Ceyuan Haijing

La figura maestra del espejo marino de medidas circulares , que todos los problemas utilizan, muestra una ciudad redonda, inscrita en un triángulo rectángulo y un cuadrado.

Ceyuan haijing ( chino simplificado :测圆海镜; chino tradicional :測圓海鏡; pinyin : cè yuán hǎi jìng ; lit. 'espejo marino de medidas circulares') es un tratado sobre la resolución de problemas de geometría con el álgebra de Tian yuan shu escrito por el matemático Li Zhi en 1248 en la época del Imperio mongol . Es una colección de 692 fórmulas y 170 problemas, todos derivados del mismo diagrama maestro de una ciudad redonda inscrita en un triángulo rectángulo y un cuadrado. A menudo involucran a dos personas que caminan en línea recta hasta que pueden verse, encontrarse o alcanzar un árbol o una pagoda en un lugar determinado. Es un libro de geometría algebraica, el propósito del libro es estudiar relaciones geométricas intrincadas mediante el álgebra.

La mayoría de los problemas geométricos se resuelven mediante ecuaciones polinómicas, que se representan mediante un método llamado tian yuan shu , "método de matriz de coeficientes" o literalmente "método de lo desconocido celestial". Li Zhi es la fuente más antigua existente de este método, aunque ya se conocía antes que él en alguna forma. Es un sistema posicional de numerales de varillas para representar ecuaciones polinómicas .

El haijing ceyuan fue introducido por primera vez en Occidente por el misionero cristiano protestante británico en China, Alexander Wylie, en su libro Notas sobre literatura china , de 1902. Escribió:

La primera página contiene un diagrama de un círculo contenido en un triángulo, que se divide en 15 figuras; a continuación se dan la definición y las proporciones de las distintas partes, y a continuación se plantean 170 problemas en los que se muestra con ventaja el principio de la nueva ciencia. El autor incluye una exposición y escolios a lo largo de todo el texto. ^[1]

Este tratado consta de 12 volúmenes.

Volumen 1

Diagrama reconstruido de ciudad circular en alfabetos

Diagrama de una ciudad circular

La monografía comienza con un diagrama maestro llamado Diagrama de la ciudad redonda (圆城图式). Muestra un círculo inscrito en un triángulo rectángulo y cuatro líneas horizontales y cuatro líneas verticales.

• TLQ, el triángulo rectángulo grande, con línea horizontal LQ, línea vertical TQ e hipotenusa TL

C: Centro del círculo:

• NCS: Una línea vertical que pasa por C, interseca el círculo y la línea LQ en N(南lado norte de la muralla de la ciudad), interseca el lado sur del círculo en S(南).
• NCSR, Extensión de la línea NCS para intersecar la hipotenusa TL en R(日)
• WCE: una línea horizontal que pasa por el centro C, interseca el círculo y la línea TQ en W (西, lado oeste de la muralla de la ciudad) y el círculo en E (东, lado este de la muralla de la ciudad).
• WCEB: extensión de la línea WCE para intersecar la hipotenusa en B(川)
• KSYV: una tangente horizontal en S, intersecta la línea TQ en K(坤), hipotenusa TL en Y(月).
• HEMV: tangente vertical del círculo en el punto E, interseca la línea LQ en H, hipotenusa en M(山, montaña)
• HSYY, KSYV, HNQ, QSK forman un cuadrado, con el círculo inscrito C.
• Línea YS, línea vertical desde Y interseca la línea LQ en S(泉, resorte)
• La línea BJ, línea vertical desde el punto B, interseca la línea LQ en J(夕, noche)
• RD, una línea horizontal desde R, interseca la línea TQ en D(旦, día)

La dirección Norte, Sur, Este y Oeste en el diagrama de Li Zhi son opuestas a nuestra convención actual.

Triángulos y sus lados

Hay un total de quince triángulos rectángulos formados por la intersección entre el triángulo TLQ, las cuatro líneas horizontales y cuatro líneas verticales.

Los nombres de estos triángulos rectángulos y sus lados se resumen en la siguiente tabla

En los problemas del volumen 2 al 12, los nombres de estos triángulos se utilizan en términos muy concisos. Por ejemplo:

"明差", "diferencia MING" se refiere a la "diferencia entre el lado vertical y el lado horizontal del triángulo MING".

"叀差", "diferencia ZHUANG" se refiere a la "diferencia entre el lado vertical y el lado horizontal del triángulo ZHUANG".

