Caminos de sección de tierra

Plano curvado por la intersección de un elipsoide terrestre y un plano.

Sección plana de un elipsoide

Las trayectorias de las secciones de la Tierra son curvas planas definidas por la intersección de un elipsoide terrestre y un plano ( secciones planas de elipsoide ). Los ejemplos comunes incluyen la gran elipse (que contiene el centro del elipsoide) y las secciones normales (que contienen una dirección normal del elipsoide ). Los caminos de sección terrestre son útiles como soluciones aproximadas para problemas geodésicos , el cálculo directo e inverso de distancias geográficas . La solución rigurosa de los problemas geodésicos implica curvas oblicuas conocidas como geodésicas .

problema inverso

El problema inverso para secciones de la Tierra es: dados dos puntos, y en la superficie del elipsoide de referencia, encontrar la longitud, , del arco corto de una sección de esferoide desde a y también encontrar los acimutes de salida y llegada (ángulo desde el norte verdadero) de esa curva, y . La figura de la derecha ilustra la notación utilizada aquí. Tengamos latitud y longitud geodésica ( k =1,2). Este problema se resuelve mejor utilizando geometría analítica en coordenadas cartesianas fijas y centradas en la Tierra (ECEF). Sean y las coordenadas ECEF de los dos puntos, calculadas utilizando la transformación geodésica a ECEF que se analiza aquí . ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle s_{12}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle P_{k}}$ ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle \lambda _{k}}$ ${\displaystyle R_{1}=\mathrm {ECEF} (P_{1})}$ ${\displaystyle R_{2}=\mathrm {ECEF} (P_{2})}$

Esto ilustra la notación utilizada para los problemas geodésicos discutidos aquí.

Plano de sección

Para definir el plano de sección, seleccione cualquier tercer punto que no esté en la línea desde hasta . Elegir estar en la superficie normal en definirá la sección normal en . Si es el origen entonces la sección terrestre es la gran elipse. (El origen sería colineal con 2 puntos antípodas, por lo que en ese caso se debe utilizar un punto diferente). Dado que hay infinitas opciones para , el problema anterior es en realidad una clase de problemas (uno para cada plano). Déjate dar. Para poner la ecuación del plano en la forma estándar, , donde , se requieren las componentes de un vector unitario , normal al plano de sección. Estos componentes se pueden calcular de la siguiente manera: el vector de a es y el vector de a es . Por tanto, ), ¿dónde está el vector unitario en la dirección de ? La convención de orientación utilizada aquí es que apunta a la izquierda del camino. Si este no es el caso entonces redefina . Finalmente, el parámetro d para el plano se puede calcular usando el producto escalar de con un vector desde el origen hasta cualquier punto del plano, tal como , es decir . La ecuación del plano (en forma vectorial) es, por tanto , donde está el vector de posición de . ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle lx+my+nz=d}$ ${\displaystyle l^{2}+m^{2}+n^{2}=1}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} =(l,m,n)}$ ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =\mathbf {R_{1}} -\mathbf {R_{0}} }$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle R_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {V_{1}} =\mathbf {R_{2}} -\mathbf {R_{1}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} =\mathrm {unit} (\mathbf {V_{0}} \times \mathbf {V_{1}} )}$ ${\displaystyle \mathrm {unit} (\mathbf {V} )}$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} }$ ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =-\mathbf {V_{0}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} }$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle d=\mathbf {\hat {N}} \cdot \mathbf {R_{1}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} \cdot \mathbf {R} =d}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

Azimut

El examen de la transformación ENU a ECEF revela que las coordenadas ECEF de un vector unitario que apunta al este en cualquier punto del elipsoide son: , un vector unitario que apunta al norte es y un vector unitario que apunta hacia arriba es . Un vector tangente a la ruta es: entonces el componente este de es y el componente norte es . Por lo tanto, el acimut se puede obtener a partir de una función arcotangente de dos argumentos . Utilice este método tanto en como para obtener y . ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} =(-\sin \lambda ,\cos \lambda ,0)}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =(-\sin \phi \cos \lambda ,-\sin \phi \sin \lambda ,\cos \phi )}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} =(\cos \phi \cos \lambda ,\cos \phi \sin \lambda ,\sin \phi )}$ ${\displaystyle \mathbf {t} =\mathbf {\hat {N}} \times \mathbf {\hat {u}} }$ ${\displaystyle \mathbf {t} }$ ${\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {e}} }$ ${\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {n}} }$ ${\displaystyle \alpha =\operatorname {atan2} (\mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {e}} ,\mathbf {t} \cdot \mathbf {\hat {n}} )}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$

