Resumen de clase elemental

En la teoría de modelos , una disciplina dentro de la lógica matemática , una clase elemental abstracta , o AEC para abreviar, es una clase de modelos con un orden parcial similar a la relación de una subestructura elemental de una clase elemental en la teoría de modelos de primer orden . Fueron introducidos por Saharon Shelah . ^[1]

Definición

${\displaystyle \langle K,\prec _{K}\rangle }$, para una clase de estructuras en algún lenguaje , es un AEC si tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L=L(K)}$

• ${\displaystyle \prec _{K}}$es una orden parcial en . ${\displaystyle K}$
• Si entonces es una subestructura de . ${\displaystyle M\prec _{K}N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$
• Isomorfismos : está cerrado bajo isomorfismos , y si y entonces ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M,N,M',N'\in K,}$ ${\displaystyle f\colon M\simeq M',}$ ${\displaystyle g\colon N\simeq N',}$ ${\displaystyle f\subseteq g,}$ ${\displaystyle M\prec _{K}N,}$ ${\displaystyle M'\prec _{K}N'.}$
• Coherencia : Si y entonces ${\displaystyle M_{1}\prec _{K}M_{3},}$ ${\displaystyle M_{2}\prec _{K}M_{3},}$ ${\displaystyle M_{1}\subseteq M_{2},}$ ${\displaystyle M_{1}\prec _{K}M_{2}.}$
• Axiomas de cadena de Tarski-Vaught : Si es un ordinal y es una cadena (es decir, ), entonces: ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \{\,M_{\alpha }\mid \alpha <\gamma \,\}\subseteq K}$ ${\displaystyle \alpha <\beta <\gamma \implies M_{\alpha }\prec _{K}M_{\beta }}$
  • ${\displaystyle \bigcup _{\alpha <\gamma }M_{\alpha }\in K}$
  • Si , para todos , entonces ${\displaystyle M_{\alpha }\prec _{K}N}$ ${\displaystyle \alpha <\gamma }$ ${\displaystyle \bigcup _{\alpha <\gamma }M_{\alpha }\prec _{K}N}$
• Axioma de Löwenheim–Skolem : Existe un cardinal , tal que sies un subconjunto del universo de, entonces hayencuyo universo contienetales quey. Denotamosel menor de talesy lo llamamos número de Löwenheim–Skolem de. ${\displaystyle \mu \geq |L(K)|+\aleph _{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \|N\|\leq |A|+\mu }$ ${\displaystyle N\prec _{K}M}$ ${\displaystyle \operatorname {LS} (K)}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle K}$

Tenga en cuenta que, por lo general, no nos preocupamos por los modelos de tamaño menor que el número de Löwenheim–Skolem y, a menudo, suponemos que no hay ninguno (adoptaremos esta convención en este artículo). Esto está justificado ya que siempre podemos eliminar todos esos modelos de un AEC sin influir en su estructura por encima del número de Löwenheim–Skolem.

Una incrustación es una función para tal que y es un isomorfismo de sobre . Si resulta claro a partir del contexto, lo omitimos. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ ${\displaystyle M,N\in K}$ ${\displaystyle f[M]\prec _{K}N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f[M]}$ ${\displaystyle K}$

Ejemplos

Los siguientes son ejemplos de clases elementales abstractas: ^[2]

• Una clase elemental es el ejemplo más básico de una AEC: si T es una teoría de primer orden, entonces la clase de modelos de T junto con la subestructura elemental forma una AEC con número de Löwenheim–Skolem |T| . ${\displaystyle \operatorname {Mod} (T)}$
• Si es una oración en la lógica infinitaria , y es un fragmento contable que contiene , entonces es un AEC con número de Löwenheim–Skolem . Esto se puede generalizar a otras lógicas, como , o , donde expresa "existen incontables". ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \langle \operatorname {Mod} (T),\prec _{\mathcal {F}}\rangle }$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle L_{\kappa ,\omega }}$ ${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }(Q)}$ ${\displaystyle Q}$
• Si T es una teoría superestable contable de primer orden , el conjunto de modelos -saturados de T , junto con la subestructura elemental, es un AEC con número de Löwenheim–Skolem . ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$
• Los campos pseudoexponenciales de Zilber forman un AEC.

Supuestos comunes

Los AEC son objetos muy generales y normalmente se hacen algunas de las suposiciones siguientes al estudiarlos:

• Un AEC tiene incrustación conjunta si dos modelos pueden incrustarse dentro de un modelo común.
• Un AEC no tiene un modelo máximo si algún modelo tiene una extensión adecuada.
• Un AEC tiene amalgama si para cualquier triple con , , hay y incrustaciones de y dentro de ese punto de fijación. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M_{0},M_{1},M_{2}\in K}$ ${\displaystyle M_{0}\prec _{K}M_{1}}$ ${\displaystyle M_{0}\prec _{K}M_{2}}$ ${\displaystyle N\in K}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M_{0}}$

Obsérvese que en las clases elementales, la incrustación conjunta se cumple siempre que la teoría esté completa , mientras que la amalgama y la ausencia de modelos máximos son consecuencias bien conocidas del teorema de compacidad . Estos tres supuestos nos permiten construir un modelo universal homogéneo de monstruo , exactamente como en el caso elemental. ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$

Otra suposición que se puede hacer es la mansedumbre .

