Palillos (juego de manos)

Hand game for two or more players

Las puntuaciones del juego se registran con los dedos de ambas manos.

Chopsticks (a veces llamado Calculadora , o simplemente Sticks ) ^{[ cita requerida ]} es un juego de mano para dos o más jugadores, en el que los jugadores extienden una cantidad de dedos de cada mano y transfieren esos puntajes turnándose para golpear una mano contra la otra. ^{[1] [2]} Chopsticks es un ejemplo de un juego combinatorio , y se resuelve en el sentido de que con un juego perfecto , se conoce una estrategia óptima desde cualquier punto. ^[3]

Descripción

Jugabilidad

Los palillos chinos consisten en que los jugadores suman puntos usando los dedos de sus manos.

Cada jugador comienza con dos puntos (un dedo en cada mano). Por turnos, los jugadores tocan la mano del oponente, lo que le suma puntos iguales al valor de la mano que toca. Las manos de un jugador no cambian cuando se toca la mano del oponente. Por ejemplo, si un jugador oponente tiene el número máximo de puntos en su mano, no puede restarle puntos si decide noquear la mano del otro jugador, como si un jugador tiene cinco puntos y el otro tiene dos, el jugador con cinco puntos no puede darle al otro jugador una parte de sus puntos para evitar ser noqueado. Cuando una mano obtiene solo cinco puntos, se "noquea" y se llama mano muerta . ^[3] Una mano muerta no puede atacar ni ser atacada. Un jugador gana noqueando ambas manos de su oponente.

En lugar de atacar en su turno, un jugador puede "dividir" puntos entre sus manos. Una división puede ser una transferencia o una división. Una transferencia implica mover una cierta cantidad de puntos de una mano viva a otra; transferir todos los puntos de una mano la elimina ("suicidio"), y está permitido en algunas variaciones. ^[3] Una división puede resucitar una mano muerta moviendo puntos de una mano viva, poniéndola de nuevo en juego. ^[3] La nueva distribución debe ser distinta de la distribución original; un jugador no puede simplemente intercambiar puntos entre manos. ^[3]

Debido a la sencilla estructura básica del juego, existen muchas variantes con reglas adicionales. ^[1] En algunas variantes, una suma mayor a 5 "se convierte" en un valor menor al restar 5 de la suma ( aritmética modular ); una mano se elimina solo cuando tiene exactamente cinco puntos. En otras variantes, se permiten movimientos de transferencia y división más complejos.

Abreviatura

Cada posición en un juego de Chopsticks para dos jugadores se puede codificar como un número de cuatro dígitos, donde cada dígito va del 0 al 4 y representa el número de dedos activos en cada mano. Esto se puede escribir como [ABCD], donde A y B son las manos del jugador que está a punto de jugar su turno, y C y D son las manos del jugador que no está a punto de jugar su turno. Cada par de manos se escribe en orden ascendente, por lo que cada posición distinta está representada por un solo número de cuatro dígitos. Por ejemplo, el código 1023 no está permitido y debe escribirse como 0123.

La posición inicial es 1111. A menos que se utilicen transferencias especiales, la siguiente posición debe ser 1211. La siguiente posición debe ser 1212 o 1312. Durante el juego, la posición más pequeña es 0001 y la más grande es 4434.

Esta abreviatura se puede ampliar a juegos con más jugadores. Un juego de tres jugadores se puede representar con seis dígitos (por ejemplo, [111211]), donde cada par de dígitos adyacentes representa a un solo jugador y cada par se ordena en función de cuándo los jugadores jugarán sus turnos. El par más a la izquierda representa las manos del jugador que está a punto de jugar su turno; el par del medio representa al jugador que jugará a continuación, y así sucesivamente. El par más a la derecha representa al jugador que debe esperar más tiempo antes de que le toque su turno (normalmente porque acaba de jugar).

Movimientos

Según las reglas normales, hay un máximo de 14 movimientos posibles:

• Cuatro ataques (A→C, A→D, B→C, B→D)
• Cuatro divisiones (02→11, 03→12, 04→13, 04→22)
• Seis transferencias (13→22, 22→13, 14→23, 23→14, 24→33, 33→24)

Sin embargo, solo hay 5 o menos de estas disponibles en un turno determinado. Por ejemplo, la posición inicial 1312 puede convertirse en 2213, 1313, 2413, 0113 o 1222.

Duración de los juegos

El juego más corto posible es de cinco movimientos. Hay un ejemplo:

• 1111 1211 1312 0113 1401 0014

Sin volver a visitar la partida (repetir una posición), la partida más larga posible es de nueve movimientos. Hay dos casos:

• 1111 1211 1212 2212 2322 0223 0202 0402 0104 0001
• 1111 1211 1212 2312 2323 0323 0303 0103 0401 0004

Con la revisión, el juego más largo posible es indefinido.