Elipse de sección

La intersección (no trivial) de un plano y un elipsoide es una elipse. Por lo tanto, la longitud del arco, , en la trayectoria de la sección desde hasta es una integral elíptica que puede calcularse con cualquier precisión deseada utilizando una serie truncada o una integración numérica. Antes de poder hacer esto, se debe definir la elipse y calcular los límites de integración. Sea el elipsoide dado por y sea . Si entonces la sección es un círculo horizontal de radio , que no tiene solución si . ${\displaystyle s_{12}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle p={\sqrt {l^{2}+m^{2}}}}$ ${\displaystyle p=0}$ ${\textstyle a{\sqrt {1-{\frac {d^{2}}{b^{2}}}}}}$ ${\displaystyle |d|>b}$

Si entonces Gilbertson ^[1] demostró que las coordenadas ECEF del centro de la elipse son , donde , ${\displaystyle p>0}$ ${\textstyle {R_{c}}={\frac {d}{C}}(la^{2},ma^{2},nb^{2})}$ ${\displaystyle C=a^{2}p^{2}+b^{2}n^{2}}$

el semieje mayor está , en la dirección , y el semieje menor está , en la dirección , que no tiene solución si . ${\textstyle a^{*}=a{\sqrt {1-{\frac {d^{2}}{C}}}}}$ ${\textstyle \mathbf {{\hat {i}}^{*}} =\left({\frac {m}{p}},{\frac {-l}{p}},0\right)}$ ${\textstyle b^{*}={\frac {b}{\sqrt {C}}}a^{*}}$ ${\textstyle \mathbf {{\hat {j}}^{*}} =\left({\frac {ln}{p}},{\frac {mn}{p}},-p\right)}$ ${\displaystyle |d|>{\sqrt {C}}}$

Longitud de arco

El artículo mencionado anteriormente proporciona una derivación de una fórmula de longitud de arco que involucra el ángulo central y potencias de para calcular la longitud de arco con precisión milimétrica, donde . Esa fórmula de longitud de arco se puede reorganizar y poner en la forma: , donde y los coeficientes son ${\displaystyle e^{2}}$ ${\textstyle e^{2}=1-\left({\frac {b^{*}}{a^{*}}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle s_{12}=s(\theta _{2})-s(\theta _{1})}$ ${\displaystyle s(\theta )=b^{*}({C_{0}}\theta +{C_{2}}\sin(2\theta )+{C_{4}}\sin(4\theta )+{C_{6}}\sin(6\theta ))}$

${\displaystyle C_{0}=1.0+e^{2}(1/4+13e^{2}/64+45e^{4}/256+2577e^{6}/16384)}$

${\displaystyle C_{2}=e^{2}(1/8+3e^{2}/32+95e^{4}/1024+385e^{6}/4096)}$

${\displaystyle C_{4}=-e^{4}(1/256+5e^{2}/1024+19e^{4}/16384)}$

${\displaystyle C_{6}=-e^{6}(15/3072+35e^{2}/4096)}$

Para calcular el ángulo central, sea cualquier punto de la elipse de la sección y . Entonces es un vector desde el centro de la elipse hasta el punto. El ángulo central es el ángulo desde el semieje mayor hasta . Dejando , tenemos . De esta forma obtenemos y . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle R=\mathrm {ECEF} (P)}$ ${\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {R} -\mathbf {R_{c}} }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {V} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {V}} =\mathrm {unit} (\mathbf {V} )}$ ${\displaystyle \theta =\operatorname {atan2} (\mathbf {\hat {V}} \cdot \mathbf {{\hat {j}}^{*}} ,\mathbf {\hat {V}} \cdot \mathbf {{\hat {i}}^{*}} )}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$

