Ecuación funcional de Cauchy

Ecuación funcional

La ecuación funcional de Cauchy es la ecuación funcional : $${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y).\ }$$

Una función que resuelve esta ecuación se llama función aditiva . Sobre los números racionales , se puede demostrar mediante álgebra elemental que existe una única familia de soluciones, es decir, para cualquier constante racional . Sobre los números reales , la familia de aplicaciones lineales ahora con una constante real arbitraria, es asimismo una familia de soluciones; sin embargo, pueden existir otras soluciones no de esta forma que sean extremadamente complicadas. Sin embargo, cualquiera de varias condiciones de regularidad, algunas de ellas bastante débiles, impedirá la existencia de estas soluciones patológicas . Por ejemplo, una función aditiva es lineal si: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\colon x\mapsto cx}$ ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle f:x\mapsto cx,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle f}$es continua ( Cauchy , 1821 ). De hecho, basta con que sea continua en un punto ( Darboux , 1875 ). ${\displaystyle f}$
• ${\displaystyle f(x)\geq 0}$o para todos . ${\displaystyle f(x)\leq 0}$ ${\displaystyle x\geq 0}$
• ${\displaystyle f}$es monótona en cualquier intervalo .
• ${\displaystyle f}$está acotado en cualquier intervalo.
• ${\displaystyle f}$¿Es Lebesgue medible ?
• ${\displaystyle f\left(x^{n+1}\right)=x^{n}f(x)}$para todos los números reales y algunos enteros positivos . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n}$

Por otra parte, si no se imponen más condiciones (suponiendo el axioma de elección ), hay infinitas otras funciones que satisfacen la ecuación. Esto fue demostrado en 1905 por Georg Hamel utilizando bases de Hamel . Tales funciones a veces se denominan funciones de Hamel . ^[1] ${\displaystyle f,}$

El quinto problema de la lista de Hilbert es una generalización de esta ecuación. Las funciones en las que existe un número real tal que se conocen como funciones de Cauchy-Hamel y se utilizan en los invariantes de Dehn-Hadwiger que se utilizan en la extensión del tercer problema de Hilbert de 3D a dimensiones superiores. ^[2] ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f(cx)\neq cf(x)}$

Esta ecuación a veces se denomina ecuación funcional aditiva de Cauchy para distinguirla de la ecuación funcional exponencial de Cauchy, la ecuación funcional logarítmica de Cauchy y la ecuación funcional multiplicativa de Cauchy. ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y),}$ ${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y),}$ ${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y).}$

Soluciones sobre los números racionales

Un argumento simple, que involucra solo álgebra elemental, demuestra que el conjunto de aplicaciones aditivas , donde son espacios vectoriales sobre un cuerpo de extensión de , es idéntico al conjunto de aplicaciones -lineales de a . ${\displaystyle f\colon V\to W}$ ${\displaystyle V,W}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

Teorema: Sea una función aditiva. Entonces es -lineal. ${\displaystyle f\colon V\to W}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Demostración: Queremos demostrar que cualquier solución a la ecuación funcional de Cauchy, , satisface para cualquier y . Sea . ${\displaystyle f\colon V\to W}$ ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}$ ${\displaystyle f(qv)=qf(v)}$ ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle v\in V}$

Primera nota , de ahí , y con ella se sigue . ${\displaystyle f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle 0=f(0)=f(v+(-v))=f(v)+f(-v)}$ ${\displaystyle f(-v)=-f(v)}$

Por inducción, se demuestra para cualquier . ${\displaystyle f(mv)=mf(v)}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} \cup \{0\}}$

Para cualquier entero negativo sabemos , por lo tanto . Hasta ahora hemos demostrado ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle -m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(mv)=f((-m)(-v))=(-m)f(-v)=(-m)(-f(v))=mf(v)}$

${\displaystyle f(mv)=mf(v)}$Para cualquier . ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$

Sea , entonces y por lo tanto . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f(v)=f(nn^{-1}v)=nf(n^{-1}v)}$ ${\displaystyle f(n^{-1}v)=n^{-1}f(v)}$

Finalmente, cualquier tiene una representación con y , por lo que, juntando las cosas, ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle q={\frac {m}{n}}}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle f(qv)=f\left({\frac {m}{n}}\,v\right)=f\left({\frac {1}{n}}\,(mv)\right)={\frac {1}{n}}\,f(mv)={\frac {1}{n}}\,m\,f(v)=qf(v)}$, qed