"明差叀差并" significa "la suma de la diferencia MING y la diferencia ZHUAN" ${\displaystyle (b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})}$

Longitud de segmentos de línea

Esta sección (今问正数) enumera la longitud de los segmentos de línea, la suma y la diferencia y sus combinaciones en el diagrama de una ciudad redonda, dado que el radio r del círculo inscrito es de pasos , . ${\displaystyle r=120}$ ${\displaystyle a_{1}=320}$ ${\displaystyle b_{1}=640}$

Los 13 segmentos del i-ésimo triángulo (i=1 a 15) son:

1. Hipotenea ${\displaystyle c_{i}}$
2. Horizontal ${\displaystyle a_{i}}$
3. Vertical ${\displaystyle b_{i}}$
4. :勾股和 :suma de horizontal y vertical ${\displaystyle a_{i}+b_{i}}$
5. :勾股校: diferencia de vertical y horizontal ${\displaystyle b_{i}-a_{i}}$
6. :勾弦和: suma de la horizontal y la hipotenusa ${\displaystyle a_{i}+c_{i}}$
7. :勾弦校: diferencia de hipotenusa y horizontal ${\displaystyle c_{i}-a_{i}}$
8. :股弦和: suma de hipotenusa y vertical ${\displaystyle b_{i}+c_{i}}$
9. :股弦校: diferencia de hipotenusa y vertical ${\displaystyle c_{i}-b_{i}}$
10. :弦校和: suma de la diferencia y la hipotenusa ${\displaystyle c_{i}+(b_{i}-a_{i})}$
11. :弦校校: diferencia de la hipotenusa y la diferencia ${\displaystyle c_{i}-(b_{i}-a_{i})}$
12. :弦和和: suma la hipotenusa y la suma de la vertical y la horizontal ${\displaystyle a_{i}+b_{i}+c_{i}}$
13. :弦和校: diferencia de la suma de la horizontal y la vertical con la hipotenusa ${\displaystyle a_{i}+b_{i}}$

Entre los quince triángulos rectángulos, hay dos conjuntos de triángulos idénticos:

${\displaystyle \triangle TRD}$= , ${\displaystyle \triangle RMZ}$

${\displaystyle \triangle YSG}$= ${\displaystyle \triangle BLJ}$

eso es

${\displaystyle a_{6}=a_{7}}$;

${\displaystyle b_{6}=b_{7}}$;

${\displaystyle c_{6}=c_{7}}$;

${\displaystyle a_{8}=a_{9}}$;

${\displaystyle b_{8}=b_{9}}$;

${\displaystyle c_{8}=c_{9}}$;

Números de segmento

Hay 15 x 13 = 195 términos, sus valores se muestran en la Tabla 1: ^[2]

Tabla de segmentos 1

Definiciones y fórmulas

Fórmula miscelánea

^[3]

1. ${\displaystyle (c_{1}-a_{1})*(c_{1}*b_{1})}$= * ${\displaystyle 1 \over 2}$ ${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
2. ${\displaystyle a_{10}*b_{11}}$= ${\displaystyle 1 \over 2}$ ${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
3. ${\displaystyle a_{13}*b_{1}}$= ${\displaystyle 1 \over 2}$ ${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
4. ${\displaystyle a_{1}*b_{13}}$= ${\displaystyle 1 \over 2}$ ${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
5. ${\displaystyle b_{2}*b_{15}}$= ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (r_{1})^{2}}$
6. ${\displaystyle a_{14}*a_{3}}$= ${\displaystyle (r_{1})^{2}}$
7. ${\displaystyle a_{5}*b_{4}}$= ${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
8. ${\displaystyle a_{8}*b_{6}}$= ${\displaystyle a_{9}*b_{7}}$ ${\displaystyle =(r_{1})^{2}}$
9. ${\displaystyle (b_{14}*c_{14})*(a_{15}+c_{15})}$= ${\displaystyle (r_{1})^{2}}$
10. ${\displaystyle c_{6}*c_{8}}$= = ${\displaystyle c_{7}*c_{9})}$ ${\displaystyle a_{13}*b_{13}}$
11. ${\displaystyle }$