Por otro lado, es posible utilizar fórmulas de arco meridiano en el caso más general siempre que se utilicen los parámetros de elipse de sección en lugar de los parámetros de esferoide. Una de esas series rápidamente convergentes se da en Series en términos de latitud paramétrica . Si usamos para denotar la excentricidad del esferoide, es decir , entonces ≤ ≅ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\textstyle \varepsilon ^{2}=1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle e^{8}}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{8}}$1,8 × 10-9 .^​ De manera similar, el tercer aplanamiento de la elipse de la sección está limitado por el valor correspondiente para el esferoide, y para el esferoide tenemos ≅ ${\displaystyle n^{3}}$4,4 × 10 ⁻⁹ y ≅ ${\displaystyle n^{4}}$7,3 × 10 ⁻¹² . Por lo tanto, puede ser suficiente ignorar los términos más allá de la serie de latitudes paramétricas. Para aplicarlo en el contexto actual es necesario convertir el ángulo central al ángulo paramétrico usando y usando la sección elipse del tercer aplanamiento. Cualquiera que sea el método utilizado, se debe tener cuidado al utilizar & o & para garantizar que se utilice el arco más corto que conecta los 2 puntos. ${\displaystyle B_{6}}$ ${\textstyle s(\beta )={\frac {a^{*}+b^{*}}{2}}(B_{0}\beta +B_{2}\sin 2\beta +B_{4}\sin 4\beta +B_{6}\sin 6\beta )}$ ${\displaystyle \beta =\tan ^{-1}\left(\tan \theta /((1-f)\right)}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle \beta _{1}}$ ${\displaystyle \beta _{2}}$

problema directo

Se da el problema directo , la distancia y el acimut de salida , el hallazgo y el acimut de llegada . ${\displaystyle {P_{1}}}$ ${\displaystyle s_{12}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle {P_{2}}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$

Plano de sección

La respuesta a este problema depende de la elección de . es decir, del tipo de sección. Observe que no debe estar en el intervalo { } (de lo contrario, el plano sería tangente a la tierra en , por lo que no se produciría ningún camino). Una vez realizada esta elección y considerando la orientación, proceda de la siguiente manera. Construya el vector tangente en , , donde y son vectores unitarios que apuntan al norte y al este (respectivamente) en . El vector normal ), junto con define el plano. Es decir, la tangente ocupa el lugar de la cuerda ya que se desconoce el destino. ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} }$ ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{1},\mathbf {{\hat {e}}_{1}} }$ ${\displaystyle {P_{1}}}$ ${\displaystyle {P_{1}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} _{1}=\mathbf {\hat {n}} _{1}\cos {\alpha _{1}}+\mathbf {{\hat {e}}_{1}} \sin {\alpha _{1}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {{\hat {e}}_{1}} }$ ${\displaystyle {P_{1}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} =\mathrm {unit} (\mathbf {V_{0}} \times \mathbf {\hat {t}} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {P_{1}} }$

Localizar el punto de llegada

Este es un problema 2-d en span{ }, que se resolverá con la ayuda de la fórmula de longitud de arco anterior. Si se da la longitud del arco, entonces el problema es encontrar el cambio correspondiente en el ángulo central , de modo que se pueda calcular la posición. Suponiendo que tenemos una serie que da entonces lo que buscamos ahora es . La inversa de la serie de longitudes de arco del ángulo central anterior se puede encontrar en la página 8a de Rapp, vol. 1, ^[2] quien le da crédito a Ganshin. ^[3] Una alternativa al uso de la serie inversa es utilizar el método de Newton de aproximaciones sucesivas a . El problema del meridiano inverso para el elipsoide proporciona la inversa de la serie de longitudes de arco de Bessel en términos del ángulo paramétrico. Antes de poder utilizar la serie inversa, se debe utilizar la serie de ángulos paramétricos para calcular la longitud del arco desde el semieje mayor hasta , . Una vez conocido se aplica la fórmula inversa para obtener , donde . Las coordenadas rectangulares en el plano de sección son . Por tanto, un vector ECEF se puede calcular utilizando . Finalmente, calcule las coordenadas geográficas utilizando el algoritmo de Bowring de 1985, ^[4] o el algoritmo aquí . ${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ^{*},\mathbf {\hat {j}} ^{*}}$ ${\displaystyle s_{12}}$ ${\displaystyle \theta _{12}}$ ${\displaystyle \theta _{2}=\theta _{1}+\theta _{12}}$ ${\displaystyle s=s(\theta )}$ ${\displaystyle \theta _{2}=s^{-1}(s_{1}+s_{12})}$ ${\displaystyle \theta _{12}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\textstyle s_{1}=s(\beta _{1})={\frac {a^{*}+b^{*}}{2}}(B_{0}\beta _{1}+B_{2}\sin 2\beta _{1}+B_{4}\sin 4\beta _{1}+B_{6}\sin 6\beta _{1})}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle \beta _{2}=\beta (s_{1}+s_{12})=\mu _{2}+B'_{2}\sin 2\mu _{2}+B'_{4}\sin 4\mu _{2}+B'_{6}\sin 6\mu _{2}}$ ${\displaystyle \mu _{2}=2(s_{1}+s_{12})/(B_{0}(a^{*}+b^{*}))}$ ${\displaystyle x_{2}=a^{*}\cos \beta _{2},y_{2}=b^{*}\sin \beta _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {V_{2}} =\mathbf {R_{c}} +(x_{2}\mathbf {{\hat {i}}^{*}} +y_{2}\mathbf {{\hat {j}}^{*}} )}$ ${\displaystyle P_{2}=\mathrm {Geo} (V_{2})}$