Posiciones

Dado que la cantidad de fichas que se obtienen es 5, Chopsticks es un juego de base 5. En un juego de dos jugadores, cada posición tiene cuatro dígitos. Si se cuenta de 0000 a 4444 (en base 5), se obtienen 625 posiciones. Sin embargo, esto incluye redundancias: la mayoría de estas posiciones son notaciones incorrectas (por ejemplo, 0132, 1023 y 1032 son notaciones incorrectas de 0123), que parecen diferentes pero son funcionalmente iguales en el juego.

Para encontrar la cantidad de posiciones funcionalmente distintas, tenga en cuenta que cada jugador puede ser uno de los 15 pares distintos (00, 01, 02, 03, 04, 11, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 33, 34 y 44). Con dos jugadores, hay 15*15 = 225 posiciones funcionalmente distintas. En general, para los jugadores, hay posiciones funcionalmente distintas. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 15^{n}}$

Sin embargo, hay 21 posiciones inalcanzables: 0000, 0100, 0200, 0300, 0400, 1100, 1101, 1200, 1300, 1400, 2200, 2202, 2300, 2400, 3300, 3303, 3400, 3444, 4400, 4404 y 4444.

• 15 de estas posiciones son simplemente un jugador que tiene cada uno de los 15 pares distintos y el otro jugador está muerto. El problema es que el jugador muerto es el jugador que acaba de jugar su turno (de ahí el "00" en el lado derecho). Como el jugador no puede perder en su propio turno, estas posiciones son inalcanzables.
• 4 de estas posiciones son el jugador que debe mover y tiene [kk], y el otro jugador tiene [0k], donde . Esto es inalcanzable porque el jugador que acaba de mover [0k] no podría dividirse, por lo tanto, ese jugador debe haber atacado usando su [0k]. Pero no hay forma de usar [0k] para atacar a un enemigo para que se mueva a [kk]. Eso requeriría atacar una mano muerta, lo cual es ilegal. ${\displaystyle 0<k<5}$
• Las dos posiciones restantes son 3444 y 4444. 4444 es inalcanzable porque un jugador no puede alcanzar [44] desde una división y, por lo tanto, ya tenía que tener [44]. El único par posible que va a [44] después de ser atacado por [44] es [04], lo que nuevamente requiere que se ataque una mano muerta. 3444 es realmente alcanzable, pero solo desde 4444. Dado que 4444 no es alcanzable desde 4444, tampoco lo es 3444.

Esto da un total de 204 posiciones únicas y alcanzables.

Hay 14 finales alcanzables: 0001, 0002, 0003, 0004, 0011, 0012, 0013, 0014, 0022, 0023, 0024, 0033, 0034, 0044. Resulta bastante satisfactorio que estos sean los 14 finales posibles; en otras palabras, alguien puede ganar utilizando cualquiera de los 14 pares vivos distintos. De estos 14 finales, el primer jugador gana 8 de ellos, suponiendo que las partidas terminen en el número mínimo de movimientos.

Generalizaciones

Los palillos chinos se pueden generalizar en un juego de tipo , donde es el número de jugadores y es la cantidad de rollover. ^{[ se necesita más explicación ]} ${\displaystyle (p,r)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$

Menos de dos jugadores

En un juego de un solo jugador, el jugador gana trivialmente por el hecho de ser el último jugador en el juego. Un juego con cero jugadores es igualmente trivial, ya que no puede haber ganadores.

Dos jugadores

Dado y un rollover de , ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle r}$

• Hay puestos vacantes, incluidos despidos. ${\displaystyle r^{2p}=r^{4}}$
• Hay pares de dedos distintos (el -ésimo número triangular ) y, por lo tanto, posiciones funcionalmente distintas. ${\displaystyle {r+1 \choose 2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {r+1 \choose 2}^{p}}$
• Para , hay posiciones inalcanzables. ${\displaystyle r>2}$ ${\displaystyle {r+1 \choose 2}+(r-1)+2}$
  • ${\displaystyle {r+1 \choose 2}}$Las posiciones inalcanzables se dan cuando el jugador actual tiene un par distinto y el otro jugador está muerto. Sin embargo, el jugador muerto es el jugador que acaba de jugar su turno. Como un jugador no puede perder en su propio turno, estas posiciones son inalcanzables.
  • ${\displaystyle (r-1)}$Las posiciones inalcanzables ocurren cuando el jugador actual tiene y el otro jugador tiene y , por lo que . Estas posiciones son inalcanzables porque el otro jugador [CD] no había dividido en el turno anterior, por lo que debe haber atacado usando su mano viva. Sin embargo, no hay forma de atacar de tal manera que el objetivo tenga ambas manos de valor , ya que esto requeriría atacar una mano muerta, lo cual es ilegal. ${\displaystyle A=B=k}$ ${\displaystyle C=0}$ ${\displaystyle D=k}$ ${\displaystyle 0<k<r}$ ${\displaystyle k}$
  • Una posición inalcanzable ocurre cuando ambos jugadores tienen dos manos de valor . Por lo tanto, el jugador anterior no podría haber dividido, por lo que debería haber atacado. Pero para que las dos manos del oponente tuvieran valor, habría sido necesario atacar una mano muerta, lo cual es ilegal. ${\displaystyle r-1}$ ${\displaystyle r-1}$
  • Una posición inalcanzable ocurre cuando el jugador actual tiene y , y el otro jugador tiene . Esta posición solo tiene una posición previa, que es inalcanzable desde la posición inicial. ${\displaystyle A=r-2}$ ${\displaystyle B=r-1}$ ${\displaystyle C=D=r-1}$

