En teoría de probabilidad , una cadena de Markov aditiva es una cadena de Markov con una función de probabilidad condicional aditiva . Aquí el proceso es una cadena de Markov de tiempo discreto de orden m y la probabilidad de transición a un estado en el siguiente tiempo es una suma de funciones, cada una de las cuales depende del siguiente estado y de uno de los m estados anteriores.
Definición
Una cadena de Markov aditiva de orden m es una secuencia de variables aleatorias X 1 , X 2 , X 3 , ..., que posee la siguiente propiedad: la probabilidad de que una variable aleatoria X n tenga un cierto valor x n bajo la condición de que los valores de todas las variables anteriores sean fijos depende únicamente de los valores de m variables anteriores ( cadena de Markov de orden m ), y la influencia de las variables anteriores sobre una generada es aditiva,
Caso binario
Una cadena de Markov aditiva binaria es aquella en la que el espacio de estados de la cadena consta únicamente de dos valores, X n ∈ { x 1 , x 2 }. Por ejemplo, X n ∈ { 0, 1 }. La función de probabilidad condicional de una cadena de Markov aditiva binaria se puede representar como
Aquí se muestra la probabilidad de encontrar X n = 1 en la secuencia y F ( r ) se denomina función de memoria. El valor de y la función F ( r ) contienen toda la información sobre las propiedades de correlación de la cadena de Markov.
Relación entre la función de memoria y la función de correlación
En el caso binario, la función de correlación entre las variables y de la cadena depende únicamente de la distancia . Se define de la siguiente manera:
donde el símbolo denota el promedio de todos los n . Por definición,
Existe una relación entre la función de memoria y la función de correlación de la cadena de Markov aditiva binaria: [1]
Véase también
Notas
- ^ SS Melnyk, OV Usatenko y VA Yampol'skii. (2006) "Funciones de memoria de las cadenas aditivas de Markov: aplicaciones a sistemas dinámicos complejos", Physica A , 361 (2), 405–415 doi :10.1016/j.physa.2005.06.083
Referencias
- AA Markov. (1906) "Rasprostranenie zakona bol'shih chisel na velichiny, zavisyaschie drug ot druga". Izvestiya Fiziko-matematicheskogo obschestva pri Kazanskom universitete , 2-ya seriya, tom 15, 135–156
- AA Markov. (1971) "Extensión de los teoremas límite de la teoría de la probabilidad a una suma de variables conectadas en una cadena". Reimpreso en el Apéndice B de: R. Howard. Sistemas probabilísticos dinámicos, volumen 1: Cadenas de Markov . John Wiley and Sons
- S. Hod; U. Keshet (2004). "Transición de fase en recorridos aleatorios con correlaciones de largo alcance". Phys. Rev. E . 70 (1 Pt 2): 015104. arXiv : cond-mat/0311483 . Bibcode :2004PhRvE..70a5104H. doi :10.1103/PhysRevE.70.015104. PMID 15324113. S2CID 18169687.
- SL Narasimhan; JA Nathan; KPN Murthy (2005). "¿Puede el granulado grueso introducir correlaciones de largo alcance en una secuencia simbólica?". Europhys. Lett . 69 (1): 22. arXiv : cond-mat/0409042 . Bibcode :2005EL.....69...22N. doi :10.1209/epl/i2004-10307-2. S2CID 250845691.
- Ramakrishnan, S. (1981) "Cadenas de Markov finitamente aditivas", Transactions of the American Mathematical Society , 265 (1), 247–272 JSTOR 1998493