La conjetura de Catalan

La única solución entera positiva no trivial para x^ay^b igual a 1 es 3^2-2^3

La conjetura de Catalan (o teorema de Mihăilescu ) es un teorema de la teoría de números que fue conjeturado por el matemático Eugène Charles Catalan en 1844 y demostrado en 2002 por Preda Mihăilescu en la Universidad de Paderborn . ^{[1] [2]} Los números enteros 2 ³ y 3 ² son dos potencias perfectas (es decir, potencias de exponente mayor que uno) de números naturales cuyos valores (8 y 9, respectivamente) son consecutivos. El teorema establece que este es el único caso de dos potencias perfectas consecutivas. Es decir, que

La conjetura de Catalan  —la  única solución en los números naturales de

${\displaystyle x^{a}-y^{b}=1}$

para a , b > 1 , x , y > 0 es x = 3 , a = 2 , y = 2 , b = 3 .

Historia

La historia del problema se remonta al menos a Gersonides , quien demostró un caso especial de la conjetura en 1343 donde ( x , y ) estaba restringido a (2, 3) o (3, 2). El primer avance significativo después de que Catalan hiciera su conjetura llegó en 1850 cuando Victor-Amédée Lebesgue abordó el caso b = 2. ^[3]

En 1976, Robert Tijdeman aplicó el método de Baker en la teoría de la trascendencia para establecer un límite en a,b y utilizó los resultados existentes que limitaban x , y en términos de a , b para dar un límite superior efectivo para x , y , a , b . Michel Langevin calculó un valor de para el límite, ^[4] resolviendo la conjetura de Catalan para todos los casos excepto un número finito. ${\displaystyle \exp \exp \exp \exp 730\approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}}$

La conjetura de Catalan fue demostrada por Preda Mihăilescu en abril de 2002. La prueba fue publicada en el Journal für die reine und angewandte Mathematik , 2004. Hace un uso extensivo de la teoría de campos ciclotómicos y módulos de Galois . Yuri Bilu realizó una exposición de la prueba en el Séminaire Bourbaki . ^[5] En 2005, Mihăilescu publicó una prueba simplificada. ^[6]

La conjetura de Pillai

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Cada número entero positivo aparece sólo un número finito de veces como diferencia de potencias perfectas?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

La conjetura de Pillai se refiere a una diferencia general de potencias perfectas (secuencia A001597 en la OEIS ): es un problema abierto propuesto inicialmente por SS Pillai , quien conjeturó que los huecos en la secuencia de potencias perfectas tienden al infinito. Esto es equivalente a decir que cada entero positivo ocurre solo un número finito de veces como una diferencia de potencias perfectas: de manera más general, en 1931 Pillai conjeturó que para enteros positivos fijos A , B , C la ecuación tiene solo un número finito de soluciones ( x ,  y ,  m ,  n ) con ( m ,  n ) ≠ (2, 2). Pillai demostró que para A , B , x , y fijos , y para cualquier λ menor que 1, tenemos uniformemente en m y n . ^[7] ${\displaystyle Ax^{n}-By^{m}=C}$ ${\displaystyle |Ax^{n}-By^{m}|\gg x^{\lambda n}}$

La conjetura general se seguiría de la conjetura ABC . ^{[7] [8]}

La conjetura de Pillai significa que para cada número natural n , solo hay un número finito de pares de potencias perfectas con diferencia n . La lista siguiente muestra, para n  ≤ 64, todas las soluciones para potencias perfectas menores que 10 ¹⁸ , tales que el exponente de ambas potencias sea mayor que 1. El número de tales soluciones para cada n se encuentra en OEIS : A076427 . Véase también OEIS : A103953 para la solución más pequeña (> 0).

Véase también

• Conjetura de Beal
• Ecuación x ^y = y ^x
• Conjetura de Fermat-Catalan
• Curva de Mordell
• Ecuación de Ramanujan-Nagell
• Teorema de Størmer
• Teorema de Tijdeman
• Teorema de Thaine

Notas

1. Weisstein, Eric W. , Conjetura de Catalan, MathWorld
2. Mihalescu 2004
3. Victor-Amédée Lebesgue (1850), "Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x ^m = y ² +1", Nouvelles annales de mathématiques , 1 ^re série, 9 : 178–181
4. Ribenboim, Paulo (1979), 13 lecciones sobre el último teorema de Fermat , Springer-Verlag , pág. 236, ISBN 0-387-90432-8, Zbl0456.10006 ​
5. Bilu, Yuri (2004), "La conjetura del catalán", Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Exposés 909-923 , Astérisque, vol. 294, págs. 1-26
6. Mihalescu 2005
7. Narkiewicz, Wladyslaw (2011), Teoría de números racionales en el siglo XX: de PNT a FLT , Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag , págs. 253–254, ISBN 978-0-857-29531-6
8. Schmidt, Wolfgang M. (1996), Aproximaciones diofánticas y ecuaciones diofánticas , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1467 (2.ª ed.), Springer-Verlag , pág. 207, ISBN 3-540-54058-X, Zbl0754.11020 ​

Referencias

• Bilu, Yuri (2004), "La conjetura del catalán (después de Mihăilescu)", Astérisque , 294 : vii, 1–26, SEÑOR  2111637
• Catalán, Eugene (1844), "Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur", J. Reine Angew. Matemáticas. (en francés), 27 : 192, doi :10.1515/crll.1844.27.192, SEÑOR  1578392
• Cohen, Henri (2005). Démonstration de la conjecture de Catalan [ Una prueba de la conjetura catalana ]. Théorie algorítmica des nombres et équations diophantiennes (en francés). Palacio: Éditions de l'École Polytechnique. págs. 1–83. ISBN 2-7302-1293-0.Señor 0222434  .
• Metsänkylä, Tauno (2004), "La conjetura de Catalan: otro viejo problema diofántico resuelto" (PDF) , Bulletin of the American Mathematical Society , 41 (1): 43–57, doi : 10.1090/S0273-0979-03-00993-5 , MR  2015449
• Mihăilescu, Preda (2004), "Unidades ciclotómicas primarias y una prueba de la conjetura de Catalan", J. Reine Angew. Math. , 2004 (572): 167–195, doi :10.1515/crll.2004.048, MR  2076124
• Mihăilescu, Preda (2005), "Reflexión, números de Bernoulli y la prueba de la conjetura de Catalan" (PDF) , Congreso Europeo de Matemáticas , Zúrich: Eur. Math. Soc.: 325–340, MR  2185753, archivado desde el original (PDF) el 2022-06-26
• Ribenboim, Paulo (1994), La conjetura de Catalan , Boston, MA: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-587170-8, Sr.  1259738 Es anterior a la prueba de Mihăilescu.
• Tijdeman, Robert (1976), "Sobre la ecuación del catalán" (PDF) , Acta Arith. , 29 (2): 197–209, doi : 10.4064/aa-29-2-197-209 , MR  0404137

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "La conjetura de Catalan". MathWorld .
• El viaje de las matemáticas de Ivars Peterson
• Sobre la diferencia de potencias perfectas
• Jeanine Daems: Una prueba ciclotómica de la conjetura de Catalan