Por lo tanto, para , hay posiciones alcanzables. ${\displaystyle r>2}$ ${\displaystyle {r+1 \choose 2}^{p}-\left({r+1 \choose 2}+(r-1)+2\right)}$

Más de dos jugadores

Dado un rollover de 5,

• Con 2 jugadores, hay 204 posiciones.
• Con 3 jugadores hay 3.337 posiciones.
• Con 4 jugadores, hay más de 25.000 posiciones.

Casos degenerados

Un juego con un monto de rollover de 1 es el juego trivial , porque todas las manos comienzan muertas.

Un juego con una cantidad de rollover de 2 es degenerado , porque la división es imposible, y las variaciones de rollover y cutoff resultan en el mismo juego. Las manos están vivas y muertas, sin un estado intermedio, y atacar una mano mata la mano. De hecho, uno podría simplemente llevar la cuenta de la cantidad de "manos" que tiene un jugador (usando los dedos o algún otro método de conteo), y cuando un jugador ataca a un oponente, la cantidad de manos que tiene ese oponente disminuye en uno. Hay un total de posiciones alcanzables en el juego y una duración de juego de . El juego de dos jugadores se resuelve firmemente como una victoria en primera persona. ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2p-1}$

Cuando dos jugadores tienen una sola mano, el juego se vuelve degenerado, porque no pueden ocurrir divisiones y cada jugador solo tiene un movimiento. Dado un rollover de , cada posición después de los movimientos en el juego se puede representar por la tupla , donde es el -ésimo número de Fibonacci con y . El número de posiciones está dado por el menor número positivo tal que divide a . Esta variante se resuelve fuertemente como una victoria para cualquiera de los lados dependiendo de y las propiedades de divisibilidad de los números de Fibonacci . La duración del juego es . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \left(F_{k+2}{\bmod {r}},F_{k+1}{\bmod {r}}\right)}$ ${\displaystyle F_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F_{0}=0}$ ${\displaystyle F_{1}=1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle F_{k+2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle k+1}$

