En la teoría de variedades suaves , una congruencia es el conjunto de curvas integrales definidas por un campo vectorial no nulo definido en la variedad.
Las congruencias son un concepto importante en la relatividad general y también son importantes en partes de la geometría de Riemann .
La idea de una congruencia probablemente se explica mejor con un ejemplo que con una definición. Consideremos la variedad suave R² . Los campos vectoriales se pueden especificar como operadores diferenciales parciales lineales de primer orden , como
Estas corresponden a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden , en este caso
donde punto denota una derivada con respecto a algún parámetro (ficticio). Las soluciones de tales sistemas son familias de curvas parametrizadas , en este caso
Esta familia es lo que a menudo se llama una congruencia de curvas , o simplemente congruencia para abreviar.
Este ejemplo en particular tiene dos singularidades , donde el campo vectorial se anula. Estos son puntos fijos del flujo . (Un flujo es un grupo unidimensional de difeomorfismos ; un flujo define una acción por el grupo de Lie unidimensional R , que tiene propiedades geométricas localmente agradables). Estas dos singularidades corresponden a dos puntos , en lugar de dos curvas. En este ejemplo, las otras curvas integrales son todas curvas cerradas simples . Muchos flujos son considerablemente más complicados que esto. Para evitar complicaciones que surgen de la presencia de singularidades, generalmente se requiere que el campo vectorial no se anule .
Si añadimos más estructura matemática, nuestra congruencia puede adquirir un nuevo significado.
Por ejemplo, si convertimos nuestra variedad suave en una variedad riemanniana añadiendo un tensor métrico riemanniano , digamos el definido por el elemento de línea
Nuestra congruencia podría convertirse en una congruencia geodésica . De hecho, en el ejemplo de la sección anterior, nuestras curvas se convierten en geodésicas sobre una esfera redonda común (sin el polo norte). Si hubiéramos añadido la métrica euclidiana estándar , nuestras curvas se habrían convertido en círculos , pero no en geodésicas.
Un ejemplo interesante de una congruencia geodésica de Riemann, relacionada con nuestro primer ejemplo, es la congruencia de Clifford en P³, que también se conoce como fibrado de Hopf o fibración de Hopf . Las curvas integrales o fibras respectivamente son ciertos círculos máximos enlazados por pares , las órbitas en el espacio de cuaterniones de norma unitaria bajo multiplicación por la izquierda por un cuaternión unitario dado de norma unitaria.
En una variedad lorentziana , como un modelo de espacio-tiempo en relatividad general (que normalmente será una solución exacta o aproximada a la ecuación de campo de Einstein ), las congruencias se denominan temporales , nulas o espaciales si los vectores tangentes son en todas partes temporales, nulos o espaciales respectivamente. Una congruencia se denomina congruencia geodésica si el campo de vectores tangente tiene derivada covariante nula , .
