Conjetura de Bogomolov

En matemáticas , la conjetura de Bogomolov es una conjetura, llamada así en honor a Fedor Bogomolov , en geometría aritmética sobre curvas algebraicas que generaliza la conjetura de Manin-Mumford en geometría aritmética . La conjetura fue probada por Emmanuel Ullmo y Shou-Wu Zhang en 1998 utilizando la teoría de Arakelov . Zhang también demostró en 1998 una mayor generalización a las variedades abelianas generales.

Declaración

Sea C una curva algebraica de género g al menos dos definida sobre un campo numérico K , denotemos la clausura algebraica de K , fijemos una incrustación de C en su variedad jacobiana J , y denotemos la altura de Néron-Tate en J asociada a un divisor simétrico amplio . Entonces existe tal que el conjunto ${\displaystyle {\overline {K}}}$ ${\displaystyle {\hat {h}}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \{P\in C({\overline {K}}):{\hat {h}}(P)<\epsilon \}}$   es finito.

Dado que si y sólo si P es un punto de torsión , la conjetura de Bogomolov generaliza la conjetura de Manin-Mumford . ${\displaystyle {\hat {h}}(P)=0}$

Prueba

La conjetura original de Bogomolov fue demostrada por Emmanuel Ullmo y Shou-Wu Zhang utilizando la teoría de Arakelov en 1998. ^{[1] [2]}

Generalización

En 1998, Zhang demostró la siguiente generalización: ^[2]

Sea A una variedad abeliana definida sobre K , y sea la altura de Néron-Tate sobre A asociada a un divisor simétrico amplio. Una subvariedad se llama subvariedad de torsión si es la traducción de una subvariedad abeliana de A por un punto de torsión. Si X no es una subvariedad de torsión, entonces existe una tal que el conjunto ${\displaystyle {\hat {h}}}$ ${\displaystyle X\subset A}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \{P\in X({\overline {K}}):{\hat {h}}(P)<\epsilon \}}$   ¿No es Zariski denso en X ?

Referencias

1. Ullmo, Emmanuel (1998), "Positivité et Discrétion des Points Algébriques des Courbes", Annals of Mathematics , 147 (1): 167–179, arXiv : alg-geom/9606017 , doi :10.2307/120987, Zbl  0934.14013.
2. Zhang, S.-W. (1998), "Equidistribución de pequeños puntos en variedades abelianas", Annals of Mathematics , 147 (1): 159–165, doi :10.2307/120986

Otras fuentes

• Chambert-Loir, Antoine (2013). "Geometría diofántica y espacios analíticos". En Amini, Omid; Panadero, Mateo; Faber, Xander (eds.). Geometría tropical y no arquimediana. Taller de Bellairs sobre teoría de números, geometría tropical y no arquimediana, Instituto de Investigación Bellairs, Holetown, Barbados, EE. UU., 6 al 13 de mayo de 2011 . Matemáticas Contemporáneas. vol. 605. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 161-179. ISBN 978-1-4704-1021-6. Zbl  1281.14002.

Otras lecturas

• La conjetura de Manin-Mumford: un breve estudio, por Pavlos Tzermias