Propiedades de las soluciones no lineales sobre los números reales

Demostramos a continuación que cualquier otra solución debe ser una función altamente patológica . En particular, se muestra que cualquier otra solución debe tener la propiedad de que su gráfico es denso , es decir, que cualquier disco en el plano (por pequeño que sea) contiene un punto del gráfico. A partir de esto es fácil demostrar las diversas condiciones dadas en el párrafo introductorio. ${\displaystyle \{(x,f(x))\vert x\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$

Lema  —  Sea . Si satisface la ecuación funcional de Cauchy en el intervalo , pero no es lineal, entonces su gráfico es denso en la franja . ${\displaystyle t>0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,t]}$ ${\displaystyle [0,t]\times \mathbb {R} }$

Prueba

WLOG, escala en el eje x y en el eje y, de modo que satisface la ecuación funcional de Cauchy en , y . Basta con mostrar que el gráfico de es denso en , que es denso en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f(1)=1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (0,1)\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [0,1]\times \mathbb {R} }$

Como no es lineal, tenemos para algunos . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)\neq a}$ ${\displaystyle a\in (0,1)}$

Afirmación: La red definida por es densa en . ${\displaystyle L:=\{(r_{1}+r_{2}a,r_{1}+r_{2}f(a)):r_{1},r_{2}\in \mathbb {Q} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Consideremos la transformación lineal definida por ${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

$${\displaystyle A(x,y)={\begin{bmatrix}1&a\\1&f(a)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

Con esta transformación, tenemos . ${\displaystyle L=A(\mathbb {Q} ^{2})}$

Como , la transformación es invertible, por lo tanto es bicontinua. Como es denso en , también lo es . ${\displaystyle \det A=f(a)-a\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \square }$

Afirmación: si , y , entonces . ${\displaystyle r_{1},r_{2}\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle r_{1}+r_{2}a\in (0,1)}$ ${\displaystyle f(r_{1}+r_{2}a)=r_{1}+r_{2}f(a)}$

Si , entonces es verdadero por aditividad. Si , entonces , contradicción. ${\displaystyle r_{1},r_{2}\geq 0}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2}<0}$ ${\displaystyle r_{1}+r_{2}a<0}$

Si , entonces como , tenemos . Sea un entero positivo lo suficientemente grande como para que . Entonces tenemos por aditividad: ${\displaystyle r_{1}\geq 0,r_{2}<0}$ ${\displaystyle r_{1}+r_{2}a>0}$ ${\displaystyle r_{1}>0}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\frac {r_{1}}{k}},{\frac {-r_{2}a}{k}}\in (0,1)}$

$${\displaystyle f\left({\frac {r_{1}}{k}}+{\frac {r_{2}a}{k}}\right)+f\left({\frac {-r_{2}a}{k}}\right)=f\left({\frac {r_{1}}{k}}\right)}$$

Eso es,

$${\displaystyle {\frac {1}{k}}f\left(r_{1}+r_{2}a\right)+{\frac {-r_{2}}{k}}f\left(a\right)={\frac {r_{1}}{k}}}$$ ${\displaystyle \square }$

Por lo tanto, el gráfico de contiene , que es denso en . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L\cap ((0,1)\times \mathbb {R} )}$ ${\displaystyle (0,1)\times \mathbb {R} }$

