Grupo de Lie complejo

Grupo de Lie cuya variedad es compleja y cuya operación de grupo es holomorfa

En geometría , un grupo de Lie complejo es un grupo de Lie sobre los números complejos; es decir, es una variedad analítica compleja que también es un grupo de tal manera que es holomorfo . Ejemplos básicos son , los grupos lineales generales sobre los números complejos . Un grupo de Lie complejo compacto conexo es precisamente un toro complejo (que no debe confundirse con el grupo de Lie complejo ). A cualquier grupo finito se le puede dar la estructura de un grupo de Lie complejo. Un grupo de Lie complejo semisimple es un grupo algebraico lineal . ${\displaystyle G\times G\to G,(x,y)\mapsto xy^{-1}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

El álgebra de Lie de un grupo de Lie complejo es un álgebra de Lie compleja .

Ejemplos

• Un espacio vectorial de dimensión finita sobre números complejos (en particular, álgebra de Lie compleja) es un grupo de Lie complejo de manera obvia.
• Un grupo de Lie complejo compacto conexo A de dimensión g tiene la forma , un toro complejo , donde L es un subgrupo discreto de rango 2g. De hecho, se puede demostrar que su álgebra de Lie es abeliana y, por lo tanto, es un morfismo sobreyectivo de grupos de Lie complejos, lo que demuestra que A tiene la forma descrita. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}/L}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle \operatorname {exp} :{\mathfrak {a}}\to A}$
• ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} ^{*},z\mapsto e^{z}}$es un ejemplo de un homomorfismo sobreyectivo de grupos de Lie complejos que no proviene de un morfismo de grupos algebraicos. Como , este es también un ejemplo de una representación de un grupo de Lie complejo que no es algebraico. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\operatorname {GL} _{1}(\mathbb {C} )}$
• Sea X una variedad compleja compacta. Entonces, de manera análoga al caso real, existe un grupo de Lie complejo cuya álgebra de Lie es el espacio de campos vectoriales holomorfos en X:. ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$ ${\displaystyle \Gamma (X,TX)}$
• Sea K un grupo de Lie compacto conexo . Entonces existe un único grupo de Lie complejo conexo G tal que (i) , y (ii) K es un subgrupo compacto maximalista de G . Se denomina complejización de K . Por ejemplo, es la complejización del grupo unitario . Si K actúa sobre una variedad de Kähler compacta X , entonces la acción de K se extiende a la de G . ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\operatorname {Lie} (K)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$

Grupo algebraico lineal asociado a un grupo de Lie semisimple complejo

Sea G un grupo de Lie semisimple complejo. Entonces G admite una estructura natural de un grupo algebraico lineal como sigue: ^[2] sea el anillo de funciones holomorfas f en G tal que genera un espacio vectorial de dimensión finita dentro del anillo de funciones holomorfas en G (aquí G actúa por traslación izquierda: ). Entonces es el grupo algebraico lineal que, cuando se ve como una variedad compleja, es el G original . Más concretamente, elija una representación fiel de G. Entonces es Zariski-cerrado en . ^{[ aclaración necesaria ]} ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G\cdot f}$ ${\displaystyle g\cdot f(h)=f(g^{-1}h)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle \rho :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle \rho (G)}$ ${\displaystyle GL(V)}$

Referencias

1. Guillemin, Victor; Sternberg, Shlomo (1982). "Cuantización geométrica y multiplicidades de representaciones de grupos". Inventiones Mathematicae . 67 (3): 515–538. Bibcode :1982InMat..67..515G. doi :10.1007/bf01398934. S2CID  121632102.
2. Serre 1993, pag. Cap. VIII. Teorema 10.

• Lee, Dong Hoon (2002), La estructura de los grupos de Lie complejos , Boca Raton, Florida: Chapman & Hall/CRC, ISBN 1-58488-261-1, Sr.  1887930
• Serre, Jean-Pierre (1993), Gèbres