Conjetura de categoricidad de Shelah

Shelah introdujo las conjeturas de categoricidad final para proporcionar un marco uniforme en el que generalizar la teoría de clasificación de primer orden . La teoría de clasificación comenzó con el teorema de categoricidad de Morley , por lo que es natural preguntarse si se puede obtener un resultado similar en las conjeturas de categoricidad final. Esta es la conjetura de categoricidad final de Shelah . Establece que debería haber un número de Hanf para la categoricidad:

Para cada AEC K debe haber un cardinal que dependa solo de tal que si K es categórico en algún (es decir, K tiene exactamente un modelo (hasta el isomorfismo) de tamaño ), entonces K es categórico en para todos los . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \operatorname {LS} (K)}$ ${\displaystyle \lambda \geq \mu }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta \geq \mu }$

Shelah también tiene varias conjeturas más sólidas: el cardinal umbral para la categoricidad es el número Hanf de clases pseudoelementales en un lenguaje de cardinalidad LS(K). Más específicamente, cuando la clase está en un lenguaje contable y axiomazable por una oración, el número umbral para la categoricidad es . Esta conjetura se remonta a 1976. ${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }}$ ${\displaystyle \beth _{\omega _{1}}}$

Se han publicado varias aproximaciones (véase, por ejemplo, la sección de resultados más abajo), que asumen supuestos de teoría de conjuntos (como la existencia de grandes cardinales o variaciones de la hipótesis del continuo generalizado ) o de teoría de modelos (como la amalgamación o la docilidad). A fecha de 2014, la conjetura original sigue abierta.

Resultados

A continuación se presentan algunos resultados importantes sobre las AEC. Excepto el último, todos los resultados se deben a Shelah.

• Teorema de presentación de Shelah : ^[3] Cualquier AEC es : es una reducción de una clase de modelos de una teoría de primer orden omitiendo como máximo los tipos . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \operatorname {PC} _{2^{\operatorname {LS} (K)}}}$ ${\displaystyle 2^{\operatorname {LS} (K)}}$
• Número de Hanf para existencia : ^[4] Cualquier AEC que tenga un modelo de tamaño tiene modelos de tamaños arbitrariamente grandes. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \beth _{(2^{\operatorname {LS} (K)})^{+}}}$
• Amalgamación a partir de categoricidad : ^[5] Si K es un AEC categórico en y y , entonces K tiene amalgama para modelos de tamaño . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda ^{+}}$ ${\displaystyle 2^{\lambda }<2^{\lambda ^{+}}}$ ${\displaystyle \lambda }$
• Existencia a partir de categoricidad : ^[6] Si K es un AEC con número de Löwenheim–Skolem y K es categórico en y , entonces K tiene un modelo de tamaño . En particular, ninguna oración de puede tener exactamente un modelo incontable. ${\displaystyle \operatorname {PC} _{\aleph _{0}}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$ ${\displaystyle \aleph _{2}}$ ${\displaystyle L_{\omega _{1},\omega }(Q)}$
• Aproximaciones a la conjetura de categoricidad de Shelah :
  • Transferencia descendente desde un sucesor : ^[7] Si K es una clase elemental abstracta con amalgama que es categórica en un sucesor "suficientemente alto" , entonces K es categórica en todos los "suficientemente altos" . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mu \leq \lambda }$
  • Conjetura de categoricidad de Shelah para un sucesor a partir de cardenales grandes : ^[8] Si hay muchos cardenales fuertemente compactos de clase , entonces la conjetura de categoricidad de Shelah se cumple cuando comenzamos con la categoricidad en un sucesor.

Véase también

• Clase elemental abstracta y domesticada

Notas

1. Selah 1987.
2. Grossberg 2002, Sección 1.
3. Grossberg 2002, Teorema 3.4.
4. Grossberg 2002, Corolario 3.5. Nótese que hay un error tipográfico y que debería reemplazarse por . ${\displaystyle 2^{2^{\operatorname {LS} (K)}}}$ ${\displaystyle 2^{\operatorname {LS} (K)}}$
5. Grossberg 2002, Teorema 4.3.
6. Grossberg 2002, Teorema 5.1.
7. Selah 1999.
8. Esto se debe a Will Boney, pero combina los resultados de muchas personas, entre ellas Grossberg, Makkai, Shelah y VanDieren. Una prueba aparece en Boney 2014, Teorema 7.5.

Referencias

• Shelah, Saharon (1987), John T. Baldwin (ed.), Clasificación de clases no elementales II. Resumen Clases elementales , Apuntes de clase en matemáticas, vol. 1292, Springer-Verlag, págs. 419–497
• Shelah, Saharon (1999), "Categoricidad para clases abstractas con amalgamación" (PDF) , Annals of Pure and Applied Logic , 98 (1): 261–294, arXiv : math/9809197 , doi :10.1016/s0168-0072(98)00016-5, S2CID  27872122
• Grossberg, Rami (2002), "Teoría de la clasificación para clases elementales abstractas" (PDF) , Lógica y álgebra , Matemáticas contemporáneas, vol. 302, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 165–204, CiteSeerX  10.1.1.6.9630 , doi :10.1090/conm/302/05080, ISBN 9780821829844, Sr.  1928390
• Baldwin, John T. (7 de julio de 2006), Resumen de las clases de primaria: algunas respuestas, más preguntas (PDF)
• Shelah, Saharon (2009), Teoría de la clasificación para clases abstractas elementales , Studies in Logic (Londres), vol. 18, College Publications, Londres, ISBN 978-1-904987-71-0
• Shelah, Saharon (2009), Teoría de la clasificación para clases elementales abstractas. Vol. 2 , Studies in Logic (Londres), vol. 20, College Publications, Londres, ISBN 978-1-904987-72-7
• Baldwin, John T. (2009), Categoricidad, University Lecture Series, vol. 50, American Mathematical Society, ISBN 978-0821848937
• Boney, Will (2014). "Mansedumbre a partir de grandes axiomas cardinales". arXiv : 1303.0550v4 [math.LO].