El haz de funciones racionales K X de un esquema X es la generalización a la teoría de esquemas de la noción de cuerpo de funciones de una variedad algebraica en la geometría algebraica clásica . En el caso de las variedades algebraicas , dicho haz asocia a cada conjunto abierto U el anillo de todas las funciones racionales sobre ese conjunto abierto; en otras palabras, K X ( U ) es el conjunto de fracciones de funciones regulares sobre U . A pesar de su nombre, K X no siempre da un cuerpo para un esquema general X .
En los casos más simples, la definición de K X es directa. Si X es una variedad algebraica afín ( irreducible ) , y si U es un subconjunto abierto de X , entonces K X ( U ) será el cuerpo fraccionario del anillo de funciones regulares en U. Como X es afín, el anillo de funciones regulares en U será una localización de las secciones globales de X y, en consecuencia, K X será el haz constante cuyo valor es el cuerpo fraccionario de las secciones globales de X.
Si X es integral pero no afín, entonces cualquier conjunto abierto afín no vacío será denso en X . Esto significa que no hay suficiente espacio para que una función regular haga algo interesante fuera de U , y en consecuencia el comportamiento de las funciones racionales en U debería determinar el comportamiento de las funciones racionales en X . De hecho, los cuerpos fraccionarios de los anillos de funciones regulares en cualquier conjunto abierto afín serán los mismos, por lo que definimos, para cualquier U , K X ( U ) como el cuerpo fraccionario común de cualquier anillo de funciones regulares en cualquier subconjunto afín abierto de X . Alternativamente, uno puede definir el cuerpo de función en este caso como el anillo local del punto genérico .
El problema empieza cuando X ya no es entero. Entonces es posible tener divisores de cero en el anillo de funciones regulares y, en consecuencia, el cuerpo de fracciones ya no existe. La solución ingenua es reemplazar el cuerpo de fracciones por el anillo de cociente total , es decir, invertir cada elemento que no sea divisor de cero. Desafortunadamente, en general, el anillo de cociente total no produce un prehaz y mucho menos un haz. El conocido artículo de Kleiman, que figura en la bibliografía, da un ejemplo de ello.
La solución correcta es proceder de la siguiente manera:
Una vez definido K X , es posible estudiar propiedades de X que dependen únicamente de K X. Este es el tema de la geometría biracional .
Si X es una variedad algebraica sobre un cuerpo k , entonces sobre cada conjunto abierto U tenemos una extensión de cuerpo K X ( U ) de k . La dimensión de U será igual al grado de trascendencia de esta extensión de cuerpo. Todas las extensiones de cuerpo de grado de trascendencia finito de k corresponden al cuerpo de funciones racionales de alguna variedad.
En el caso particular de una curva algebraica C , es decir, de dimensión 1, se deduce que cualesquiera dos funciones no constantes F y G en C satisfacen una ecuación polinómica P ( F , G ) = 0.