Azimut

El acimut se puede obtener mediante el mismo método que el problema indirecto: y . ${\displaystyle \mathbf {t_{2}} =\mathbf {\hat {N}} \times \mathbf {{\hat {u}}_{2}} }$ ${\displaystyle {\alpha _{2}}=\operatorname {atan2} (\mathbf {t_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {e}}_{2}} ,\mathbf {t_{2}} \cdot \mathbf {{\hat {n}}_{2}} )}$

Ejemplos

Muestra la desviación geodésica de varios tramos que conectan Nueva York con París.

la gran elipse

La gran elipse es la curva que se forma al cortar el elipsoide con un plano que pasa por su centro. Por lo tanto, para usar el método anterior, simplemente sea el origen, de modo que (el vector de posición de ). Este método evita las fórmulas esotéricas y a veces ambiguas de la trigonometría esférica y proporciona una alternativa a las fórmulas de Bowring. ^[5] El camino más corto entre dos puntos de un esferoide se conoce como geodésica. Estos caminos se desarrollan utilizando geometría diferencial. El ecuador y los meridianos son grandes elipses que también son geodésicas ^[a] . La diferencia máxima de longitud entre una gran elipse y la geodésica correspondiente de 5.000 millas náuticas de longitud es de unos 10,5 metros. La desviación lateral entre ellos puede llegar a ser de 3,7 millas náuticas. Una sección normal que conecte los dos puntos estará más cerca de la geodésica que de la gran elipse, a menos que el camino toque el ecuador. ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =\mathbf {R_{1}} }$ ${\displaystyle R_{1}}$

En el elipsoide WGS84 , los resultados para el gran arco elíptico desde Nueva York, = 40,64130°, = -73,77810° hasta París, = 49,00970°, = 2,54800° son: ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53,596810°, = 111,537138° y = 5849159,753 (m) = 3158,293603 (nm). Los números correspondientes a la geodésica son: ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle s_{12}}$

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53,511007°, = 111,626714° y = 5849157,543 (m) = 3158,292410 (nm). ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle s_{12}}$

Para ilustrar la dependencia del tipo de sección para el problema directo, supongamos que el acimut de salida y la distancia de viaje sean los de la geodésica anterior y utilice la gran elipse para definir el problema directo. En este caso, el punto de llegada es = 49,073057°, = 2,586154°, que está a unas 4,1 millas náuticas del punto de llegada a París definido anteriormente. Por supuesto, usar el acimut de salida y la distancia desde la gran elipse para el problema indirecto ubicará correctamente el destino, = 49.00970°, = 2.54800°, y el acimut de llegada = 111.537138°. ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$

Muestra la desviación geodésica de varios tramos que conectan Sydney con Bangkok.

Secciones normales

Una sección normal en se determina dejando (la superficie normal en ). Otra sección normal, conocida como sección normal recíproca, resulta del uso de la superficie normal en . A menos que los dos puntos estén en el mismo paralelo o en el mismo meridiano, la sección normal recíproca será un camino diferente a la sección normal. El enfoque anterior proporciona una alternativa al de otros, como Bowring. ^[7] La ​​importancia de las secciones normales en la topografía, así como una discusión del significado del término línea en tal contexto, se da en el artículo de Deakin, Sheppard y Ross. ^[8] ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =\mathbf {\hat {u}} _{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

En el elipsoide WGS84, los resultados para la sección normal desde Nueva York, = 40,64130°, = -73,77810° hasta París, = 49,00970°, = 2,54800° son: ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53,521396°, = 111,612516° y = 5849157,595 (m) = 3158,292438 (nm). Los resultados para la sección normal recíproca de Nueva York a París son: ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle s_{12}}$

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53,509422°, = 111,624483° y = 5849157,545 (m) = 3158,292411 (nm). ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle s_{12}}$

La diferencia máxima de longitud entre una sección normal y la correspondiente geodésica de 5.000 millas náuticas de longitud es de unos 6,0 metros. La desviación lateral entre ellos puede llegar a ser de 2,8 millas náuticas.