Las cinco sumas y las cinco diferencias

1. ${\displaystyle a_{2}+b_{2}+c_{2}=b_{1}+c_{1}}$^[4]
2. ${\displaystyle a_{3}+b_{3}+c_{3}=a_{1}+c_{1}}$
3. ${\displaystyle a_{4}+b_{4}+c_{4}=2b_{1}}$
4. ${\displaystyle a_{5}+b_{5}+c_{5}=2a_{1}}$
5. ${\displaystyle a_{6}+b_{6}+c_{6}=b_{1}}$
6. ${\displaystyle a_{7}+b_{7}+c_{7}=b_{1}}$
7. ${\displaystyle a_{8}+b_{8}+c_{8}=a_{1}}$
8. ${\displaystyle a_{9}+b_{9}+c_{9}=a_{1}}$
9. ${\displaystyle a_{10}+b_{10}+c_{10}=b_{1}+c_{1}-a_{1}}$
10. ${\displaystyle a_{11}+b_{11}+c_{11}=c_{1}-b_{1}+a_{1}}$
11. ${\displaystyle a_{12}+b_{12}+c_{12}=c_{1}}$
12. ${\displaystyle a_{13}+b_{13}+c_{13}=a_{1}+b_{1}-c_{1}}$
13. ${\displaystyle a_{14}+b_{14}+c_{14}=c_{1}-a_{1}}$
14. ${\displaystyle a_{15}+b_{15}+c_{15}=c_{1}-c_{1}}$

• ${\displaystyle (b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})=2*(b_{12}-a_{12})}$
• ${\displaystyle a_{8}+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=b_{7}}$

Li Zhi derivó un total de 692 fórmulas en el libro de texto de Ceyuan. Ocho de ellas son incorrectas y el resto son todas correctas ^[5]

Del volumen 2 al 12, hay 170 problemas, cada uno de los cuales utiliza unas pocas de estas fórmulas seleccionadas para formar ecuaciones polinómicas de segundo a sexto orden. De hecho, hay 21 problemas que generan ecuaciones polinómicas de tercer orden, 13 problemas que generan ecuaciones polinómicas de cuarto orden y un problema que genera ecuaciones polinómicas de sexto orden ^[6]

Volumen 2

Este volumen comienza con una hipótesis general ^[7]

Los 170 problemas siguientes tratan sobre la determinación de varios segmentos, o su suma o diferencia, para hallar el radio o el diámetro de una ciudad redonda. Todos los problemas siguen más o menos el mismo formato: comienzan con una pregunta, seguida de una descripción del algoritmo y, ocasionalmente, de una descripción paso a paso del procedimiento.

Nueve tipos de círculo inscrito

Los primeros diez problemas se resolvieron sin utilizar el método Tian Yuan Shu. Estos problemas están relacionados con varios tipos de círculos inscritos.

Pregunta 1

Dos hombres A y B parten de la esquina Q. A camina 320 pasos hacia el este y se queda quieto. B camina 600 pasos hacia el sur y ve a B. ¿Cuál es el diámetro de la ciudad circular?

Respuesta: el diámetro de la ciudad redonda es de 240 pasos.

Este es un problema de círculo inscrito asociado con ${\displaystyle \triangle TLQ}$

Algoritmo: ${\displaystyle d={2a_{1}\times b_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}}$

${\displaystyle ={2*320*600 \over 320+600+{\sqrt {(}}320^{2}+600^{2})}=240}$

Pregunta 2

Dos hombres, A y B, parten de la puerta oeste. B camina 256 pasos hacia el este, A camina 480 pasos hacia el sur y ve a B. ¿Cuál es el diámetro de la ciudad?

Respuesta 240 pasos

Este es un problema de círculo inscrito asociado con ${\displaystyle \triangle TWB}$

De la Tabla 1, 256 = ; 480 = ${\displaystyle a_{2}}$ ${\displaystyle b_{2}}$

Algoritmo:

${\displaystyle {2a_{2}\times b_{2} \over a_{2}+b_{2}+c_{2}}=d}$

${\displaystyle ={2*256*480 \over 256+600+{\sqrt {(}}256^{+}600^{2})}=240}$

Pregunta 3

Problema del círculo inscrito asociado con ${\displaystyle \triangle RDN}$

${\displaystyle {2a_{3}\times b_{3} \over a_{3}+b_{3}+c_{3}}=d}$

Pregunta 4: problema del círculo inscrito asociado con ${\displaystyle \triangle RSC}$

${\displaystyle {2a_{12}\times b_{12} \over c_{12}}=d}$

Pregunta 5: Problema del círculo inscrito asociado con ${\displaystyle \triangle TWB}$

${\displaystyle {2a\times b \over a+b}=d}$

Pregunta 6

${\displaystyle {2a_{10}\times b_{10} \over b_{10}-a_{10}+c_{10}}=d}$

Pregunta 7

${\displaystyle {2a_{11}\times b_{11} \over b_{11}-a_{11}+c_{11}}=d}$

Pregunta 8

${\displaystyle {2a_{13}\times b_{13} \over b_{13}+a_{13}-c_{13}}=d}$

Pregunta 9

${\displaystyle {2a_{14}\times b_{14} \over c_{14}-a_{14}}=d}$

Pregunta 10

${\displaystyle {2a_{15}\times b_{15} \over c_{15}-b_{15}}=d}$

Tianyuanshu

Ciyuan haijing vol II Procedimiento detallado del problema 14 (草曰)

A partir del problema 14, Li Zhi introdujo "Tian Yuan 1" como variable desconocida y estableció dos expresiones según la Sección Definición y fórmula , luego igualó estas dos expresiones de Tian Yuan Shu. Luego resolvió el problema y obtuvo la respuesta.

