker , J. Henson, RD Sorkin , Discreción y transmisión de luz desde fuentes distantes ; arXiv:1009.3058 (Coherencia de la luz, Fenomenología)
• J. Henson, Observables macroscópicos y violación de Lorentz en gravedad cuántica discreta ; arXiv:gr-qc/0604040v1; (Invariancia de Lorentz, Fenomenología)
• N. Kaloper, D. Mattingly, Límites de baja energía en la violación de Poincaré en la teoría de conjuntos causales ; Phys. Rev. D 74, 106001 (2006) arXiv:astro-ph/0607485 (Invariancia de Poincaré, Fenomenología)
• D. Mattingly, Conjuntos causales y leyes de conservación en pruebas de simetría de Lorentz ; Phys. Rev. D 77, 125021 (2008) arXiv:0709.0539 (Invariancia de Lorentz, Fenomenología)
• L. Philpott, F. Dowker , RD Sorkin , Difusión de energía-momento a partir de la discreción del espacio-tiempo ; arXiv:0810.5591 (Fenomenología, Desvíos)

La entropía del agujero negro en la teoría de conjuntos causales

• D. Dou, La entropía de los agujeros negros como vínculos causales ; Fnd. of Phys, 33 2:279-296(18) (2003); arXiv:gr-qc/0302009v1 (Entropía de los agujeros negros)
• DP Rideout, S. Zohren, Conteo de entropía en la gravedad cuántica de conjuntos causales ; arXiv:gr-qc/0612074v1; (Entropía de agujero negro)
• DP Rideout, S. Zohren, Evidencia de un límite de entropía a partir de la gravedad fundamentalmente discreta ; Clase. Quantum Grav. 23 (2006) 6195-6213; arXiv:gr-qc/0606065v2 (Entropía de agujero negro)

Teoría de localidad y cuántica de campos

• G. Hemion, Una geometría discreta: especulaciones sobre un nuevo marco para la electrodinámica clásica ; Int. J. Theor. Phys. 27 (1988), pág. 1145 (Electrodinámica clásica)
• S. Johnston; Propagadores de partículas en el espacio-tiempo discreto ; Clase 2008. Quantum Grav. 25 202001; arXiv:0806.3083 (Teoría cuántica de campos)
• S. Johnston; El propagador de Feynman para un campo escalar libre en un conjunto causal ; Phys. Rev. Lett. 103, 180401 (2009); arXiv:0909.0944 (Teoría cuántica de campos)
• RD Sorkin ; ¿La localidad falla en escalas de longitud intermedias ? ; Hacia la gravedad cuántica, Daniele Oriti (ed.) (Cambridge University Press, 2007); arXiv:gr-qc/0703099v1; (d'Alembertian, Localidad)
• R. Sverdlov, L. Bombelli; Gravedad y materia en la teoría de conjuntos causales ; arXiv:0801.0240
• R. Sverdlov; Una descripción geométrica de los campos de espinores ; arXiv:0802.1914
• R. Sverdlov; Campos bosónicos en la teoría de conjuntos causales ; arXiv:0807.4709
• R. Sverdlov; Campos de calibración en la teoría de conjuntos causales ; arXiv:0807.2066
• R. Sverdlov; Campos de espinores en la teoría de conjuntos causales ; arXiv:0808.2956

Dinámica de conjuntos causales

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• A. Ash, P. McDonald, Problemas de momento y el enfoque de conjuntos causales para la gravedad cuántica ; J. Math. Phys. 44 (2003) 1666-1678; arXiv:gr-qc/0209020
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• DMT Benincasa, F. Dowker , La curvatura escalar de un conjunto causal ; arXiv:1001.2725; (Curvatura escalar, acciones)
• G. Brightwell; M. Luczak ; Medidas invariantes de orden en conjuntos causales ; arXiv:0901.0240; (Medidas en conjuntos causales)
• G. Brightwell; M. Luczak ; Medidas invariantes de orden en conjuntos causales fijos ; arXiv:0901.0242; (Medidas en conjuntos causales)
• G. Brightwell, HF Dowker , RS Garcia, J. Henson, RD Sorkin ; Covarianza general y el "problema del tiempo" en una cosmología discreta ; En ed. K. Bowden, Correlations:Proceedings of the ANPA 23 conference, August 16–21, 2001, Cambridge, England, pp. 1–17. Alternative Natural Philosophy Association, (2002).;arXiv:gr-qc/0202097; (Cosmología, dinámica, observables)
• G. Brightwell, HF Dowker , RS Garcia, J. Henson, RD Sorkin ; "Observables" en la cosmología de conjuntos causales ; Phys. Rev. D67, 084031, (2003); arXiv:gr-qc/0210061; (Cosmología, dinámica, observables)
• G. Brightwell, J. Henson, S. Surya; Un modelo 2D de la gravedad cuántica de conjuntos causales: el surgimiento del continuo ; arXiv:0706.0375; (Dinámica cuántica, modelo de juguete)
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• A. Criscuolo, H. Waelbroeck; Dinámica de conjuntos causales: un modelo de juguete ; Clase. Quantum Grav.16:1817-1832 (1999); arXiv:gr-qc/9811088; (Dinámica cuántica, modelo de juguete)
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• DA Meyer; Modelos de Ising del espacio-tiempo ; (Preimpresión de la UCSD, mayo de 1993); (Dinámica cuántica)
• DA Meyer; ¿Por qué hacen tictac los relojes? ; Relatividad general y gravitación 25 9:893-900;; (Dinámica cuántica)
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• DP Rideout, RD Sorkin ; Evidencia de un límite continuo en la dinámica de conjuntos causales Phys. Rev. D 63:104011, 2001; arXiv:gr-qc/0003117(Cosmología, Dinámica)
• RD Sorkin ; Indicaciones de la cosmología de conjuntos causales ; Int. J. Theor. Ph. 39(7):1731-1736 (2000); arXiv:gr-qc/0003043; (Cosmología, Dinámica)
• RD Sorkin ; La teoría de la relatividad no implica que el futuro ya exista: un contraejemplo ; Relatividad y la dimensionalidad del mundo, Vesselin Petkov (ed.) (Springer 2007, en prensa); arXiv:gr-qc/0703098v1; (Dinámica, Filosofía)
• M. Varadarajan, DP Rideout; Una solución general para la dinámica clásica de crecimiento secuencial de conjuntos causales ; Phys. Rev. D 73 (2006) 104021; arXiv:gr-qc/0504066v3; (Cosmología, Dinámica)
• MR, Khoshbin-e-Khoshnazar (2013). "Energía de enlace del universo muy temprano: abandonando a Einstein en favor de un conjunto de tres toros discretizados. Una propuesta sobre el origen de la energía oscura". Gravitación y cosmología . 19 (2): 106–113. Bibcode :2013GrCo...19..106K. doi :10.1134/s0202289313020059. S2CID  121288092.;(Dinámica, Poset)

Enlaces externos

• El enfoque de los conjuntos causales para la gravedad cuántica: un artículo de revisión de Joe Henson sobre los conjuntos causales
• El espacio-tiempo como conjunto causal: uno de los primeros artículos de Luca Bombelli, Joohan Lee, David Meyer y Rafael D. Sorkin
• Geometría a partir del orden: conjuntos causales - artículo no técnico de Rafael D. Sorkin en Einstein Online
• Número de enfoque: El enfoque del conjunto causal para la gravedad cuántica Gravedad clásica y cuántica Vol. 35, 2018