Para ilustrar la dependencia del tipo de sección para el problema directo, supongamos que el acimut de salida y la distancia de viaje sean los de la geodésica anterior y utilice la superficie normal en NY para definir el problema directo. En este caso, el punto de llegada es = 49,017378°, = 2,552626°, que está aproximadamente a 1/2 nm del punto de llegada definido anteriormente. Por supuesto, utilizando el acimut de salida y la distancia desde el problema indirecto de la sección normal se podrá localizar correctamente el destino en París. Presumiblemente, el problema directo se utiliza cuando se desconoce el punto de llegada, aunque es posible utilizar cualquier vector que se desee. Por ejemplo, utilizando la normal de superficie en París, se obtiene un punto de llegada de = 49,007778°, = 2,546842°, que está aproximadamente a 1/8 nm del punto de llegada definido anteriormente. Usando la superficie normal en Reykjavik (sin dejar de usar el acimut de salida y la distancia de viaje de la geodésica a París) llegará a unas 347 millas náuticas desde París, mientras que la normal en Zúrich lo llevará a 5,5 millas náuticas. ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} _{2}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$

La búsqueda de una sección más cercana a la geodésica llevó a los siguientes dos ejemplos.

Muestra cómo la desviación geodésica varía con el azimut para secciones que se originan en una latitud de 20°.

La sección normal media

La sección normal media desde hasta se determina dejando . Ésta es una buena aproximación a la geodésica de a para la aviación o la navegación. La diferencia máxima de longitud entre la sección normal media y la geodésica correspondiente de 5.000 millas náuticas de longitud es de aproximadamente 0,5 metros. La desviación lateral entre ellos no supera las 0,8 millas náuticas. Para trayectos de 1.000 millas náuticas de longitud, el error de longitud es inferior a un milímetro y la desviación lateral en el peor de los casos es de unos 4,4 metros. Continuando con el ejemplo de Nueva York a París en WGS84 se obtienen los siguientes resultados para la sección normal media: ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} =0.5(\mathbf {\hat {u}} _{1}+\mathbf {\hat {u}} _{2})}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle \alpha _{1}}$= 53,515409°, = 111,618500° y = 5849157,560 (m) = 3158,292419 (nm). ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle s_{12}}$

Muestra la desviación geodésica de varias secciones normales de 5000 nm desde el ecuador.

La sección normal del punto medio.

La sección normal del punto medio desde hasta se determina haciendo = la normal a la superficie en el punto medio de la geodésica desde hasta . Este camino está sólo un poco más cerca de la geodésica que el tramo normal medio. La diferencia máxima de longitud entre una sección normal de punto medio y la geodésica correspondiente de 5.000 millas náuticas de longitud es de aproximadamente 0,3 metros. La desviación lateral en el peor de los casos entre ellos es de aproximadamente 0,3 millas náuticas. ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {V_{0}} }$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

Terminando el ejemplo de Nueva York a París en WGS84 se obtienen los siguientes resultados para la sección normal del punto medio geodésico: = 53.506207°, = 111.627697° y = 5849157.545 (m) = 3158.292411 (nm). ${\displaystyle \alpha _{1}}$ ${\displaystyle \alpha _{2}}$ ${\displaystyle s_{12}}$

Discusión

Todas las rutas de sección utilizadas en los cuadros de la derecha se definieron utilizando el método indirecto anterior. En las cartas tercera y cuarta el punto terminal se definió utilizando el algoritmo directo para la geodésica con la distancia y el acimut inicial dados. En cada una de las geodésicas se seleccionaron algunos puntos, se localizó el punto más cercano en el plano de sección mediante proyección vectorial y se calculó la distancia entre los dos puntos. Esta distancia se describe como la desviación lateral de la geodésica, o brevemente desviación geodésica, y se muestra en las cartas de la derecha. La alternativa de encontrar el punto correspondiente en la trayectoria de la sección y calcular las distancias geodésicas produciría resultados ligeramente diferentes.

El primer gráfico es típico de los casos de latitudes medias donde la gran elipse es el valor atípico. La sección normal asociada al punto más alejado del ecuador es una buena opción para estos casos.

