numero poderoso

Números cuyos factores primos dividen al número más de una vez

${\displaystyle {\begin{aligned}144000&=2^{7}\times 3^{2}\times 5^{3}\\&=2^{3}\times 2^{4}\times 3^{2}\times 5^{3}\\&=(2\times 5)^{3}\times (2^{2}\times 3)^{2}\end{aligned}}}$

144000 es un número poderoso.
Cada exponente en su factorización prima es mayor que 1.
Es el producto de un cuadrado y un cubo.

Un número poderoso es un entero positivo m tal que por cada número primo p que divide a m , p ² también divide a m . De manera equivalente, un número poderoso es el producto de un cuadrado y un cubo , es decir, un número m de la forma m = a ² b ³ , donde a y b son números enteros positivos. Los números poderosos también se conocen como cuadrado lleno , cuadrado lleno o 2 lleno . Paul Erdős y George Szekeres estudiaron tales números y Solomon W. Golomb los nombró poderosos .

La siguiente es una lista de todos los números poderosos entre 1 y 1000:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 0, 961, 968, 972, 1000, ... (secuencia A001694 en el OEIS ).

Equivalencia de las dos definiciones

Si m = a ² b ³ , entonces todo primo en la factorización prima de a aparece en la factorización prima de m con un exponente de al menos dos, y todo primo en la factorización prima de b aparece en la factorización prima de m con un exponente de al menos tres; por tanto, m es poderoso.

En la otra dirección, supongamos que m es poderoso, con factorización prima

${\displaystyle m=\prod p_{i}^{\alpha _{i}},}$

donde cada α _i ≥ 2. Defina γ _i como tres si α _i es impar, y cero en caso contrario, y defina β _i = α _i − γ _i . Entonces, todos los valores β _i son enteros pares no negativos, y todos los valores γ _i son cero o tres, entonces

${\displaystyle m=\left(\prod p_{i}^{\beta _{i}}\right)\left(\prod p_{i}^{\gamma _{i}}\right)=\left(\prod p_{i}^{\beta _{i}/2}\right)^{2}\left(\prod p_{i}^{\gamma _{i}/3}\right)^{3}}$

proporciona la representación deseada de m como producto de un cuadrado y un cubo.

De manera informal, dada la factorización prima de m , tome b como el producto de los factores primos de m que tienen un exponente impar (si no hay ninguno, entonces tome b como 1). Como m es potente, cada factor primo con un exponente impar tiene un exponente que es al menos 3, por lo que m / b ³ es un número entero. Además, cada factor primo de m / b ³ tiene un exponente par, por lo que m / b ³ es un cuadrado perfecto, así que llámelo a ² ; entonces m = a ² b ³ . Por ejemplo:

${\displaystyle m=21600=2^{5}\times 3^{3}\times 5^{2}\,,}$

${\displaystyle b=2\times 3=6\,,}$

${\displaystyle a={\sqrt {\frac {m}{b^{3}}}}={\sqrt {2^{2}\times 5^{2}}}=10\,,}$

${\displaystyle m=a^{2}b^{3}=10^{2}\times 6^{3}\,.}$

La representación m = a ² b ³ calculada de esta manera tiene la propiedad de que b no tiene cuadrados y está definida de forma única por esta propiedad.

Propiedades matemáticas

La suma de los recíprocos de los números poderosos converge. El valor de esta suma se puede escribir de varias otras formas, incluso como el producto infinito

${\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)=1.9435964368...,}$

donde p recorre todos los números primos, ζ( s ) denota la función zeta de Riemann y ζ (3) es la constante de Apéry . ^[1] (secuencia A082695 en la OEIS ) De manera más general, la suma de los recíprocos de las s ésimas potencias de los números poderosos (una función generadora de series de Dirichlet ) es igual a

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)\zeta (3s)}{\zeta (6s)}}}$

siempre que converge.

Sea k ( x ) el número de números poderosos en el intervalo [1, x ]. Entonces k ( x ) es proporcional a la raíz cuadrada de x . Más precisamente,

${\displaystyle cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2.173\ldots }$

(Golomb, 1970).