Pregunta 14: "Supongamos que un hombre sale caminando por la puerta oeste y se dirige al sur durante 480 pasos y se encuentra con un árbol. Luego sale caminando por la puerta norte en dirección este durante 200 pasos y ve el mismo árbol. ¿Cuál es el radio de la circunferencia?"

Algoritmo: Establezca el radio como Tian Yuan, coloque las varillas de conteo que representan 480 pasos hacia el sur en el piso, reste el radio de Tian Yuan para obtener

: ${\displaystyle 480-x}$

Bueno

。

Luego resta tian yuan de los pasos hacia el este 200 para obtener:

${\displaystyle 200-x}$

Bueno

Multiplica estas dos expresiones para obtener: ${\displaystyle x^{2}-680x+96000}$

Bueno

Bueno

eso es ${\displaystyle x^{2}-680x+96000=2x^{2}}$

de este modo: ${\displaystyle -x^{2}-680x+96000=0}$

Bueno

Resolver la ecuación y obtener ${\displaystyle r=120}$

Volumen 3

17 problemas asociados con el segmento ie TW en ^[8] ${\displaystyle b_{2}}$ ${\displaystyle \triangle TWB}$

Los pares con , pares con y pares con en problemas con el mismo número del volumen 4. En otras palabras, por ejemplo, cambiar el problema 2 del vol. 3 a lo convierte en el problema 2 del vol. 4. ^[9] ${\displaystyle a_{10}}$ ${\displaystyle b_{11}}$ ${\displaystyle a_{11}}$ ${\displaystyle b_{10}}$ ${\displaystyle a_{15}}$ ${\displaystyle b_{14}}$ ${\displaystyle a_{11}}$ ${\displaystyle b_{10}}$

Volumen 4

17 problemas, dado un segundo segmento, encuentre el diámetro de una ciudad circular. ^[10] ${\displaystyle a_{3}}$

。

Volumen 5

18 problemas, dados 。^[10] ${\displaystyle b_{1}}$

Volumen 6

18 problemas.

Dados los números 1-11, 13-19 y un segundo segmento de línea, encuentre el diámetro d. ^[10] ${\displaystyle a_{1}}$

Q12: Dado otro segmento de línea, encuentre el diámetro d. ${\displaystyle a_{1}+c_{3}}$

Volumen 7

18 problemas, dados dos segmentos de línea, encuentre el diámetro de una ciudad redonda ^[11]

Volumen 8

17 problemas, dados de tres a ocho segmentos o su suma o diferencia, encuentre el diámetro de una ciudad redonda. ^[12]

Problema 14

Teniendo en cuenta que la suma de la diferencia GAO y la diferencia MING es de 161 pasos y la suma de la diferencia MING y la diferencia ZHUAN es de 77 pasos, ¿cuál es el diámetro de la ciudad redonda?

Respuesta: 120 pasos.

Algoritmo: ^[13]

Dado

${\displaystyle (b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=161}$

${\displaystyle (b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})=77}$

：Suma estos dos elementos y divídelos por 2; según las definiciones y la fórmula, esto equivale a la diferencia de HUANGJI:

${\displaystyle (b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}) \over 2}$ ${\displaystyle =(b_{12}-a_{12})}$

${\displaystyle b_{12}-a_{12}=}$ ${\displaystyle 161+77 \over 2}$ ${\displaystyle =119}$

Dejemos que Tian Yuan sea el horizontal de SHANGPING (SG):

${\displaystyle x=a_{8}}$

${\displaystyle x+161}$= ${\displaystyle x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=a_{8}+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})}$

${\displaystyle =b_{7}}$(#Definición y fórmula)

Desde (Definición y fórmula) ${\displaystyle a_{8}+b_{7}=c_{12}}$

${\displaystyle c_{12}=x+b_{7}=2*x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=2*x+161}$

${\displaystyle c_{12}^{2}=(x+b_{7})^{2}=(2*x+161)^{2}=4*x^{2}+644*x+25921}$

${\displaystyle c_{12}^{2}-(b_{12}-a_{12})^{2}}$

${\displaystyle =4*x^{2}+644*x+25921-}$ ${\displaystyle ((b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}))^{2} \over 4}$

