Desigualdad de Clausius-Duhem

Expresión de la ley termodinámica

La desigualdad de Clausius-Duhem ^{[1] [2]} es una forma de expresar la segunda ley de la termodinámica que se utiliza en la mecánica de medios continuos . Esta desigualdad es particularmente útil para determinar si la relación constitutiva de un material es termodinámicamente admisible. ^[3]

Esta desigualdad es una afirmación sobre la irreversibilidad de los procesos naturales, especialmente cuando hay disipación de energía. Recibe su nombre en honor al físico alemán Rudolf Clausius y al físico francés Pierre Duhem .

Desigualdad de Clausius-Duhem en términos de la entropía específica

La desigualdad de Clausius-Duhem se puede expresar en forma integral como

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\int _{\Omega }\rho \eta \,dV\right)\geq \int _{\partial \Omega }\rho \eta \left(u_{n}-\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} \right)dA-\int _{\partial \Omega }{\frac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~dA+\int _{\Omega }{\frac {\rho s}{T}}~dV.}$

En esta ecuación es el tiempo, representa un cuerpo y la integración es sobre el volumen del cuerpo, representa la superficie del cuerpo, es la densidad de masa del cuerpo, es la entropía específica (entropía por unidad de masa), es la velocidad normal de , es la velocidad de las partículas en el interior de , es la normal unitaria a la superficie, es el vector de flujo de calor , es una fuente de energía por unidad de masa, y es la temperatura absoluta . Todas las variables son funciones de un punto material en un tiempo . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle u_{n}}$ ${\displaystyle \partial \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle t}$

En forma diferencial , la desigualdad de Clausius-Duhem se puede escribir como

${\displaystyle \rho {\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\frac {\rho ~s}{T}}}$

donde es la derivada temporal de y es la divergencia del vector . ${\displaystyle {\dot {\eta }}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {a} )}$ ${\displaystyle \mathbf {a} }$

Prueba

Supongamos que es un volumen de control fijo arbitrario . Entonces , y la derivada se puede tomar dentro de la integral para obtener ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle u_{n}=0}$

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho ~\eta )~dV\geq -\int _{\partial \Omega }\rho ~\eta ~(\mathbf {v} \cdot \mathbf {n} )~dA-\int _{\partial \Omega }{\cfrac {\mathbf {q} \cdot \mathbf {n} }{T}}~dA+\int _{\Omega }{\cfrac {\rho ~s}{T}}~dV.}$

Utilizando el teorema de divergencia , obtenemos

${\displaystyle \int _{\Omega }{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho ~\eta )~dV\geq -\int _{\Omega }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\rho ~\eta ~\mathbf {v} )~dV-\int _{\Omega }{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)~dV+\int _{\Omega }{\frac {\rho s}{T}}~dV.}$

Dado que es arbitrario, debemos tener ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\rho ~\eta )\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\rho ~\eta ~\mathbf {v} )-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\frac {\rho s}{T}}.}$

Expandiéndose

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}~\eta +\rho ~{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}(\rho ~\eta )\cdot \mathbf {v} -\rho ~\eta ~({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\frac {\rho ~s}{T}}}$

o,

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}~\eta +\rho ~{\frac {\partial \eta }{\partial t}}\geq -\eta ~{\boldsymbol {\nabla }}\rho \cdot \mathbf {v} -\rho ~{\boldsymbol {\nabla }}\eta \cdot \mathbf {v} -\rho ~\eta ~({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}}$

o,

${\displaystyle \left({\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\rho \cdot \mathbf {v} +\rho ~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)~\eta +\rho ~\left({\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\eta \cdot \mathbf {v} \right)\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.}$

Ahora, las derivadas temporales materiales de y están dadas por ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle {\dot {\rho }}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\rho \cdot \mathbf {v} ~;~~{\dot {\eta }}={\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\eta \cdot \mathbf {v} .}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \left({\dot {\rho }}+\rho ~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)~\eta +\rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.}$

De la conservación de la masa . Por lo tanto, ${\displaystyle {\dot {\rho }}+\rho ~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} =0}$