Los dos números poderosos consecutivos más pequeños son 8 y 9. Dado que la ecuación de Pell x ² − 8 y ² = 1 tiene infinitas soluciones integrales, hay infinitos pares de números poderosos consecutivos (Golomb, 1970); De manera más general, se pueden encontrar números poderosos consecutivos resolviendo una ecuación de Pell similar x ² − ny ² = ±1 para cualquier cubo perfecto n . Sin embargo, uno de los dos números poderosos de un par formado de esta manera debe ser un cuadrado. Según Guy, Erdős ha preguntado si hay infinitos pares de números poderosos consecutivos como (23 ³ , 2 ³ 3 ² 13 ² ) en los que ninguno de los números del par es un cuadrado. Walker (1976) demostró que, de hecho, existen infinitos pares de este tipo al demostrar que 3 ³ c ² + 1 = 7 ³ d ² tiene infinitas soluciones. Las soluciones de Walker a esta ecuación se generan, para cualquier entero impar k , considerando el número

${\displaystyle (2{\sqrt {7}}+3{\sqrt {3}})^{7k}=a{\sqrt {7}}+b{\sqrt {3}},}$

para números enteros a divisible por 7 y b divisible por 3, y construyendo a partir de a y b los poderosos números consecutivos 7 a ² y 3 b ² con 7 a ² = 1 + 3 b ² . El par consecutivo más pequeño de esta familia se genera para k = 1 , a = 2637362 y b = 4028637 como

${\displaystyle 7\cdot 2637362^{2}=2^{2}\cdot 7^{3}\cdot 13^{2}\cdot 43^{2}\cdot 337^{2}=48689748233308}$

y

${\displaystyle 3\cdot 4028637^{2}=3^{3}\cdot 139^{2}\cdot 9661^{2}=48689748233307.}$

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Pueden ser poderosos tres números consecutivos?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Es una conjetura de Erdős, Mollin y Walsh que no hay tres números poderosos consecutivos. Si existe un triplete de números poderosos consecutivos, entonces su término más pequeño debe ser congruente con 7, 27 o 35 módulo 36. ^[2]

Si la conjetura abc es cierta, sólo hay un número finito de conjuntos de tres números Poderosos consecutivos.

Sumas y diferencias de números poderosos.

Cualquier número impar es una diferencia de dos cuadrados consecutivos: ( k + 1) ² = k ² + 2 k + 1, entonces ( k + 1) ²  −  k ² = 2 k + 1. De manera similar, cualquier múltiplo de cuatro es un diferencia de los cuadrados de dos números que se diferencian en dos: ( k + 2) ²  −  k ² = 4 k + 4. Sin embargo, un número simplemente par , es decir, un número divisible por dos pero no por cuatro, no se puede expresar como diferencia de cuadrados. Esto motiva la cuestión de determinar qué números pares pueden expresarse como diferencias de números poderosos. Golomb exhibió algunas representaciones de este tipo:

2 = 3 ³  − 5 ²

10 = 13 ³  - 3 ⁷

18 = 19 ²  - 7 ³ = 3 ⁵  - 15 ² .

Se ha conjeturado que 6 no puede representarse así, y Golomb conjeturó que hay infinitos números enteros que no pueden representarse como una diferencia entre dos números poderosos. Sin embargo, Narkiewicz demostró que 6 se puede representar de infinitas maneras, como por ejemplo

6 = 5 ⁴ 7 ³  − 463 ² ,

y McDaniel demostró que cada número entero tiene infinitas representaciones de este tipo (McDaniel, 1982).

Erdős conjeturó que todo número entero suficientemente grande es una suma de como máximo tres números poderosos; esto fue demostrado por Roger Heath-Brown (1987).

Generalización

De manera más general, podemos considerar los números enteros cuyos factores primos tienen exponentes al menos k . Tal número entero se llama k -número poderoso, k -número completo o k -número completo.

