Clase Laguerre–Pólya

La clase de Laguerre–Pólya es la clase de funciones enteras que consiste en aquellas funciones que son localmente el límite de una serie de polinomios cuyas raíces son todas reales. ^[1] Cualquier función de la clase de Laguerre–Pólya es también de la clase Pólya .

El producto de dos funciones en la clase también está en la clase, por lo que la clase constituye un monoide bajo la operación de multiplicación de funciones.

Algunas propiedades de una función de la clase Laguerre–Pólya son: ${\displaystyle E(z)}$

• Todas las raíces son reales.
• ${\displaystyle |E(x+iy)|=|E(x-iy)|}$para x e y reales.
• ${\displaystyle |E(x+iy)|}$es una función no decreciente de y para y positivo .

Una función es de clase Laguerre–Pólya si y solo si se cumplen tres condiciones:

• Las raíces son todas reales.
• Los ceros distintos de cero z _n satisfacen

${\displaystyle \sum _{n}{\frac {1}{|z_{n}|^{2}}}}$converge, con ceros contados según su multiplicidad )

• La función se puede expresar en forma de producto de Hadamard.

${\displaystyle z^{m}e^{a+bz+cz^{2}}\prod _{n}\left(1-z/z_{n}\right)\exp(z/z_{n})}$

con b y c reales y c no positivo. (El entero no negativo m será positivo si E (0)=0. Nótese que si el número de ceros es infinito, puede ser necesario definir cómo tomar el producto infinito.)

Ejemplos

Algunos ejemplos son: ${\displaystyle \sin(z),\cos(z),\exp(z),\exp(-z),{\text{and }}\exp(-z^{2}).}$

Por otra parte, no pertenecen a la clase Laguerre–Pólya. ${\displaystyle \sinh(z),\cosh(z),{\text{and }}\exp(z^{2})}$

Por ejemplo,

${\displaystyle \exp(-z^{2})=\lim _{n\to \infty }(1-z^{2}/n)^{n}.}$

El coseno se puede calcular de más de una manera. A continuación se muestra una serie de polinomios que tienen todas sus raíces reales:

${\displaystyle \cos z=\lim _{n\to \infty }((1+iz/n)^{n}+(1-iz/n)^{n})/2}$

Y aquí hay otro:

${\displaystyle \cos z=\lim _{n\to \infty }\prod _{m=1}^{n}\left(1-{\frac {z^{2}}{((m-{\frac {1}{2}})\pi )^{2}}}\right)}$

Esto muestra la acumulación del producto Hadamard para el coseno.

Si reemplazamos z ² por z , tenemos otra función en la clase:

${\displaystyle \cos {\sqrt {z}}=\lim _{n\to \infty }\prod _{m=1}^{n}\left(1-{\frac {z}{((m-{\frac {1}{2}})\pi )^{2}}}\right)}$

Otro ejemplo es la función gamma recíproca 1/Γ(z). Es el límite de polinomios como sigue:

${\displaystyle 1/\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n!}}(1-(\ln n)z/n)^{n}\prod _{m=0}^{n}(z+m).}$

Referencias

1. "Aproximación por funciones enteras pertenecientes a la clase Laguerre–Pólya" Archivado el 6 de octubre de 2008 en Wayback Machine por D. Dryanov y QI Rahman, Métodos y aplicaciones del análisis 6 (1) 1999, pp. 21–38.