El segundo ejemplo es más largo y es típico de los casos de cruce del ecuador, donde la gran elipse supera a las secciones normales. Sin embargo, las dos secciones normales se desvían en lados opuestos de la geodésica, lo que hace que la sección normal media sea una buena opción en este caso.

El tercer gráfico muestra cómo varían las desviaciones geodésicas con el azimut geodésico inicial que se origina en los 20 grados de latitud norte. La desviación en el peor de los casos para secciones normales de 5.000 millas náuticas de longitud es de aproximadamente 2,8 nm y se produce en un azimut geodésico inicial de 132° desde 18° de latitud norte (azimut de 48° para latitud sur).

El cuarto gráfico es el aspecto del tercer gráfico al salir del ecuador. En el ecuador hay más simetrías ya que las secciones en acimutes de 90° y 270° también son geodésicas. En consecuencia, el cuarto gráfico muestra sólo 7 líneas distintas de las 24 con un espaciado de 15 grados. Específicamente, las líneas en los acimutes 15, 75, 195 y 255 coinciden, al igual que las líneas en 105, 165, 285 y 345 en el otro lado como las más internas (aparte de las geodésicas). Las siguientes líneas coincidentes más lejanas de las cuatro líneas geodésicas están en los acimutes 30, 60, 210 y 240 en un lado y 120, 150, 300 y 330 en el otro lado. Las líneas más exteriores están en los acimutes 45 y 225 por un lado y 135 y 315 por el otro. A medida que el punto de partida se mueve hacia el norte, las líneas en los acimutes 90 y 270 ya no son geodésicas, y otras líneas coincidentes se separan y se abren en abanico hasta los 18° de latitud, donde se alcanza la desviación máxima. Más allá de este punto, las desviaciones se contraen como un abanico japonés a medida que el punto inicial avanza hacia el norte. De modo que a 84° de latitud la desviación máxima para los tramos normales es de aproximadamente 0,25 nm.

La sección normal del punto medio es (casi) siempre una buena opción.

Intersecciones

Sean dados dos planos de sección: , y . Suponiendo que los dos planos no son paralelos, la línea de intersección está en ambos planos. Por lo tanto, ortogonal a ambas normales, es decir, en la dirección de (no hay razón para normalizar ). ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {R} =d_{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{2}\cdot \mathbf {R} =d_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {N_{3}} =\mathbf {\hat {N}} _{1}\times \mathbf {\hat {N}} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {N_{3}} }$

Dado que y no son colineales , es una base para . Por tanto, existen constantes y tales que la línea de intersección de los 2 planos está dada por , donde t es un parámetro independiente. ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {N_{3}} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle R=C_{1}\mathbf {\hat {N}} _{1}+C_{2}\mathbf {\hat {N}} _{2}+t\mathbf {N_{3}} }$

Dado que esta línea está en ambos planos de sección, satisface ambos: , y . ${\displaystyle C_{1}+C_{2}(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})=d_{1}}$ ${\displaystyle C_{1}(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})+C_{2}=d_{2}}$

Al resolver estas ecuaciones para y se obtiene , y . ${\displaystyle {C_{1}}}$ ${\displaystyle {C_{2}}}$ ${\displaystyle C_{1}[1-(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})^{2}]=d_{1}-d_{2}(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})}$ ${\displaystyle C_{2}[1-(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})^{2}]=d_{2}-d_{1}(\mathbf {\hat {N}} _{1}\cdot \mathbf {\hat {N}} _{2})}$

Defina el "ángulo diédrico", , por . Entonces y . ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \cos \nu ={\mathbf {\hat {N}} _{1}}\cdot {\mathbf {\hat {N}} _{2}}}$ ${\displaystyle C_{1}={\frac {(d_{1}-d_{2}\cos \nu )}{\sin ^{2}\nu }}}$ ${\displaystyle C_{2}={\frac {(d_{2}-d_{1}\cos \nu )}{\sin ^{2}\nu }}}$

En la línea de intersección tenemos , donde . Por lo tanto: , , y , donde , , y , , para i=1,2, y . ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R_{0}} +t\mathbf {N_{3}} }$ ${\displaystyle \mathbf {R_{0}} =C_{1}\mathbf {\hat {N}} _{1}+C_{2}\mathbf {\hat {N}} _{2}}$ ${\displaystyle x=x_{0}+tl_{3}}$ ${\displaystyle y=y_{0}+tm_{3}}$ ${\displaystyle z=z_{0}+tn_{3}}$ ${\displaystyle x_{0}=C_{1}l_{1}+C_{2}l_{2}}$ ${\displaystyle y_{0}=C_{1}m_{1}+C_{2}m_{2}}$ ${\displaystyle z_{0}=C_{1}n_{1}+C_{2}n_{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{i}=(l_{i},m_{i},n_{i})}$ ${\displaystyle \mathbf {N_{3}} =(l_{3},m_{3},n_{3})}$