${\displaystyle \rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\cfrac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\cfrac {\rho ~s}{T}}.}$

Desigualdad de Clausius-Duhem en términos de energía interna específica

La desigualdad se puede expresar en términos de la energía interna como

${\displaystyle \rho ~({\dot {e}}-T~{\dot {\eta }})-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \leq -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}}$

donde es la derivada temporal de la energía interna específica (la energía interna por unidad de masa), es la tensión de Cauchy y es el gradiente de la velocidad. Esta desigualdad incorpora el balance de energía y el balance de momento lineal y angular en la expresión de la desigualdad de Clausius-Duhem. ${\displaystyle {\dot {e}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} }$

Prueba

Usando la identidad en la desigualdad de Clausius-Duhem, obtenemos ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\varphi ~\mathbf {v} )=\varphi ~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\varphi }$

${\displaystyle \rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\frac {\mathbf {q} }{T}}\right)+{\frac {\rho ~s}{T}}\qquad {\text{or}}\qquad \rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\frac {1}{T}}~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\left({\frac {1}{T}}\right)+{\frac {\rho ~s}{T}}.}$

Ahora, utilizando la notación de índice con respecto a un sistema de coordenadas cartesianas , ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\left({\cfrac {1}{T}}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(T^{-1}\right)~\mathbf {e} _{j}=-\left(T^{-2}\right)~{\frac {\partial T}{\partial x_{j}}}~\mathbf {e} _{j}=-{\frac {1}{T^{2}}}~{\boldsymbol {\nabla }}T.}$

Por eso,

${\displaystyle \rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\cfrac {1}{T}}~{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} +{\cfrac {1}{T^{2}}}~\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T+{\frac {\rho ~s}{T}}\qquad {\text{or}}\qquad \rho ~{\dot {\eta }}\geq -{\cfrac {1}{T}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s\right)+{\frac {1}{T^{2}}}~\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T.}$

Del equilibrio de energía

${\displaystyle \rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} +{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s=0\qquad \implies \qquad \rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} =-({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {q} -\rho ~s).}$

Por lo tanto,

${\displaystyle \rho ~{\dot {\eta }}\geq {\frac {1}{T}}\left(\rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \right)+{\frac {1}{T^{2}}}~\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T\qquad \implies \qquad \rho ~{\dot {\eta }}~T\geq \rho ~{\dot {e}}-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}.}$

Reorganizando,

${\displaystyle \rho ~({\dot {e}}-T~{\dot {\eta }})-{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \leq -{\frac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}}$

QED

Disipación

La cantidad

${\displaystyle {\mathcal {D}}=\rho ~(T~{\dot {\eta }}-{\dot {e}})+{\boldsymbol {\sigma }}:{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} -{\cfrac {\mathbf {q} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}T}{T}}\geq 0}$

se denomina disipación , que se define como la tasa de producción de entropía interna por unidad de volumen multiplicada por la temperatura absoluta . Por lo tanto, la desigualdad de Clausius-Duhem también se denomina desigualdad de disipación . En un material real, la disipación siempre es mayor que cero.

Véase también

• Entropía
• Segunda ley de la termodinámica

Referencias

1. Truesdell, Clifford (1952), "Los fundamentos mecánicos de la elasticidad y la dinámica de fluidos", Journal of Rational Mechanics and Analysis , 1 : 125–300.
2. Truesdell, Clifford y Toupin, Richard (1960), "Las teorías clásicas de campos de la mecánica", Handbuch der Physik , vol. III, Berlín: Springer.
3. Frémond, M. (2006), "La desigualdad de Clausius-Duhem, una desigualdad interesante y productiva", Mecánica y análisis no uniformes , Avances en mecánica y matemáticas, vol. 12, Nueva York: Springer, págs. 107-118, doi :10.1007/0-387-29195-4_10, ISBN 0-387-29196-2.

Enlaces externos

• Recuerdos de Clifford Truesdell por Bernard D. Coleman, Journal of Elasticity, 2003.
• Reflexiones sobre termomecánica de Walter Noll , 2008.