Choque integral

Una integral de Choquet es una integral subaditiva o superaditiva creada por el matemático francés Gustave Choquet en 1953. ^[1] Se utilizó inicialmente en mecánica estadística y teoría del potencial , ^[2] pero encontró su camino hacia la teoría de decisiones en la década de 1980, ^[3] donde se utiliza como una forma de medir la utilidad esperada de un evento incierto. Se aplica específicamente a funciones de pertenencia y capacidades . En la teoría de probabilidad imprecisa , la integral de Choquet también se utiliza para calcular la expectativa inferior inducida por una probabilidad inferior 2-monótona , o la expectativa superior inducida por una probabilidad superior 2-alterna .

El uso de la integral de Choquet para denotar la utilidad esperada de las funciones de creencia medidas con capacidades es una forma de reconciliar la paradoja de Ellsberg y la paradoja de Allais . ^{[4] [5]}

Definición

Se utiliza la siguiente notación:

• ${\displaystyle S}$– un conjunto.
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$– una colección de subconjuntos de . ${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle f:S\to \mathbb {R} }$– una función.
• ${\displaystyle \nu :{\mathcal {F}}\to \mathbb {R} ^{+}}$– una función de conjunto monótona .

Supongamos que es medible con respecto a , es decir ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \colon \{s\in S\mid f(s)\geq x\}\in {\mathcal {F}}}$

Entonces la integral de Choquet de con respecto a se define por: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle (C)\int fd\nu :=\int _{-\infty }^{0}(\nu (\{s|f(s)\geq x\})-\nu (S))\,dx+\int _{0}^{\infty }\nu (\{s|f(s)\geq x\})\,dx}$

donde las integrales en el lado derecho son la integral de Riemann habitual (los integrandos son integrables porque son monótonos en ). ${\displaystyle x}$

Propiedades

En general, la integral de Choquet no satisface la aditividad. Más específicamente, si no es una medida de probabilidad, puede cumplirse que ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle \int f\,d\nu +\int g\,d\nu \neq \int (f+g)\,d\nu .}$

para algunas funciones y . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

La integral de Choquet satisface las siguientes propiedades.

Monotonía

Si entonces ${\displaystyle f\leq g}$

${\displaystyle (C)\int f\,d\nu \leq (C)\int g\,d\nu }$

Homogeneidad positiva

Por todo lo que sostiene ${\displaystyle \lambda \geq 0}$

${\displaystyle (C)\int \lambda f\,d\nu =\lambda (C)\int f\,d\nu ,}$

Aditividad de comonotona

Si son funciones comonotónicas, es decir, si para todo se cumple que ${\displaystyle f,g:S\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle s,s'\in S}$

${\displaystyle (f(s)-f(s'))(g(s)-g(s'))\geq 0}$.

que puede considerarse como un ascenso y un descenso a la vez ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

entonces

${\displaystyle (C)\int \,fd\nu +(C)\int g\,d\nu =(C)\int (f+g)\,d\nu .}$

Subaditividad

Si es 2-alternativo, ^{[ aclaración necesaria ]} entonces ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle (C)\int \,fd\nu +(C)\int g\,d\nu \geq (C)\int (f+g)\,d\nu .}$

Superaditividad

Si es 2-monótono, ^{[ aclaración necesaria ]} entonces ${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle (C)\int \,fd\nu +(C)\int g\,d\nu \leq (C)\int (f+g)\,d\nu .}$

Representación alternativa

Sea una función de distribución acumulativa tal que sea integrable. La siguiente fórmula se conoce a menudo como integral de Choquet: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{-1}}$ ${\displaystyle dH}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }G^{-1}(\alpha )dH(\alpha )=-\int _{-\infty }^{a}H(G(x))dx+\int _{a}^{\infty }{\hat {H}}(1-G(x))dx,}$

dónde . ${\displaystyle {\hat {H}}(x)=H(1)-H(1-x)}$

• Elige conseguir , ${\displaystyle H(x):=x}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}G^{-1}(x)dx=E[X]}$
• Elige conseguir ${\displaystyle H(x):=1_{[\alpha ,x]}}$ ${\displaystyle \int _{0}^{1}G^{-1}(x)dH(x)=G^{-1}(\alpha )}$

Aplicaciones

La integral de Choquet se aplicó en el procesamiento de imágenes, el procesamiento de video y la visión artificial. En la teoría de decisiones conductuales, Amos Tversky y Daniel Kahneman utilizan la integral de Choquet y métodos relacionados en su formulación de la teoría de la perspectiva acumulativa. ^[6]

Véase también

• Expectativa no lineal
• Superaditividad
• Subaditividad

Notas

1. Choquet, G. (1953). "Teoría de las capacidades". Anales del Instituto Fourier . 5 : 131–295. doi : 10.5802/aif.53 .
2. Denneberg, D. (1994). Medida no aditiva e integral . Kluwer Academic. ISBN 0-7923-2840-X.
3. Grabisch, M. (1996). "La aplicación de integrales difusas en la toma de decisiones multicriterio". Revista Europea de Investigación Operativa . 89 (3): 445–456. doi :10.1016/0377-2217(95)00176-X.
4. Châteauneuf, A.; Cohen, MD (2010). "Extensiones cardinales del modelo de la UE basado en la integral de Choquet". En Bouyssou, Denis; Dubois, Didier; Pirlot, Marc; Prade, Henri (eds.). Proceso de toma de decisiones: conceptos y métodos . págs. 401–433. doi :10.1002/9780470611876.ch10. ISBN 9780470611876.
5. Sriboonchita, S.; Wong, WK; Dhompongsa, S.; Nguyen, HT (2010). Dominancia estocástica y aplicaciones a las finanzas, el riesgo y la economía . CRC Press. ISBN 978-1-4200-8266-1.
6. Tversky, A.; Kahneman, D. (1992). "Avances en la teoría prospectiva: representación acumulativa de la incertidumbre". Revista de riesgo e incertidumbre . 5 (4): 297–323. doi :10.1007/bf00122574. S2CID  8456150.

Lectura adicional

• Gilboa, I.; Schmeidler, D. (1994). "Representaciones aditivas de medidas no aditivas y la integral de Choquet". Anales de investigación de operaciones . 52 : 43–65. doi :10.1007/BF02032160.
• Even, Y.; Lehrer, E. (2014). "Descomposición-integral: unificando Choquet y las integrales cóncavas". Teoría económica . 56 (1): 33–58. doi :10.1007/s00199-013-0780-0. MR  3190759. S2CID  1639979.