En teoría de conjuntos , la lógica Ω es una lógica infinita y un sistema deductivo propuesto por W. Hugh Woodin (1999) como parte de un intento de generalizar la teoría de la determinación de clases de puntos para cubrir la estructura . Así como el axioma de la determinación proyectiva produce una teoría canónica de , buscó encontrar axiomas que dieran una teoría canónica para la estructura más amplia. La teoría que desarrolló implica un argumento controvertido de que la hipótesis del continuo es falsa.
La conjetura Ω de Woodin afirma que si existe una clase adecuada de cardinales de Woodin (por razones técnicas, la mayoría de los resultados de la teoría se expresan más fácilmente bajo este supuesto), entonces la lógica Ω satisface un análogo del teorema de completitud . A partir de esta conjetura, se puede demostrar que, si existe un axioma único que sea integral (en lógica Ω), debe implicar que el continuo no lo es . Woodin también aisló un axioma específico, una variación del máximo de Martin , que establece que cualquier oración Ω-consistente (sobre ) es verdadera; este axioma implica que el continuo es .
Woodin también relacionó su conjetura Ω con una definición abstracta propuesta de cardinales grandes: tomó una "propiedad cardinal grande" como una propiedad de los ordinales, lo que implica que α es un inaccesible fuerte y que es invariante bajo la fuerza de conjuntos de cardinales menos. que α. Entonces la conjetura Ω implica que si hay modelos arbitrariamente grandes que contienen un cardenal grande, este hecho será demostrable en lógica Ω.
La teoría implica una definición de validez Ω : un enunciado es una consecuencia válida Ω de una teoría de conjuntos T si se cumple en todo modelo de T que tenga la forma para alguna noción ordinal y forzada . Esta noción se conserva claramente bajo forzado, y en presencia de una clase adecuada de cardinales de Woodin también será invariante bajo forzado (en otras palabras, la satisfacibilidad Ω también se conserva bajo forzado). También existe una noción de Ω-demostrabilidad ; [1] aquí las "pruebas" consisten universalmente en conjuntos de Baire y se verifican verificando que para cada modelo transitivo contable de la teoría, y cada noción forzada en el modelo, la extensión genérica del modelo (calculada en V ) contiene la "prueba", restringida a sus propios reales. Para un conjunto de prueba A, la condición que se comprobará aquí se denomina " A cerrado". Se puede dar una medida de complejidad de las pruebas por sus rangos en la jerarquía Wadge . Woodin demostró que esta noción de "demostrabilidad" implica validez Ω para oraciones superiores a V. La conjetura Ω establece que lo contrario de este resultado también se cumple. En todos los modelos básicos conocidos actualmente , se sabe que esto es cierto; además, la fuerza de consistencia de los cardenales grandes corresponde al rango de prueba mínimo requerido para "probar" la existencia de los cardenales.