(2 ^{k +1}  − 1) ^k , 2 ^k (2 ^{k +1}  − 1) ^k , (2 ^{k +1}  − 1) ^{k +1}

son k -números potentes en una progresión aritmética . Además, si a ₁ , a ₂ , ..., a _s son k -poderosos en una progresión aritmética con diferencia común d , entonces

un ₁ ( un _s + d ) ^k ,  

a ₂ ( a _s  +  d ) ^k , ..., a _s ( a _s  +  d ) ^k , ( a _s  + d ) ^{k +1}

son s + 1 k -números poderosos en una progresión aritmética.

Tenemos una identidad que involucra k -números poderosos:

a ^k ( a ^l + ... + 1) ^k + a ^{k + 1} ( a ^l + ... + 1) ^k + ... + a ^{k + l} ( a ^l + ... + 1) ^k = a ^k ( a ^l + ... +1 ) ^{k +1} .

Esto da infinitas l +1-tuplas de k -números poderosos cuya suma también es k -poderosa. Nitaj muestra que hay infinitas soluciones de x + y = z en números 3-potentes relativamente primos (Nitaj, 1995). Cohn construye una familia infinita de soluciones de x + y = z en números tripotentes no cúbicos relativamente primos de la siguiente manera: el triplete

X = 9712247684771506604963490444281, Y = 32295800804958334401937923416351, Z = 27474621855216870941749052236511

es una solución de la ecuación 32 X ³ + 49 Y ³ = 81 Z ³ . Podemos construir otra solución estableciendo X ′ = X (49 Y ³  + 81 Z ³ ), Y ′ = − Y (32 X ³  + 81 Z ³ ), Z ′ = Z (32 X ³  − 49 Y ³ ) y omitiendo el divisor común.

Ver también

• numero de aquiles
• Número muy poderoso

Notas

1. (Golomb, 1970)
2. Haz señas, Edward (2019). "Sobre tripletas consecutivas de números poderosos". Revista de matemáticas de pregrado Rose-Hulman . 20 (2): 25-27.

Referencias

• Cohn, JHE (1998). "Una conjetura de Erdős sobre 3 números poderosos". Matemáticas. comp . 67 (221): 439–440. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00881-3 .
• Erdős, Paul y Szekeres, George (1934). "Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem". Acta lit. Ciencia. Szeged . 7 : 95-102.
• Golomb, Salomón W. (1970). "Números poderosos". Mensual Matemático Estadounidense . 77 (8): 848–852. doi :10.2307/2317020. JSTOR  2317020.
• Chico, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.). Springer-Verlag. Sección B16. ISBN 978-0-387-20860-2.
• Heath-Brown, Roger (1988). "Formas cuadráticas ternarias y sumas de tres números cuadrados completos". Séminaire de Théorie des Nombres, París, 1986-7 . Boston: Birkhäuser. págs. 137-163.
• Heath-Brown, Roger (1990). "Sumas de tres números cuadrados completos". Teoría de números, I (Budapest, 1987) . Coloq. Matemáticas. Soc. János Bolyai, no. 51, págs. 163-171.
• Ivić, Aleksandar (1985). La función zeta de Riemann. La teoría de la función zeta de Riemann con aplicaciones . Una publicación de Wiley-Interscience. Nueva York, etc.: John Wiley & Sons. págs. 33–34, 407–413. ISBN 978-0-471-80634-9. Zbl  0556.10026.
• McDaniel, Wayne L. (1982). "Representaciones de todo número entero como diferencia de números poderosos". Fibonacci trimestral . 20 : 85–87.
• Nitaj, Abderrahmane (1995). "Sobre una conjetura de Erdős sobre 3 números poderosos". Toro. Matemáticas de Londres. Soc. 27 (4): 317–318. CiteSeerX  10.1.1.24.563 . doi :10.1112/blms/27.4.317.
• Walker, David T. (1976). "Pares enteros consecutivos de números potentes y ecuaciones diofánticas relacionadas" (PDF) . El Fibonacci trimestral . 14 (2): 111-116. SEÑOR  0409348.

enlaces externos

• Número completo y potente en la Enciclopedia de Matemáticas .
• Weisstein, Eric W. "Número poderoso". MundoMatemático .
• La conjetura abc
• Secuencia OEIS A060355 (Números n tales que n y n+1 son un par de números poderosos consecutivos)