Cierre del anillo

Estrategia de prueba para demostrar que una colección de afirmaciones son equivalentes entre sí.

En matemáticas , un Ringschluss ( en alemán : Beweis durch Ringschluss , literalmente,  'prueba por cierre de anillo') es una técnica de prueba matemática donde se puede demostrar la equivalencia de varias afirmaciones sin tener que demostrar directamente todas las equivalencias por pares.

Para demostrar que las afirmaciones son equivalentes por pares, se dan pruebas para las implicaciones , , , y . ^{[1] [2]} ${\displaystyle \varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{1}\Rightarrow \varphi _{2}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}\Rightarrow \varphi _{3}}$ ${\displaystyle \dots }$ ${\displaystyle \varphi _{n-1}\Rightarrow \varphi _{n}}$ ${\displaystyle \varphi _{n}\Rightarrow \varphi _{1}}$

La equivalencia por pares de los enunciados resulta entonces de la transitividad del condicional material .

Ejemplo

Las pruebas se dan para , , y . La equivalencia de y resulta de la cadena de conclusiones que ya no se dan explícitamente: ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle \varphi _{1}\Rightarrow \varphi _{2}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}\Rightarrow \varphi _{3}}$ ${\displaystyle \varphi _{3}\Rightarrow \varphi _{4}}$ ${\displaystyle \varphi _{4}\Rightarrow \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}}$ ${\displaystyle \varphi _{4}}$

${\displaystyle \varphi _{2}\Rightarrow \varphi _{3}}$...  Esto conduce a: ${\displaystyle \varphi _{3}\Rightarrow \varphi _{4}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}\Rightarrow \varphi _{4}}$

${\displaystyle \varphi _{4}\Rightarrow \varphi _{1}}$...  Esto conduce a: ${\displaystyle \varphi _{1}\Rightarrow \varphi _{2}}$ ${\displaystyle \varphi _{4}\Rightarrow \varphi _{2}}$

Eso es . ${\displaystyle \varphi _{2}\Leftrightarrow \varphi _{4}}$

Motivación

La técnica permite, sobre todo, ahorrar esfuerzo de redacción. Al prescindir de la cadena de conclusiones formalmente necesaria, sólo es necesario proporcionar pruebas directas en lugar de pruebas directas . La dificultad para el matemático es encontrar una secuencia de enunciados que permita realizar las pruebas directas más elegantes posibles. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \varphi _{i}\Rightarrow \varphi _{j}}$ ${\displaystyle n(n-1)}$

Véase también

• El término no debe confundirse con el razonamiento circular inválido .

Referencias

1. Plaue, Matías; Scherfner, Mike (11 de febrero de 2019). Mathematik für das Bachelorstudium I: Grundlagen und Grundzüge der linearen Algebra und Analysis [ Matemáticas para la Licenciatura I: Fundamentos y fundamentos del álgebra y análisis lineal ] (en alemán). Springer-Verlag. pag. 26.ISBN​ 978-3-662-58352-4.
2. Struckmann, Werner; Wätjen, Dietmar (20 de octubre de 2016). Mathematik für Informatiker: Grundlagen und Anwendungen [ Matemáticas para informáticos: fundamentos y aplicaciones ] (en alemán). Springer-Verlag. pag. 28.ISBN​ 978-3-662-49870-5.