Para encontrar la intersección de esta línea con la Tierra, reemplaza las ecuaciones de las líneas en , para obtener , donde , , . ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1}$ ${\displaystyle At^{2}+2Bt+C=0}$ ${\displaystyle A=l_{3}^{2}+m_{3}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}n_{3}^{2}}$ ${\displaystyle B=x_{0}l_{3}+y_{0}m_{3}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}n_{3}}$ ${\displaystyle C=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}}$

Por lo tanto, la recta corta a la Tierra en . Si , entonces no hay intersección. Si , entonces la línea es tangente a la tierra en (es decir, las secciones se cruzan en ese único punto). ${\displaystyle t={\frac {-B\pm {\sqrt {{B}^{2}-AC}}}{A}}}$ ${\displaystyle B^{2}<AC}$ ${\displaystyle B^{2}=AC}$ ${\displaystyle t=-B/A}$

Observe que since y no son colineales. Introduciendo t en , se obtienen los puntos de intersección de las secciones de tierra. ${\displaystyle A\neq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R_{0}} +t\mathbf {N_{3}} }$

Ejemplo

Encuentre dónde se cruza una sección de Nueva York a París con el meridiano de Greenwich. El plano del primer meridiano puede describirse mediante y . Los resultados son los siguientes: ${\displaystyle \mathbf {\hat {N}} =(0,1,0)}$ ${\displaystyle d=0}$

Latitud y longitud extremas

La latitud máxima (o mínima) es donde la elipse de la sección intersecta un paralelo en un solo punto. Para plantear el problema, sea , el plano de sección dado. El paralelo es , , donde se va a determinar de manera que solo haya un punto de intersección. La aplicación del método de intersección anterior da como resultado , , y , desde . Las ecuaciones lineales resultantes se convierten en , y , donde , y deben determinarse. Los coeficientes cuadráticos resultantes son , , . Por lo tanto, la intersección dará como resultado una sola solución si , pero como y ^[b] , la ecuación crítica se convierte en . Esta ecuación se puede reordenar y poner en la forma , donde , y . Por tanto, proporciona la distancia desde el origen de los planos paralelos deseados. Al conectarse se obtienen los valores de y . Recuerde que así son las coordenadas restantes de las intersecciones. Luego, las coordenadas geográficas se pueden calcular utilizando la conversión ECEF_to_Geo. ${\displaystyle \mathbf {{\hat {N}}_{1}} =(l,m,n)}$ ${\displaystyle d_{1}=d}$ ${\displaystyle \mathbf {{\hat {N}}_{2}} =(0,0,1)}$ ${\displaystyle d_{2}=z_{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {N_{3}} =\mathbf {\hat {N}} _{1}\times \mathbf {\hat {N}} _{2}=(m,-l,0)}$ ${\displaystyle {\mathbf {\hat {N}} _{1}}\cdot {\mathbf {\hat {N}} _{2}}=n}$ ${\textstyle C_{1}={\frac {1}{p^{2}}}(d-nz_{0})}$ ${\textstyle C_{2}={\frac {1}{p^{2}}}(z_{0}-nd)}$ ${\displaystyle 1-n^{2}=l^{2}+m^{2}=p^{2}}$ ${\displaystyle x=x_{0}+tm}$ ${\displaystyle y=y_{0}-tl}$ ${\displaystyle z=z_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}=C_{1}l}$ ${\displaystyle y_{0}=C_{1}m}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle A=m^{2}+l^{2}=p^{2}}$ ${\displaystyle B=mx_{0}-ly_{0}=lmC_{1}-lmC_{1}=0}$ ${\displaystyle C=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}=p^{2}C_{1}^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}={\frac {1}{p^{2}}}(d-nz_{0})^{2}+{\frac {a^{2}}{b^{2}}}z_{0}^{2}-a^{2}}$ ${\displaystyle B^{2}=AC}$ ${\displaystyle B=0}$ ${\displaystyle A>0}$ ${\displaystyle C=0}$ ${\displaystyle Ez_{0}^{2}-2Fz_{0}+G=0}$ ${\displaystyle E={\frac {a^{2}}{b^{2}}}p^{2}+n^{2}}$ ${\displaystyle F=nd}$ ${\displaystyle G=d^{2}-a^{2}p^{2}}$ ${\textstyle z_{0}={\frac {F\pm {\sqrt {{F}^{2}-EG}}}{E}}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle t=-B/A=0}$ ${\displaystyle x=x_{0}}$ ${\displaystyle y=y_{0}}$

Se puede aplicar el mismo método a los meridianos para encontrar longitudes extremas, pero los resultados no son fáciles de interpretar debido a la naturaleza modular de la longitud. Sin embargo, los resultados siempre se pueden verificar utilizando el siguiente enfoque.