${\displaystyle =4*x^{2}+644*x+11760=d}$(diámetro de la ciudad redonda),

${\displaystyle d^{2}=(4*x^{2}+644*x+11760)^{2}=16*x^{4}+5152*x^{3}+508816*x^{2}[phone]*x+138297600}$

Ahora, multiplica la longitud de RZ por ${\displaystyle 4*x}$

${\displaystyle 4*x*b_{7}=4*x*(x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8}))=4*x*(x+161)=4*x^{2}+644*x}$

multiplícalo por el cuadrado de RS:

${\displaystyle d^{2}=4*x*b_{7}*c_{12}^{2}=}$ ${\displaystyle (4*x^{2}+644*x)*(4*x^{2}+644*x+25921)=}$ ${\displaystyle 16*x^{4}+5152*x^{3}+518420*x^{2}[phone]}$

Igualar las expresiones para los dos ${\displaystyle d^{2}}$

de este modo

${\displaystyle 16*x^{4}+5152*x^{3}+518420*x^{2}[phone]=}$ ${\displaystyle 16*x^{4}+5152*x^{3}+508816*x^{2}[phone]*x+138297600}$

Obtenemos:

${\displaystyle 9604*x^{2}+1546244*x-138297600=0}$

Resolviéndolo obtenemos ; ${\displaystyle x=a_{8}=64}$

Esto coincide con la horizontal del octavo triángulo de SHANGPING en los números de segmento. ^[14]

Volumen 9

Parte I

Parte II

Volumen 10

8 problemas ^[15]

Volumen 11

：18 problemas varios：^[16]

Volumen 12

14 problemas sobre fracciones ^[17]

Investigación

En 1913, el matemático francés L. van Hoe escribió un artículo sobre el haijing de Ceyuan. En 1982, K. Chemla presentó su tesis doctoral Etude du Livre Reflects des Mesuers du Cercle sur la mer de Li Ye. 1983, Lam Lay Yong, profesor de matemáticas de la Universidad de Singapur: Ecuaciones polinómicas chinas en el siglo XIII.

Notas al pie

1. Alexander Wylie, Notas sobre literatura china , Shanghai, pág. 116, reimpreso por Kessinger Publishing
2. Compilado de Kong Guoping págs. 62-66
3. Bai Shangshu págs. 24-25.
4. Wu Wenjun Capítulo II pág. 80
5. Bai Shangshu, pág. 3, Prefacio
6. Wu Wenjun, pág. 87
7. Bai Shangshou, págs. 153-154
8. Li Yan págs. 75-88
9. Martzloff, pág. 147
10. Li Yan pág. 88-101
11. Kong Guoping págs. 169-184
12. Kong Guoping págs. 192-208
13. Bai Shangshu, págs. 562-566
14. Nota al pie : En el problema 14 del vol. 8, Li Zhi se detiene en x=64. Sin embargo, la respuesta es evidente, ya que a partir de la fórmula n.° 8 en #Fórmula miscelánea: , y a partir de #Longitud de segmentos de línea , por lo tanto , el radio de una ciudad redonda se puede obtener fácilmente. De hecho, el problema 6 del vol. 11 es precisamente una cuestión de y , para encontrar el radio de una ciudad redonda. ${\displaystyle a_{9}*b_{7}=r^{2}}$ ${\displaystyle a_{8}=a_{9}}$ ${\displaystyle a_{8}*b_{7}=r^{2}}$ ${\displaystyle a_{8}}$ ${\displaystyle b_{7}}$
15. Kong Guoping págs. 220-224
16. Kong Guoping págs. 234-248
17. P255-263

Referencias

• Jean-Claude Martzloff, Una historia de las matemáticas chinas , Springer 1997 ISBN  3-540-33782-2
• Kong Guoping, Guía de Ceyuan haijing , Hubei Education Press 1966 孔国平. 《测圆海镜今导读》 《今问正数》 湖北教育出版社. 1995
• Bai Shangshu: una traducción al chino moderno de Li Yeh Ceyuan haijing . Prensa educativa de Shandong 1985 李冶 著 白尚恕 译 钟善基 校. 《测圆海镜今译》 山东教育出版社. 1985
• Wu Wenjun Gran Serie de Historia de las Matemáticas Chinas Vol. 6 吴文俊主编 《中国数学史大系》 第六卷
• Li Yan, Un estudio histórico de Ceyuan haijing, obras recopiladas de Li Yan y Qian Baocong vol 8《李俨.钱宝琮科学史全集》卷8，李俨《测圆海镜研究历程考》