En matemáticas , un espacio de cocientes de convolución es un campo de fracciones de un anillo de convolución de funciones: un cociente de convolución es a la operación de convolución lo que un cociente de números enteros es a la multiplicación . La construcción de cocientes de convolución permite una representación algebraica sencilla de la función delta de Dirac , el operador integral y el operador diferencial sin tener que tratar directamente con transformadas integrales , que a menudo están sujetas a dificultades técnicas con respecto a si convergen o no.
Los cocientes de convolución fueron introducidos por Mikusiński (1949), y su teoría a veces se denomina cálculo operacional de Mikusiński .
El tipo de convolución del que trata esta teoría se define por
Del teorema de convolución de Titchmarsh se desprende que si la convolución de dos funciones que son continuas en es igual a 0 en todas partes de ese intervalo, entonces al menos una de ellas es 0 en todas partes de ese intervalo. Una consecuencia es que si son continuas en entonces solo si Este hecho permite definir cocientes de convolución diciendo que para dos funciones ƒ , g , el par ( ƒ , g ) tiene el mismo cociente de convolución que el par ( h * ƒ , h * g ).
Al igual que en la construcción de los números racionales a partir de los enteros, el campo de cocientes de convolución es una extensión directa del anillo de convolución a partir del cual se construyó. Toda función "ordinaria" en el espacio original se inserta canónicamente en el espacio de cocientes de convolución como la (clase de equivalencia del) par , de la misma manera que los enteros ordinarios se insertan canónicamente en los números racionales. Los elementos no funcionales de nuestro nuevo espacio pueden considerarse como "operadores", o funciones generalizadas, cuya acción algebraica sobre las funciones está siempre bien definida incluso si no tienen representación en el espacio de funciones "ordinarias".
Si comenzamos con un anillo de convolución de funciones de semirrecta positiva, la construcción anterior es idéntica en comportamiento a la transformada de Laplace , y los gráficos de conversión del espacio de Laplace ordinario pueden usarse para mapear expresiones que involucran operadores no funcionales a funciones ordinarias (si existen). Sin embargo, como se mencionó anteriormente, el enfoque algebraico para la construcción del espacio evita la necesidad de definir explícitamente la transformada o su inversa, evitando una serie de problemas de convergencia técnicamente desafiantes con la construcción de la transformada integral "tradicional".
