Anillo de composición

En matemáticas , un anillo de composición , introducido en (Adler 1962), es un anillo conmutativo ( R , 0, +, −, ·), posiblemente sin una identidad 1 (ver anillo no unitario ), junto con una operación

${\displaystyle \circ :R\times R\rightarrow R}$

de manera que, para cualesquiera tres elementos, se tiene ${\displaystyle f,g,h\in R}$

1. ${\displaystyle (f+g)\circ h=(f\circ h)+(g\circ h)}$
2. ${\displaystyle (f\cdot g)\circ h=(f\circ h)\cdot (g\circ h)}$
3. ${\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h).}$

No suele ser el caso que , ni tampoco suele ser el caso que (o ) tenga alguna relación algebraica con y . ${\displaystyle f\circ g=g\circ f}$ ${\displaystyle f\circ (g+h)}$ ${\displaystyle f\circ (g\cdot h)}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle f\circ h}$

Ejemplos

Hay algunas maneras de convertir un anillo conmutativo R en un anillo de composición sin introducir nada nuevo.

• La composición puede definirse como para todo f , g . El anillo de composición resultante es bastante poco interesante. ${\displaystyle f\circ g=0}$
• La composición puede definirse por para todo f , g . Esta es la regla de composición para funciones constantes. ${\displaystyle f\circ g=f}$
• Si R es un anillo booleano , entonces la multiplicación puede duplicarse como composición: para todo f , g . ${\displaystyle f\circ g=fg}$

Se pueden formar ejemplos más interesantes definiendo una composición en otro anillo construido a partir de R.

• El anillo polinomial R [ X ] es un anillo de composición donde para todo . ${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))}$ ${\displaystyle f,g\in R}$
• El anillo de series de potencias formales R [[ X ]] también tiene una operación de sustitución, pero sólo está definida si la serie g que se sustituye tiene un término constante cero (en caso contrario, el término constante del resultado vendría dado por una serie infinita con coeficientes arbitrarios). Por lo tanto, el subconjunto de R [[ X ]] formado por series de potencias con coeficiente constante cero puede convertirse en un anillo de composición con composición dada por la misma regla de sustitución que para los polinomios. Como no hay series constantes distintas de cero, este anillo de composición no tiene una unidad multiplicativa.
• Si R es un dominio integral, el campo R ( X ) de funciones racionales también tiene una operación de sustitución derivada de la de los polinomios: sustituyendo una fracción g ₁ / g ₂ por X en un polinomio de grado n se obtiene una función racional con denominador , y sustituyendo en una fracción se obtiene ${\displaystyle g_{2}^{n}}$

${\displaystyle {\frac {f_{1}}{f_{2}}}\circ g={\frac {f_{1}\circ g}{f_{2}\circ g}}.}$

Sin embargo, como en el caso de las series de potencias formales, la composición no siempre se puede definir cuando el operando derecho g es una constante: en la fórmula dada, el denominador no debe ser idénticamente cero. Por lo tanto, se debe restringir a un subanillo de R ( X ) para tener una operación de composición bien definida; un subanillo adecuado está dado por las funciones racionales cuyo numerador tiene un término constante cero, pero el denominador tiene un término constante distinto de cero. Nuevamente, este anillo de composición no tiene unidad multiplicativa; si R es un cuerpo, es de hecho un subanillo del ejemplo de serie de potencias formales. ${\displaystyle f_{2}\circ g}$

• El conjunto de todas las funciones de R a R bajo suma y multiplicación puntuales, y con composición de funciones, es un anillo de composición. Existen numerosas variaciones de esta idea, como el anillo de funciones continuas, suaves, holomorfas o polinómicas desde un anillo hasta sí mismo, cuando estos conceptos tienen sentido. ${\displaystyle \circ }$

Como ejemplo concreto, tomemos el anillo , considerado como el anillo de aplicaciones polinómicas de los enteros a sí mismo. Un endomorfismo de anillo ${\displaystyle {\mathbb {Z} }[x]}$

${\displaystyle F:{\mathbb {Z} }[x]\rightarrow {\mathbb {Z} }[x]}$

de está determinada por la imagen debajo de la variable , que denotamos por ${\displaystyle {\mathbb {Z} }[x]}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f=F(x)}$

y esta imagen puede ser cualquier elemento de . Por lo tanto, se pueden considerar los elementos como endomorfismos y asignar , en consecuencia. Se verifica fácilmente que satisface los axiomas anteriores. Por ejemplo, se tiene ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }[x]}$ ${\displaystyle f\in {\mathbb {Z} }[x]}$ ${\displaystyle \circ :{\mathbb {Z} }[x]\times {\mathbb {Z} }[x]\rightarrow {\mathbb {Z} }[x]}$ ${\displaystyle {\mathbb {Z} }[x]}$

${\displaystyle (x^{2}+3x+5)\circ (x-2)=(x-2)^{2}+3(x-2)+5=x^{2}-x+3.}$

Este ejemplo es isomorfo al ejemplo dado para R [ X ] con R igual a , y también al subanillo de todas las funciones formadas por las funciones polinomiales. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$

Véase también

• Operador de composición
• Descomposición polinómica
• Matriz de Carleman

Referencias

• Adler, Irving (1962), "Anillos de composición", Duke Mathematical Journal , 29 (4): 607–623, doi :10.1215/S0012-7094-62-02961-7, ISSN  0012-7094, MR  0142573