El enfoque más simple es calcular los puntos finales de los ejes menor y mayor de la elipse de la sección usando , y y luego convertirlos a coordenadas geográficas. Puede valer la pena mencionar aquí que la línea de intersección de dos planos consiste en el conjunto de puntos fijos, de ahí el eje de rotación, de una rotación de coordenadas que mapea un plano sobre el otro. ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R_{c}} \pm b^{*}\mathbf {\hat {j}} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {R_{c}} \pm a^{*}\mathbf {\hat {i}} ^{*}}$

Para el ejemplo de Nueva York a París, los resultados son:

Ver también

• Distancia geográfica#Corrección de altitud
• Azimut de sección normal

Notas

1. Los caminos ecuatoriales son geodésicos hasta cierto punto. Por ejemplo, la geodésica que conecta dos puntos separados por 180° en el ecuador es un meridiano sobre un polo, mientras que el ecuador sigue siendo una gran elipse. De hecho, en este caso hay infinitas elipses grandes, de las cuales sólo dos son geodésicas. Para arcos cortos coinciden la elipse geodésica y la gran elipse. Entonces, ¿en qué momento cambia? Rapp calcula que la respuesta es 179° 23' 38.18182". ^[6] En ese punto, la geodésica comienza a alejarse del ecuador y en 180° llega hasta un polo.
2. De lo contrario la sección es paralela, por lo que no hay nada que resolver, ya que todas las latitudes son iguales.

Referencias

1. Gilbertson, Charles (primavera de 2012). "Caminos de la Sección Tierra". Navegación . 59 (1): 1–7. doi :10.1002/navi.2.
2. Rapp, RH (1991), Geodesia geométrica, parte I, Universidad Estatal de Ohio, hdl : 1811/24333
3. Gan'shin, VV (1969) [1967]. Geometría del elipsoide terrestre. Traducido por Willis, JM St. Louis: Centro de información y cartas aeronáuticas. doi:10.5281/zenodo.32854. OCLC 493553. Traducción del ruso de Геометрия земного эллипсоида (Moscú, 1967)
4. Bowring, BR (1985). "La precisión de las ecuaciones geodésicas de latitud y altura". Revisión de la encuesta . 28 (218): 202–206. doi :10.1179/sre.1985.28.218.202.
5. Bowring, BR (1984). "Las soluciones directa e inversa para la gran recta elíptica en el elipsoide de referencia". Boletín Geodésique . 58 (1): 101–108. Código bibliográfico : 1984BGeod..58..101B. doi :10.1007/BF02521760. S2CID  123161737.
6. Rapp, RH (1993), Geodesia geométrica, parte II, Universidad Estatal de Ohio, hdl : 1811/24409
7. Bowring, BR (1971). "La sección normal: fórmulas directas e inversas a cualquier distancia". Revisión de la encuesta . XXI (161): 131-136. doi :10.1179/sre.1971.21.161.131.
8. Deakin, RE; Sheppard, suroeste; Ross, R. (2011). "La línea Black-Allan revisitada" (PDF) . 24ª Conferencia de encuestas regionales de Victoria, Shepparton, 1 a 3 de abril de 2011 . Archivado desde el original (PDF) el 5 de enero de 2012 . Consultado el 3 de febrero de 2012 .

Otras lecturas

• Helmert, Friedrich Robert (1 de enero de 1964). "Teorías matemáticas y físicas de la geodesia superior, parte 1, prefacio y teorías matemáticas". Zenodo . doi :10.5281/zenodo.32050 . Consultado el 17 de abril de 2022 .
• Jordania, Wilhelm; Eggert, Otto (1 de enero de 1962). "Manual de geodesia de Jordania, vol. 3, segunda mitad". Zenodo . doi :10.5281/zenodo.35316 . Consultado el 17 de abril de 2022 .