Un número octaédrico centrado o número octaédrico de Haüy es un número figurado que cuenta los puntos de una red de números enteros tridimensionales que se encuentran dentro de un octaedro centrado en el origen. [1] Los mismos números son casos especiales de los números de Delannoy , que cuentan ciertas trayectorias reticulares bidimensionales. [2] Los números octaédricos de Haüy reciben su nombre de René Just Haüy .
El nombre "número octaédrico de Haüy" proviene del trabajo de René Just Haüy , un mineralogista francés activo a finales del siglo XVIII y principios del XIX. Su "construcción de Haüy" aproxima un octaedro como un policubo , formado mediante la acreción de capas concéntricas de cubos sobre un cubo central. Los números octaédricos centrados cuentan los cubos utilizados por esta construcción. [3] Haüy propuso esta construcción, y varias construcciones relacionadas de otros poliedros, como modelo para la estructura de los minerales cristalinos . [4] [5]
El número de puntos de red tridimensionales dentro de n pasos desde el origen se da por la fórmula
Los primeros de estos números (para n = 0, 1, 2, ...) son
La función generadora de los números octaédricos centrados es [6] [7]
Los números octaédricos centrados obedecen a la relación de recurrencia [1]
También pueden calcularse como la suma de pares de números octaédricos consecutivos .
El octaedro en la red de números enteros tridimensional, cuyo número de puntos de la red se cuenta por el número octaédrico centrado, es una bola métrica para la geometría del taxi tridimensional , una geometría en la que la distancia se mide por la suma de las distancias coordinadas en lugar de por la distancia euclidiana . Por esta razón, Luther y Mertens (2011) llaman a los números octaédricos centrados "el volumen de la bola de cristal". [7]
Los mismos números pueden ser vistos como números figurados de una manera diferente, como los números figurados centrados generados por una pirámide pentagonal . Es decir, si uno forma una secuencia de capas concéntricas en tres dimensiones, donde la primera capa consiste en un solo punto, la segunda capa consiste en los seis vértices de una pirámide pentagonal, y cada capa sucesiva forma una pirámide pentagonal más grande con un número triangular de puntos en cada cara triangular y un número pentagonal de puntos en la cara pentagonal, entonces el número total de puntos en esta configuración es un número octaédrico centrado. [1]
Los números octaédricos centrados también son los números de Delannoy de la forma D (3, n ). En cuanto a los números de Delannoy en general, estos números cuentan los caminos desde la esquina suroeste de una cuadrícula de 3 × n hasta la esquina noreste, utilizando pasos que van una unidad al este, norte o noreste. [2]
