Coherencia mutua (álgebra lineal)

Valor en la teoría de matrices

En álgebra lineal , la coherencia o coherencia mutua de una matriz A se define como el valor absoluto máximo de las correlaciones cruzadas entre las columnas de A. [ ^{1] [2]}

Formalmente, sean las columnas de la matriz A , que se supone que están normalizadas de modo que La coherencia mutua de A se define entonces como ^{[1] [2]} ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}\in {\mathbb {C} }^{d}}$ ${\displaystyle a_{i}^{H}a_{i}=1.}$

${\displaystyle M=\max _{1\leq i\neq j\leq m}\left|a_{i}^{H}a_{j}\right|.}$

Un límite inferior es ^[3]

${\displaystyle M\geq {\sqrt {\frac {m-d}{d(m-1)}}}.}$

Se puede construir una matriz determinista con una coherencia mutua que casi alcance el límite inferior mediante el teorema de Weil. ^[4]

Este concepto fue reintroducido por David Donoho y Michael Elad en el contexto de representaciones dispersas. ^[5] Un caso especial de esta definición para el caso de dos orto apareció anteriormente en el artículo de Donoho y Huo. ^[6] Desde entonces, la coherencia mutua se ha utilizado ampliamente en el campo de las representaciones dispersas de señales . En particular, se utiliza como una medida de la capacidad de algoritmos subóptimos como la búsqueda de coincidencia y la búsqueda de base para identificar correctamente la verdadera representación de una señal dispersa. ^{[1] [2] [7]} Joel Tropp introdujo una extensión útil de la coherencia mutua, conocida como la función de Babel , que extiende la idea de correlación cruzada entre pares de columnas a la correlación cruzada de una columna a un conjunto de otras columnas. La función de Babel para dos columnas es exactamente la coherencia mutua, pero también extiende el concepto de relación de coherencia de una manera que es útil y relevante para cualquier número de columnas en la matriz de representación dispersa también. ^[8]

Véase también

• Detección comprimida
• Propiedad de isometría restringida
• Función de Babel

Referencias

1. Tropp, JA (marzo de 2006). "Relájate: métodos de programación convexa para identificar señales dispersas en el ruido" (PDF) . IEEE Transactions on Information Theory . 52 (3): 1030–1051. doi :10.1109/TIT.2005.864420. S2CID  6496872.
2. Donoho, DL ; M. Elad; VN Temlyakov (enero de 2006). "Recuperación estable de representaciones dispersas sobrecompletas en presencia de ruido". IEEE Transactions on Information Theory . 52 (1): 6–18. doi :10.1109/TIT.2005.860430. S2CID  14813938.
3. Welch, LR (1974). "Límites inferiores de la correlación cruzada máxima de señales". IEEE Transactions on Information Theory . 20 (3): 397–399. doi :10.1109/tit.1974.1055219.
4. Zhiqiang, Xu (abril de 2011). "Muestreo determinista de polinomios trigonométricos dispersos". Journal of Complexity . 27 (2): 133–140. arXiv : 1006.2221 . doi :10.1016/j.jco.2011.01.007. S2CID  2613562.
5. Donoho, DL ; Michael Elad (marzo de 2003). "Representación óptimamente dispersa en diccionarios generales (no ortogonales) mediante minimización de L1". Proc. Natl. Sci . 100 (5): 2197–2202. Bibcode :2003PNAS..100.2197D. doi : 10.1073/pnas.0437847100 . PMC 153464 . PMID  16576749. 
6. Donoho, DL ; Xiaoming Huo (noviembre de 2001). "Principios de incertidumbre y descomposición atómica ideal". IEEE Transactions on Information Theory . 47 (7): 2845–2862. CiteSeerX 10.1.1.39.3696 . doi :10.1109/18.959265. S2CID  9500527. 
7. Fuchs, J.-J. (junio de 2004). "Sobre representaciones dispersas en bases redundantes arbitrarias". IEEE Transactions on Information Theory . 50 (6): 1341–1344. doi :10.1109/TIT.2004.828141. S2CID  18432970.
8. Joel A. Tropp (2004). "La codicia es buena: resultados algorítmicos para la aproximación dispersa" (PDF) . CiteSeerX 10.1.1.84.5256 . 

Lectura adicional

• Coherencia mutua
• R1magic: paquete R que proporciona cálculo de coherencia mutua.