Desigualdad de Clausius-Duhem

Expresión de la ley termodinámica.

La desigualdad de Clausius-Duhem ^{[1] [2]} es una forma de expresar la segunda ley de la termodinámica que se utiliza en la mecánica del continuo . Esta desigualdad es particularmente útil para determinar si la relación constitutiva de un material es termodinámicamente permisible. ^[3]

Esta desigualdad es una afirmación sobre la irreversibilidad de los procesos naturales, especialmente cuando se trata de disipación de energía. Lleva el nombre del físico alemán Rudolf Clausius y del físico francés Pierre Duhem .

Desigualdad de Clausius-Duhem en términos de la entropía específica

La desigualdad de Clausius-Duhem se puede expresar en forma integral como

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho \eta \,dV\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho \eta \left(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \right)dA-\int _{\partial \Omega }{\frac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~dA+\int _{\Omega }{\frac {\rho s}{T}}~dV.}$

En esta ecuación está el tiempo, representa un cuerpo y la integración es sobre el volumen del cuerpo, representa la superficie del cuerpo, es la densidad de masa del cuerpo, es la entropía específica (entropía por unidad de masa), es la normal La velocidad de , es la velocidad de las partículas en el interior , es la unidad normal a la superficie, es el vector de flujo de calor , es una fuente de energía por unidad de masa y es la temperatura absoluta . Todas las variables son funciones de un punto material en el tiempo . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle t}$

En forma diferencial , la desigualdad de Clausius-Duhem se puede escribir como

${\displaystyle \rho {\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\frac {\rho ~s}{T}}}$

donde es la derivada del tiempo y es la divergencia del vector . ${\displaystyle {\dot {\eta }}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {a} )}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

Prueba

Supongamos que es un volumen de control fijo arbitrario . Entonces y la derivada se puede tomar dentro de la integral para dar ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u_{n}=0}$

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho ~\eta )~dV\geq -\int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~dA-\int _{\partial \Omega }{\cfrac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~dA+\int _{\Omega }{\cfrac {\rho ~s}{T}}~dV.}$

Usando el teorema de la divergencia , obtenemos

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho ~\eta )~dV\geq -\int _{\Omega }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\rho ~\eta ~\mathbf {v} )~dV-\int _{\Omega }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)~dV+\int _{\Omega }{\frac {\rho s}{T}}~dV.}$

Como es arbitrario, debemos tener ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho ~\eta )\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\rho ~\eta ~\mathbf {v} )-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\frac {\rho s}{T}}.}$

Expandiéndose

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}~\eta +\rho ~{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}(\rho ~\eta )\cdot \mathbf {v} -\rho ~\eta ~({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\frac {\rho ~s}{T}}}$

o,

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}~\eta +\rho ~{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\geq -\eta ~{\boldsymbol {\nabla }}\rho \cdot \mathbf {v} -\rho ~{\boldsymbol {\nabla }}\eta \cdot \mathbf {v} -\rho ~\eta ~({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}}$

o,

${\displaystyle \left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\rho \cdot \mathbf {v} +\rho ~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)~\eta +\rho ~\left({\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\eta \cdot \mathbf {v} \right)\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.}$

Ahora, las derivadas materiales del tiempo de y están dadas por ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle {\dot {\rho }}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\rho \cdot \mathbf {v} ~;~~{\dot {\eta }}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\eta \cdot \mathbf {v} .}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \left({\dot {\rho }}+\rho ~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)~\eta +\rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.}$

De la conservación de la masa . Por eso, ${\displaystyle {\dot {\rho }}+\rho ~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} =0}$

${\displaystyle \rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.}$

Desigualdad de Clausius-Duhem en términos de energía interna específica

La desigualdad se puede expresar en términos de la energía interna como

${\displaystyle \rho ~({\dot {e}}-T~{\dot {\eta }})-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \leq -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}}$

donde es la derivada temporal de la energía interna específica (la energía interna por unidad de masa), es la tensión de Cauchy y es el gradiente de la velocidad. Esta desigualdad incorpora el equilibrio de energía y el equilibrio del momento lineal y angular en la expresión de la desigualdad de Clausius-Duhem. ${\displaystyle {\dot {e}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} }$

Prueba

Usando la identidad en la desigualdad de Clausius-Duhem, obtenemos ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\varphi ~\mathbf {v} )=\varphi ~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\varphi }$

${\displaystyle \rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\frac {\rho ~s}{T}}\qquad {\text{or}}\qquad \rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\frac {1}{T}}~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {1}{T}}\right)+{\frac {\rho ~s}{T}}.}$

Ahora, usando notación de índice con respecto a un sistema de coordenadas cartesiano , ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\left({\cfrac {1}{T}}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(T^{-1}\right)~\mathbf {e} _{j}=-\left(T^{-2}\right)~{\frac {\partial T}{\partial x_{j}}}~\mathbf {e} _{j}=-{\frac {1}{T^{2}}}~{\boldsymbol {\nabla }}T.}$

Por eso,

${\displaystyle \rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\cfrac {1}{T}}~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} +{\cfrac {1}{T^{2}}}~\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T+{\frac {\rho ~s}{T}}\qquad {\text{or}}\qquad \rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\cfrac {1}{T}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s\right)+{\frac {1}{T^{2}}}~\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T.}$

Del balance de energía

${\displaystyle \rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} +{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s=0\qquad \implies \qquad \rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} =-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s).}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \rho ~{\dot {\eta }}\geq {\frac {1}{T}}\left(\rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \right)+{\frac {1}{T^{2}}}~\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T\qquad \implies \qquad \rho ~{\dot {\eta }}~T\geq \rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}.}$

Reorganizar,

${\displaystyle \rho ~({\dot {e}}-T~{\dot {\eta }})-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \leq -{\frac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}}$

QED

Disipación

La cantidad

${\displaystyle {\mathcal {D}}=\rho ~(T~{\dot {\eta }}-{\dot {e}})+{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}\geq 0}$

Se llama disipación y se define como la tasa de producción de entropía interna por unidad de volumen multiplicada por la temperatura absoluta . De ahí que la desigualdad de Clausius-Duhem también se llame desigualdad de disipación . En un material real, la disipación es siempre mayor que cero.

Ver también

• entropía
• Segunda ley de la termodinámica

Referencias

1. Truesdell, Clifford (1952), "Los fundamentos mecánicos de la elasticidad y la dinámica de fluidos", Journal of Rational Mechanics and Analysis , 1 : 125–300.
2. Truesdell, Clifford & Toupin, Richard (1960), "Las teorías clásicas de campo de la mecánica", Handbuch der Physik , vol. III, Berlín: Springer.
3. Frémond, M. (2006), "La desigualdad de Clausius-Duhem, una desigualdad interesante y productiva", Análisis y mecánica no suave , Avances en mecánica y matemáticas, vol. 12, Nueva York: Springer, págs. 107–118, doi :10.1007/0-387-29195-4_10, ISBN 0-387-29196-2.

enlaces externos

• Memorias de Clifford Truesdell por Bernard D. Coleman, Journal of Elasticity, 2003.
• Reflexiones sobre la termomecánica de Walter Noll , 2008.