Cadena de Markov aditiva

En teoría de probabilidad , una cadena de Markov aditiva es una cadena de Markov con una función de probabilidad condicional aditiva . Aquí el proceso es una cadena de Markov de tiempo discreto de orden m y la probabilidad de transición a un estado en el siguiente tiempo es una suma de funciones, cada una de las cuales depende del siguiente estado y de uno de los m estados anteriores.

Definición

Una cadena de Markov aditiva de orden m es una secuencia de variables aleatorias X ₁ ,  X ₂ ,  X ₃ , ..., que posee la siguiente propiedad: la probabilidad de que una variable aleatoria X _n tenga un cierto valor x _n bajo la condición de que los valores de todas las variables anteriores sean fijos depende únicamente de los valores de m variables anteriores ( cadena de Markov de orden m ), y la influencia de las variables anteriores sobre una generada es aditiva,

${\displaystyle \Pr(X_{n}=x_{n}\mid X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},\dots ,X_{n-m}=x_{n-m})=\sum _{r=1}^{m}f(x_{n},x_{n-r},r).}$

Caso binario

Una cadena de Markov aditiva binaria es aquella en la que el espacio de estados de la cadena consta únicamente de dos valores, X _n  ∈ {  x ₁ ,  x ₂  }. Por ejemplo, X _n  ∈ { 0, 1 }. La función de probabilidad condicional de una cadena de Markov aditiva binaria se puede representar como

${\displaystyle \Pr(X_{n}=1\mid X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},\dots )={\bar {X}}+\sum _{r=1}^{m}F(r)(x_{n-r}-{\bar {X}}),}$

${\displaystyle \Pr(X_{n}=0\mid X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},\dots )=1-\Pr(X_{n}=1\mid X_{n-1}=x_{n-1},X_{n-2}=x_{n-2},\dots ).}$

Aquí se muestra la probabilidad de encontrar X _n  = 1 en la secuencia y F ( r ) se denomina función de memoria. El valor de y la función F ( r ) contienen toda la información sobre las propiedades de correlación de la cadena de Markov. ${\displaystyle {\bar {X}}}$ ${\displaystyle {\bar {X}}}$

Relación entre la función de memoria y la función de correlación

En el caso binario, la función de correlación entre las variables y de la cadena depende únicamente de la distancia . Se define de la siguiente manera: ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle n-k}$

${\displaystyle K(r)=\langle (X_{n}-{\bar {X}})(X_{n+r}-{\bar {X}})\rangle =\langle X_{n}X_{n+r}\rangle -{\bar {X}}^{2},}$

donde el símbolo denota el promedio de todos los n . Por definición, ${\displaystyle \langle \cdots \rangle }$

${\displaystyle K(-r)=K(r),K(0)={\bar {X}}(1-{\bar {X}}).}$

Existe una relación entre la función de memoria y la función de correlación de la cadena de Markov aditiva binaria: ^[1]

${\displaystyle K(r)=\sum _{s=1}^{m}K(r-s)F(s),\,\,\,\,r=1,2,\dots \,.}$

Véase también

• Ejemplos de cadenas de Markov

Notas

1. SS Melnyk, OV Usatenko y VA Yampol'skii. (2006) "Funciones de memoria de las cadenas aditivas de Markov: aplicaciones a sistemas dinámicos complejos", Physica A , 361 (2), 405–415 doi :10.1016/j.physa.2005.06.083

Referencias

• AA Markov. (1906) "Rasprostranenie zakona bol'shih chisel na velichiny, zavisyaschie drug ot druga". Izvestiya Fiziko-matematicheskogo obschestva pri Kazanskom universitete , 2-ya seriya, tom 15, 135–156
• AA Markov. (1971) "Extensión de los teoremas límite de la teoría de la probabilidad a una suma de variables conectadas en una cadena". Reimpreso en el Apéndice B de: R. Howard. Sistemas probabilísticos dinámicos, volumen 1: Cadenas de Markov . John Wiley and Sons
• S. Hod; U. Keshet (2004). "Transición de fase en recorridos aleatorios con correlaciones de largo alcance". Phys. Rev. E . 70 (1 Pt 2): 015104. arXiv : cond-mat/0311483 . Bibcode :2004PhRvE..70a5104H. doi :10.1103/PhysRevE.70.015104. PMID  15324113. S2CID  18169687.
• SL Narasimhan; JA Nathan; KPN Murthy (2005). "¿Puede el granulado grueso introducir correlaciones de largo alcance en una secuencia simbólica?". Europhys. Lett . 69 (1): 22. arXiv : cond-mat/0409042 . Bibcode :2005EL.....69...22N. doi :10.1209/epl/i2004-10307-2. S2CID  250845691.
• Ramakrishnan, S. (1981) "Cadenas de Markov finitamente aditivas", Transactions of the American Mathematical Society , 265 (1), 247–272 JSTOR  1998493