Existencia de soluciones no lineales sobre los números reales

La prueba de linealidad dada anteriormente también se aplica a donde es una copia escalada de los racionales. Esto muestra que solo se permiten soluciones lineales cuando el dominio de está restringido a tales conjuntos. Por lo tanto, en general, tenemos para todos y Sin embargo, como demostraremos a continuación, se pueden encontrar soluciones altamente patológicas para funciones basadas en estas soluciones lineales, al considerar los números reales como un espacio vectorial sobre el cuerpo de números racionales. Nótese, sin embargo, que este método no es constructivo, ya que se basa en la existencia de una base (de Hamel) para cualquier espacio vectorial, una afirmación demostrada utilizando el lema de Zorn . (De hecho, la existencia de una base para cada espacio vectorial es lógicamente equivalente al axioma de elección .) Existen modelos ^[3] donde todos los conjuntos de números reales son medibles que son consistentes con ZF + DC , y en ellos todas las soluciones son lineales. ^[4] ${\displaystyle f\colon \alpha \mathbb {Q} \to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \alpha \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(\alpha q)=f(\alpha )q}$ ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Para demostrar que existen soluciones distintas de las definidas por , primero observamos que debido a que cada espacio vectorial tiene una base, existe una base para sobre el campo, es decir, un conjunto con la propiedad de que cualquier puede expresarse de forma única como donde es un subconjunto finito de y cada uno está en Observamos que debido a que no se puede escribir una base explícita para sobre , las soluciones patológicas definidas a continuación tampoco se pueden expresar explícitamente. ${\displaystyle f(x)=f(1)x}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\textstyle x=\sum _{i\in I}{\lambda _{i}x_{i}},}$ ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i\in I}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Como se argumentó anteriormente, la restricción de a debe ser una función lineal para cada Además, porque para es claro que es la constante de proporcionalidad. En otras palabras, es la función Dado que cualquier puede expresarse como una combinación lineal única (finita) de los s, y es aditiva, está bien definida para todos y viene dada por: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{i}\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle x_{i}\in {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle x_{i}q\mapsto f(x_{i})q}$ ${\displaystyle q\in \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle f(x_{i}) \over x_{i}}$ ${\displaystyle f\colon x_{i}\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \xi \mapsto [f(x_{i})/x_{i}]\xi .}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f(x)=f{\Big (}\sum _{i\in I}\lambda _{i}x_{i}{\Big )}=\sum _{i\in I}f(x_{i}\lambda _{i})=\sum _{i\in I}f(x_{i})\lambda _{i}.}$$

Es fácil comprobar que es una solución a la ecuación funcional de Cauchy dada una definición de sobre los elementos base. Además, es claro que cada solución es de esta forma. En particular, las soluciones de la ecuación funcional son lineales si y sólo si es constante en todos los aspectos. Por lo tanto, en cierto sentido, a pesar de la incapacidad de exhibir una solución no lineal, "la mayoría" (en el sentido de cardinalidad ^[5] ) de las soluciones a la ecuación funcional de Cauchy son en realidad no lineales y patológicas. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\colon {\mathcal {B}}\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle f(x_{i}) \over x_{i}}$ ${\displaystyle x_{i}\in {\mathcal {B}}.}$

Véase también

• Mapa antilineal  – Mapa aditivo homogéneo conjugado
• Función homogénea  : función con un comportamiento de escala multiplicativo
• Funcional de Minkowski  : Función formada a partir de un conjunto
• Mapa semilineal  : homomorfismo entre módulos, emparejado con el homomorfismo asociado entre los respectivos anillos basePages displaying wikidata descriptions as a fallback

Referencias

1. Kuczma (2009), pág. 130
2. VG Boltianskii (1978) "El tercer problema de Hilbert", Halsted Press, Washington
3. Solovay, Robert M. (1970). "Un modelo de teoría de conjuntos en el que cada conjunto de números reales es medible según el método de Lebesgue". Anales de Matemáticas . 92 (1): 1–56. doi :10.2307/1970696. ISSN  0003-486X.
4. E. Caicedo, Andrés (6 de marzo de 2011). "¿Existen soluciones no lineales de la ecuación de Cauchy $f(x+y)=f(x)+f(y)$ sin asumir el axioma de elección?". MathOverflow . Consultado el 21 de febrero de 2024 .
5. Se puede demostrar fácilmente que ; por lo tanto, hay funciones cada una de las cuales podría extenderse a una solución única de la ecuación funcional. Por otro lado, solo hay soluciones que son lineales. ${\displaystyle \mathrm {card} ({\mathcal {B}})={\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=2^{\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle f\colon {\mathcal {B}}\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$

• Kuczma, Marek (2009). Introducción a la teoría de ecuaciones y desigualdades funcionales. Ecuación de Cauchy y desigualdad de Jensen . Basilea: Birkhäuser. ISBN 9783764387495.
• Hamel, Georg (1905). "Eine Basis aller Zahlen und die unstetigen Lösungen der Funktionalgleichung: f(x+y) = f(x) + f(y)". Annalen Matemáticas .

Enlaces externos

• Solución a la ecuación de Cauchy Universidad Rutgers
• La caza del monstruo adic(tivo)
• Martin Sleziak; et al. (2013). "Resumen de los hechos básicos sobre la ecuación funcional de Cauchy". StackExchange . Consultado el 20 de diciembre de 2015 .