Variaciones

• Miseria : El primer jugador en tener ambas manos muertas gana.
• Suicidio : los jugadores pueden matar una de sus manos con una división. Por ejemplo, en la posición 1201, un jugador podría ejecutar 12→03, llevando así el juego a 0103. El oponente se ve obligado a jugar B→D, llevando el juego a 0401, momento en el que es posible una victoria rápida para el primer jugador.
• Swaps / Cherri : Si los jugadores tienen dos manos vivas desiguales, pueden intercambiarlas (aunque perderán su turno). Esta variante suele dar como resultado un empate por repetición o un bucle infinito por razones obvias. Para evitarlo, se pueden establecer límites a la cantidad de intercambios consecutivos que un jugador puede hacer sin ser atacado antes de verse obligado a atacar.
• Muerte súbita : los jugadores pierden cuando solo les queda un dedo (en ambas manos). Como alternativa, cada jugador podría comenzar con tres vidas y, cada vez que llegue a [01], perderá una vida.
• Meta : Si las manos de un jugador suman más de cinco, pueden combinarse, restar cinco del total y luego dividir el resto. Por ejemplo, [44] suma 8, que se convierte en 3 después de restar cinco; estos pueden dividirse en [12]. Por lo tanto, es posible pasar de [44] a [12] en un solo movimiento. Meta desbloquea 2 nuevos movimientos posibles (34→11, 44→12). Si se juega tanto Meta como Suicide, se desbloquean cuatro movimientos adicionales (24→01, 33→01, 34→02, 44→03), para un máximo de 20 movimientos posibles en total.
• Cláusula de Logan : Los jugadores pueden suicidarse y cambiar, pero solo si hacen ambas cosas simultáneamente (es decir, cambiar una mano muerta por una viva).
• Ataque mortal: los jugadores pueden atacar manos muertas. Si atacan una mano muerta, esta se considerará un 0 antes de ser atacada.
• Cutoff o Juego de Cinco : Si una mano supera los cinco dedos, está muerta (a diferencia del rollover , descrito en las reglas oficiales). ^[3]
• Zombies : Con tres o más jugadores, si un jugador queda fuera de combate, queda reducido permanentemente a un solo dedo de una mano. En su turno, puede atacar, pero no puede dividirse ni ser atacado (inventado por Chris Bandy).
• Solo transferencias : No se permiten divisiones. Las únicas divisiones permitidas son las transferencias.
• Solo divisiones : no se permiten transferencias. Las únicas divisiones permitidas son las divisiones.
• División : la división solo está permitida cuando se divide un número par en dos mitades iguales o, opcionalmente, cuando se divide un número impar de la forma más uniforme posible (utilizando números enteros). En esta variante, el segundo jugador tiene una estrategia ganadora (siempre puede forzar una victoria). ^[3]
• Tocones / Nudos : Si un jugador está en [01], es legal dividir en [0.5 0.5], representado curvando un dedo hacia abajo hasta la mitad. ^[3]
• Más manos : cada jugador tiene "más de dos manos", lo que suele representarse jugando en equipos de varias personas. Con más manos por jugador, son posibles distintas reglas de transferencia, división, intercambio y suicidio, entre las que se incluyen:
  • Transferencia única : cada jugador puede transferir dedos entre dos manos únicamente.
  • Transferencia múltiple : cada jugador puede transferir dedos entre más de dos manos, siempre que el estado resultante sea diferente del estado original.
  • División simple : el jugador puede transferir dedos de una sola mano a una sola mano muerta.
  • Partición : El jugador puede transferir dedos de una sola mano a varias manos muertas.
  • Transferencia y partición : el jugador puede transferir dedos de varias manos para revivir manos muertas.
• Diferentes números : una mano muere cuando alcanza un número positivo (en los palillos chinos estándar, ). Se pueden utilizar diferentes sistemas de conteo manual para números mayores de 5, como los numerales manuales chinos , el conteo con dedos senarios y el conteo binario con dedos . Esta variación a menudo incluye vueltas de campana. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=5}$
• Soles : Ambos jugadores comienzan con un 4 en cada mano (4444). Esta es una posición inalcanzable en el juego normal (es decir, desde la posición inicial 1111).
• Números enteros : se permite cambiar una de las manos propias dándole la vuelta y cambiando el signo +/- de la mano. Esto permite manos con valor negativo y cero, aunque una mano sigue muriendo con 5 o −5. Con el cambio de manos, esta acción se vuelve idéntica a reemplazar el valor de la mano con 5 menos el valor.
• Sin nombre : se permite atacar con las propias manos, lo que suma dos movimientos adicionales (A→B, B→A). Generalmente se juega junto con las variantes Swap y Cutoff.
• Cherry Bomb : Si se transfiere exactamente a 5, la mano del atacante se convertirá en [11] y la mano del objetivo se convertirá en [01]. En un juego de dos jugadores, la posición se convierte en 1101, lo que se convierte en una victoria forzada fácil, por lo que es mejor jugar con más de 2 personas.
• Autoadición : en su turno, los jugadores pueden agregar 1 dedo a cualquier mano viva o transferir varios dedos a una mano muerta. Esto permite la autodestrucción (al agregar 1 a una mano viva con 4 dedos) y la resurrección. Esta variante del juego tiene una estrategia más complicada.

Estrategia óptima

Si se aplican las reglas anteriores, dos jugadores perfectos jugarán indefinidamente; el juego continuará en bucle. De hecho, incluso los jugadores muy inexpertos pueden evitar perder simplemente mirando un movimiento por delante.

En la variante de corte, el primer jugador puede forzar la victoria. Una estrategia ganadora es alcanzar siempre una de las siguientes configuraciones después de cada movimiento (eligiendo preferentemente la primera):

• 1211 (empezando aquí)
• AB12, donde A y B pueden ser cualquier número de dedos (ganando inmediatamente si es posible)

Por el contrario, en la variante de División y Suicidio únicamente, el segundo jugador tiene una estrategia ganadora. ^{[4] [ ¿cómo? ]}

Véase también

• Morra (juego) : un juego de manos diferente, que se basa en el azar más que en la lógica.

Referencias

1. "Cómo tocar los palillos chinos". wikiHow . Consultado el 19 de junio de 2021 .
2. "Juego de los palillos". Activity Village . Consultado el 27 de marzo de 2014 .
3. Juegos japoneses – Palillos (juego de manos), 2008
4. "Cómo ganar siempre con los palillos". wikiHow . Consultado el 19 de junio de 2021 .

Enlaces externos

• Bot de IA de palillos invencibles. Este bot juega con transferencias y volcados.