Una solución Carathéodory- π es una solución generalizada de una ecuación diferencial ordinaria . El concepto se debe a I. Michael Ross y lleva el nombre de Constantin Carathéodory . [1] Su practicidad fue demostrada en 2008 por Ross et al. [2] en una implementación de laboratorio del concepto. El concepto es más útil para implementar controles de retroalimentación , particularmente aquellos generados por una aplicación de la teoría de control óptimo pseudoespectral de Ross . [3]
Antecedentes matemáticos
Una solución Carathéodory- π aborda el problema fundamental de definir una solución a una ecuación diferencial,
![{\displaystyle {\dot {x}}=g(x,t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
cuando g ( x , t ) no es diferenciable con respecto a x . Estos problemas surgen de forma bastante natural [4] al definir el significado de una solución a una ecuación diferencial controlada,
![{\displaystyle {\dot {x}}=f(x,u)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
cuando el control, u , está dado por una ley de retroalimentación,
![{\displaystyle u=k(x,t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde la función k ( x , t ) puede no ser suave con respecto a x . Los controles de retroalimentación no suave surgen con bastante frecuencia en el estudio de controles de retroalimentación óptima y han sido objeto de amplios estudios que se remontan a la década de 1960. [5]
El concepto de Ross.
Una ecuación diferencial ordinaria,
![{\displaystyle {\dot {x}}=g(x,t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es equivalente a una ecuación diferencial controlada,
![{\displaystyle {\dot {x}}=u}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
con control de retroalimentación, . Luego, dado un problema de valor inicial, Ross divide el intervalo de tiempo en una cuadrícula, con . De a , genera una trayectoria de control,![{\displaystyle u=g(x,t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [0,\infty)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi =\{t_{i}\}_{i\geq 0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t_{i}\to \infty {\text{ como }}i\to \infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t_{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle t_ {1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle u(t)=g(x_{0},t),\quad x(t_{0})=x_{0},\quad t_{0}\leq t\leq t_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
a la ecuación diferencial controlada,
![{\displaystyle {\dot {x}}=u(t),\quad x(t_{0})=x_{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Existe una solución de Carathéodory para la ecuación anterior porque tiene discontinuidades como máximo en t , la variable independiente. En , configure y reinicie el sistema con ,![{\displaystyle t\mapsto u}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t=t_{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle x_ {1} = x (t_ {1})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle u(t)=g(x_{1},t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\dot {x}}(t)=u(t),\quad x(t_{1})=x_{1},\quad t_{1}\leq t\leq t_{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Continuando de esta manera, los segmentos de Carathéodory se unen para formar una solución de Carathéodory- π .
Aplicaciones de ingeniería
Se puede aplicar una solución Carathéodory- π para la estabilización práctica de un sistema de control. [6] [7] Se ha utilizado para estabilizar un péndulo invertido, [6] controlar y optimizar el movimiento de robots, [7] [8] girar y controlar la nave espacial NPSAT1 [3] y producir comandos de guía para sistemas de bajo empuje. misiones espaciales. [2]
Ver también
Referencias
- ^ Biles, DC y Binding, PA, "Sobre las condiciones de Carathéodory para el problema del valor inicial", Actas de la American Mathematical Society, Vol. 125, No. 5, mayo de 1997, págs.
- ^ ab Ross, IM, Sekhavat, P., Fleming, A. y Gong, Q., "Control de retroalimentación óptimo: fundamentos, ejemplos y resultados experimentales para un nuevo enfoque", Journal of Guidance, Control and Dynamics, vol. 31, núm. 2, págs. 307–321, 2008.
- ^ ab Ross, IM y Karpenko, M. "Una revisión del control óptimo pseudoespectral: de la teoría al vuelo", Reseñas anuales en control, Vol.36, No.2, págs. 182-197, 2012.
- ^ Clarke, FH, Ledyaev, YS, Stern, RJ y Wolenski, PR, Teoría del control y análisis no suave, Springer – Verlag, Nueva York, 1998.
- ^ Pontryagin, LS, Boltyanskii, VG, Gramkrelidze, RV y Mishchenko, EF, La teoría matemática de los procesos óptimos, Wiley, Nueva York, 1962.
- ^ ab Ross, IM, Gong, Q., Fahroo, F. y Kang, W., "Practical Stabilization Through Real-Time Optimal Control", Conferencia Estadounidense de Control de 2006, Minneapolis, MN, 14 al 16 de junio de 2006.
- ^ ab Martin, SC, Hillier, N. y Corke, P., "Aplicación práctica de la optimización pseudoespectral a la planificación de rutas de robots", Actas de la Conferencia de Australasia sobre Robótica y Automatización de 2010, Brisbane, Australia, 1 al 3 de diciembre de 2010.
- ^ Björkenstam, S., Gleeson, D., Bohlin, R. "Movimiento energéticamente eficiente y libre de colisiones de robots industriales que utilizan un control óptimo", Actas de la novena conferencia internacional IEEE sobre ciencia e ingeniería de automatización (CASE 2013), Madison, Wisconsin , Agosto 2013